Ejercicios Resueltos Dibujo Técnico 2 de Bachillerato 2026 / 2027

(a) De O a P hay 60 − 20 = 40 mm en horizontal y 45 − 15 = 30 mm en vertical. El cuadrado de la distancia vale 40² + 30² = 1.600 + 900 = 2.500 mm². Así que d = 50 mm.

(b) La potencia es el cuadrado de esa distancia menos el cuadrado del radio: 2.500 − 625 = 1.875 mm². Fíjate en la unidad: sale en milímetros cuadrados, porque es una diferencia de dos áreas.

Como el resultado es positivo, P queda fuera de la circunferencia.

(c) Desde un punto exterior, el segmento de tangente al cuadrado vale justo la potencia: t² = 1.875 mm², de donde t = √1.875 = √(625 · 3) = 25√3 mm.

Ese valor está entre 43,30 y 43,31 mm. Y se demuestra elevando al cuadrado los dos límites: 43,30² = 1.874,89 se queda corto y 43,31² = 1.875,7561 se pasa.

Para corregirte, deshaz la cuenta: 50² − 25√3 al cuadrado ha de dar 625, el cuadrado del radio. Y comprueba el signo antes que nada: si te sale negativo con un punto que está claramente fuera, has restado al revés.

(a) El cuadrado de la distancia de O a P vale 18² + 24² = 324 + 576 = 900 mm²; o sea, d = 30 mm. La potencia es 900 − 2.500 = −1.600 mm².

(b) Sale negativa, y eso quiere decir que P está dentro. Dentro no hay segmento de tangente. Por eso el número no puede ser un cuadrado positivo.

(c) La mitad de esa cuerda, el radio y la distancia OP forman un triángulo rectángulo: la mitad al cuadrado vale 2.500 − 900 = 1.600 mm², de donde mide 40 mm.

Los dos trozos en que P parte la cuerda miden los dos 40 mm. Y su producto, 40 · 40 = 1.600 mm², es exactamente el valor absoluto de la potencia. Esa es la propiedad que hace útil el signo: el número mide siempre el producto de los dos trozos.

Para corregirte, prueba con otra cuerda cualquiera que pase por P: el producto de los dos trozos tiene que volver a dar 1.600 mm².

(a) El producto de las dos distancias de una misma secante vale siempre lo mismo. Y ese valor es la potencia: 20 · 45 = 900 mm².

(b) Con la segunda secante el producto ha de ser el mismo: 25 · PD = 900 mm², de donde PD = 900 ÷ 25 = 36 mm.

(c) El segmento de tangente al cuadrado vale la potencia: t = √900 = 30 mm.

Para corregirte, mira que los tres resultados encajen entre sí: 20 · 45 = 900, 25 · 36 = 900 y 30 · 30 = 900. El caso de la tangente es el de la secante cuando los dos puntos de corte se juntan en uno.

(a) La potencia es 50² menos el cuadrado del radio. Así que 2.500 − r² = 900 mm². De ahí r² = 1.600 mm² y r = 40 mm.

(b) Que la potencia valga cero significa 2.500 − r² = 0, es decir r = 50 mm: el radio coincide con la distancia y P cae sobre la propia circunferencia.

(c) Con r = 60 mm queda 2.500 − 3.600 = −1.100 mm². Es negativa. Así que P está dentro.

Se ve el orden completo: con el radio pequeño el punto queda fuera, al crecer el radio hasta los 50 mm el punto se sube a la curva. Y a partir de ahí queda dentro.

Para corregirte, invierte el primer apartado: 50² − 40² = 2.500 − 1.600 = 900 mm², que es la potencia que pedía el enunciado.

(a) El punto buscado tiene abscisa x y la misma potencia respecto de las dos: x² − 900 = (x − 100)² − 2.500. Desarrollando la derecha queda x² − 200x + 10.000 − 2.500. Y el término de segundo grado desaparece a ambos lados.

Queda −900 = −200x + 7.500, es decir 200x = 8.400 y x = 42 mm. El eje radical es la perpendicular a la recta de los centros por ese punto.

(b) Respecto de la primera: 42² − 30² = 1.764 − 900 = 864 mm². Respecto de la segunda, la distancia al centro es 100 − 42 = 58 mm. Y 58² − 50² = 3.364 − 2.500 = 864 mm² también.

(c) Ese valor es positivo. Así que el punto está fuera de las dos y el segmento de tangente mide √864 = √(144 · 6) = 12√6 mm, entre 29,39 y 29,40 mm: 29,39² = 863,7721 se queda corto y 29,40² = 864,36 se pasa.

Para corregirte, comprueba que el eje radical cae donde tiene que caer: aquí las dos circunferencias están separadas. Así que ha de quedar entre ellas y fuera de las dos. Los 42 mm pasan de los 30 del primer radio. Y los 58 pasan de los 50 del segundo.

(a) El eje radical de la primera y la segunda da la abscisa: x² − 900 = (x − 100)² − 2.500 lleva a 200x = 8.400 y x = 42 mm.

El de la primera y la tercera da la ordenada: y² − 900 = (y − 60)² − 900, que se reduce a 0 = −120y + 3.600 y deja y = 30 mm. El centro radical está en (42, 30).

(b) Respecto de la primera: 42² + 30² − 30² = 1.764 mm². Respecto de la segunda: (42 − 100)² + 30² − 50² = 3.364 + 900 − 2.500 = 1.764 mm². Respecto de la tercera: 42² + (30 − 60)² − 30² = 1.764 + 900 − 900 = 1.764 mm².

(c) Esa potencia común es el cuadrado del segmento de tangente. Así que desde el centro radical las tres tangentes miden √1.764 = 42 mm y la circunferencia de ese radio corta a las tres formando ángulo recto.

Para corregirte, calcula el tercer eje radical, el de la segunda y la tercera. Y comprueba que también pasa por (42, 30). Si los tres no se cortan en el mismo punto, hay un error: los tres ejes radicales de tres circunferencias siempre concurren.

(a) Igualando las dos potencias: x² − 625 = (x − 39)² − 1.600; o sea, −625 = −78x + 1.521 − 1.600. Queda 78x = 546 y x = 7 mm.

(b) Los puntos comunes están sobre esa recta. Así que tienen abscisa 7. Llevando ese valor a la primera: 49 + y² = 625, de donde y² = 576 mm² e y = ±24 mm. Los puntos son (7, 24) y (7, −24).

(c) Los dos están en la misma vertical, uno a cada lado. Así que la cuerda mide 24 + 24 = 48 mm.

Cuando dos circunferencias se cortan, su eje radical es justamente la recta de los dos puntos comunes: la potencia de cualquiera de ellos vale cero respecto de las dos. Y cero es cero en los dos casos.

Para corregirte, mete los puntos en la segunda circunferencia: (7 − 39)² + 24² = 1.024 + 576 = 1.600 mm², que es 40². Si no cuadra, el eje radical está mal situado.

(a) La condición de la inversión es que el producto de las dos distancias valga la razón: 60 · OA′ = 900 mm², de donde OA′ = 900 ÷ 60 = 15 mm.

(b) Del mismo modo, OB′ = 900 ÷ 20 = 45 mm.

(c) Un punto es doble cuando coincide con su inverso; o sea, cuando su distancia al centro cumple d · d = 900 mm². Entonces d = √900 = 30 mm: los puntos dobles forman alrededor de O una circunferencia cuyo radio mide 30 mm.

Mira cómo se cruzan: A estaba fuera de esa circunferencia (60 pasa de 30) y su inverso quedó dentro (15 no llega a 30); B estaba dentro y su inverso salió fuera. Con razón positiva, la inversión siempre cambia el dentro por el fuera.

Para corregirte, multiplica cada pareja: 60 · 15 = 900 y 20 · 45 = 900. Los dos productos tienen que dar la razón, sin excepción.

(a) Con la razón negativa el producto de las distancias sigue valiendo 600 mm² en valor absoluto. Pero el inverso se pone en la semirrecta contraria. Así que OA′ = 600 ÷ 40 = 15 mm, medidos al otro lado de O.

(b) OC′ = 600 ÷ 25 = 24 mm, también al otro lado.

(c) Un punto doble tendría que cumplir d · d = −600 mm², y ningún cuadrado es negativo. Así que no hay puntos dobles: con razón negativa esa circunferencia no existe.

⚠ El número por sí solo no distingue los dos casos: 600 y −600 dan las mismas distancias, 15 mm y 24 mm. Lo único que cambia es de qué lado se ponen. Y eso no lo delata la medida.

Para corregirte, comprueba las dos parejas: 40 · 15 = 600 y 25 · 24 = 600. Y anota el lado aparte, porque la cuenta no lo lleva dentro.

(a) La potencia vale 25² − 15² = 625 − 225 = 400 mm². Como es positiva, O queda fuera de la primera circunferencia.

(b) Las dos circunferencias son una la ampliación de la otra desde O: los radios están en la proporción 24 ÷ 15 = 8/5 y las distancias de los centros, en 40 ÷ 25 = 8/5 también. La razón de inversión es esa proporción multiplicada por la potencia: (8/5) · 400 = 640 mm².

(c) Los dos puntos de la primera que están alineados con O y con su centro distan de O 25 − 15 = 10 mm y 25 + 15 = 40 mm.

Sus inversos están a 640 ÷ 10 = 64 mm y a 640 ÷ 40 = 16 mm. Y la segunda circunferencia llega, sobre esa misma recta, hasta 40 + 24 = 64 mm y hasta 40 − 24 = 16 mm. Coinciden. Así que la razón es la correcta.

Para corregirte, prueba con la razón cambiada: si tomaras 5/8 en vez de 8/5, la razón saldría 250 mm² y los inversos caerían a 25 mm y a 6,25 mm, que no son puntos de la segunda.

(a) El origen está en la recta AB. Así que su potencia respecto de cualquier circunferencia que pase por A y por B vale el producto de las dos distancias. OA = √(144 + 256) = √400 = 20 mm y OB = √(729 + 1.296) = √2.025 = 45 mm, luego la potencia vale 20 · 45 = 900 mm².

(b) Si la circunferencia toca a r en un punto T, ese contacto es el caso límite de la secante. Y entonces la potencia del origen vale OT · OT. De 900 mm² sale OT = 30 mm. Y como el origen está en r, hay dos posibilidades: (30, 0) y (−30, 0). Hay dos soluciones.

(c) Con T(30, 0), el centro está en la perpendicular a r por T; o sea, en la vertical de abscisa 30, y su ordenada k es también el radio. Igualando la distancia al punto A con el radio: (30 − 12)² + (k − 16)² = k², que da 324 + 256 = 32k.

De ahí 580 = 32k y k = 18,125 mm, que es el radio pedido.

Para corregirte, repite la cuenta con B en lugar de con A: (30 − 27)² + (k − 36)² = k² da 9 + 1.296 = 72k; o sea, 1.305 = 72k y otra vez k = 18,125 mm. Si los dos puntos no dan el mismo centro, el punto de contacto está mal.

(a) Tocar a r en T obliga al centro a estar en la perpendicular a r por T, que aquí es el eje de ordenadas. El centro es, por tanto, un punto (0, k), y esa misma k es el radio, porque la distancia del centro a r se mide en vertical.

(b) El centro ha de equidistar de T y de P: k² = 40² + (k − 20)². Desarrollando, k² = 1.600 + k² − 40k + 400, los k² se van y queda 40k = 2.000.

De ahí k = 50 mm: el centro está en (0, 50) y el radio mide 50 mm.

(c) La distancia del centro a P vale √(40² + 30²) = √(1.600 + 900) = √2.500 = 50 mm, igual al radio. Y la distancia del centro a r vale 50 mm también, con el pie justo en T.

Para corregirte, mira que el radio sea mayor que la distancia de P a la recta: P está a 20 mm de r y el radio mide 50 mm. Así que P queda dentro del círculo. Si te saliera un radio menor que 20 mm, la circunferencia no podría pasar por P.

(a) Los dos radios suman 40 + 15 = 55 mm, y sus centros quedan más lejos, a 65 mm. Así que cada una queda fuera de la otra y no se tocan.

(b) Para la tangente exterior, el triángulo rectángulo tiene por hipotenusa la distancia entre centros y por catetos la tangente y la diferencia de radios: 65² − (40 − 15)² = 4.225 − 625 = 3.600 mm², de donde la tangente mide 60 mm.

(c) En la interior, el cateto que cambia vale lo que suman ambos radios: 4.225 − 55² = 4.225 − 3.025 = 1.200 mm². Y la tangente mide √1.200 = 20√3 mm, entre 34,641 mm y 34,642 mm: 34,641² = 1.199,998881 se queda corto y 34,642² = 1.200,068164 se pasa.

Para corregirte, mira el orden de los dos resultados: la tangente interior siempre sale más corta que la exterior, porque se le resta un cateto mayor. Aquí 34,641 es menor que 60. Así que el orden es el correcto.

(a) Los semiejes son la mitad de cada eje: el mayor mide 50 mm y el menor, 30 mm.

(b) El semieje mayor, el semieje menor y la semidistancia focal forman un triángulo rectángulo en el que el semieje mayor es la hipotenusa. Así que el cuadrado de la semidistancia focal vale 2.500 − 900 = 1.600 mm², de donde mide 40 mm y los focos están separados 80 mm.

(c) La excentricidad es la semidistancia focal dividida entre el semieje mayor: 40 ÷ 50 = 4/5 = 0,8. No lleva unidad, porque es un cociente entre dos longitudes.

Un valor de 0,8 queda cerca de 1. Así que esta elipse es bastante alargada. Cuanto más se acerque la excentricidad a cero, más se parecerá a una circunferencia.

Para corregirte, deshaz la cuenta: 40² + 30² = 1.600 + 900 = 2.500 mm², que es 50². Si no te cuadra, seguramente has puesto la semidistancia focal como hipotenusa.

(a) De (−40, 0) a (30, 24) hay 70 mm en horizontal y 24 mm en vertical. El cuadrado de la distancia vale 70² + 24² = 4.900 + 576 = 5.476 mm². Y su raíz es 74 mm.

(b) De (40, 0) a (30, 24) hay 10 mm en horizontal y 24 mm en vertical: 10² + 24² = 100 + 576 = 676 mm², cuya raíz es 26 mm.

(c) La suma vale 74 + 26 = 100 mm, que es justo el eje mayor. Eso es la definición de la elipse: la suma de los dos radios vectores es la misma en todos sus puntos.

Para corregirte, hay un atajo que da el segundo radio vector sin raíces: vale el semieje mayor menos la excentricidad por la abscisa, es decir 50 − 0,8 · 30 = 26 mm. Coincide. Así que el punto y las cuentas están bien.

El semieje mayor mide 80 ÷ 2 = 40 mm.

(a) La semidistancia focal es la excentricidad por el semieje mayor: 0,6 · 40 = 24 mm. Así que los focos están separados 2 · 24 = 48 mm.

(b) El cuadrado del semieje menor vale 1.600 − 576 = 1.024 mm², de donde mide 32 mm y el eje menor entero, 2 · 32 = 64 mm.

(c) Ese extremo está a 32 mm del centro en vertical y el foco, a 24 mm en horizontal: la distancia al cuadrado vale 576 + 1.024 = 1.600 mm²; o sea, 40 mm, que es el semieje mayor.

Para corregirte, usa ese último resultado como control: la distancia de un foco a cualquiera de los dos extremos del eje menor tiene que dar siempre el semieje mayor; porque la suma de los dos radios vectores en ese punto es el eje mayor y los dos valen lo mismo.

(a) La directriz está a una distancia del centro igual al cuadrado del semieje mayor dividido entre la semidistancia focal: 2.500 ÷ 40 = 62,5 mm. Queda fuera de la curva, porque 62,5 pasa de los 50 mm del semieje.

(b) La distancia de P a la directriz de la derecha vale 62,5 − 30 = 32,5 mm. Dividiendo el radio vector entre ella: 26 ÷ 32,5 = 0,8, que es la excentricidad.

Eso es una segunda manera de definir la elipse: el cociente entre la distancia a un foco y la distancia a su directriz vale lo mismo en todos los puntos de la curva. Y ese valor es la excentricidad.

(c) Las dos directrices están a un lado y a otro del centro. Así que la distancia entre ellas es 2 · 62,5 = 125 mm.

Para corregirte, prueba el cociente en otro punto de la curva, por ejemplo en el extremo del eje mayor: su radio vector al foco de la derecha mide 50 − 40 = 10 mm y su distancia a esa directriz, 62,5 − 50 = 12,5 mm. El cociente 10 ÷ 12,5 vuelve a dar 0,8.

Los semiejes miden 30 mm el real y 40 mm el imaginario.

(a) En la hipérbola la semidistancia focal es la hipotenusa, no un cateto: su cuadrado vale 900 + 1.600 = 2.500 mm², de donde mide 50 mm y la distancia focal entera, 100 mm.

(b) La excentricidad es 50 ÷ 30 = 5/3, un valor que está entre 1,6666 y 1,6667. En la hipérbola siempre pasa de 1, porque la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

(c) Las asíntotas son las diagonales del rectángulo que tiene por lados los dos ejes. Así que su pendiente es el semieje imaginario partido por el real: 40 ÷ 30 = 4/3 una de ellas y −4/3 la otra.

Para corregirte, compara con la elipse: allí el semieje mayor era la hipotenusa y la excentricidad quedaba por debajo de 1; aquí la hipotenusa es la semidistancia focal y el resultado se pasa de 1. Si te sale menor que 1 en una hipérbola, has sumado donde tocaba restar.

Los semiejes miden 40 mm y 30 mm. Y la semidistancia focal cumple 1.600 + 900 = 2.500 mm²; o sea, 50 mm.

(a) La relación entre las coordenadas de la hipérbola dice que el cuadrado de la abscisa dividido entre el cuadrado del semieje real menos el cuadrado de la ordenada dividido entre el del semieje imaginario vale 1. Con la abscisa igual a 50: 50² ÷ 40² = 2.500 ÷ 1.600 = 25/16.

Restando 1 queda 9/16, y multiplicando por el cuadrado del semieje imaginario: 900 · 9/16 = 506,25 mm². La ordenada es la raíz de eso, 22,5 mm. Y esa es la distancia de P al foco, porque están en la misma vertical.

(b) Del otro foco a P hay 100 mm en horizontal y 22,5 mm en vertical: 100² + 22,5² = 10.000 + 506,25 = 10.506,25 mm², cuya raíz es 102,5 mm.

(c) La diferencia vale 102,5 − 22,5 = 80 mm, que es el eje real. Esa es la definición de la hipérbola: la diferencia de los dos radios vectores, en valor absoluto, es la misma en todos sus puntos.

Para corregirte, comprueba la raíz de (b) sin calculadora: 102,5² = 10.506,25, que es el número de partida.

Equilátera quiere decir que los dos semiejes miden lo mismo. Así que el imaginario también mide 40 mm.

(a) El cuadrado de la semidistancia focal vale 1.600 + 1.600 = 3.200 mm², de donde mide 40√2 mm y la distancia focal entera es 80√2 mm, entre 113,13 y 113,14 mm: 113,13² = 12.798,3969 se queda corto y 113,14² = 12.800,6596 se pasa.

(b) La excentricidad es 40√2 ÷ 40 = √2. Y sale ese valor sea cual sea el tamaño: toda hipérbola equilátera tiene la misma excentricidad.

Está entre 1,4142 y 1,4143, porque 1,4142² = 1,99996164 no llega a 2 y 1,4143² = 2,00024449 se pasa.

(c) Las pendientes de las asíntotas valen 40 ÷ 40 = 1 y −1. Así que una sube tanto como la otra baja y el ángulo que forman es recto, de 90°.

Para corregirte, no te fíes de comparar decimales ya redondeados: hay que elevar al cuadrado y ver si el 2 queda entre los dos resultados, que es lo que se ha hecho arriba.

El parámetro es la distancia del foco a la directriz. Así que aquí vale 30 mm.

(a) El vértice está en el punto medio entre el foco y la directriz; o sea, a 30 ÷ 2 = 15 mm de cada uno.

(b) Por la definición, P está a 50 mm del foco y también a 50 mm de la directriz. Como el vértice está a 15 mm de la directriz, la abscisa de P contada desde el vértice vale 50 − 15 = 35 mm.

(c) Con el vértice en el origen, el cuadrado de la ordenada vale el doble del parámetro por la abscisa: 2 · 30 · 35 = 2.100 mm². La ordenada es √2.100 = 10√21 mm, entre 45,82 y 45,83 mm: 45,82² = 2.099,4724 se queda corto y 45,83² = 2.100,3889 se pasa.

Para corregirte, vuelve a la definición con el punto ya situado: de la directriz al punto hay 15 + 35 = 50 mm. Y eso es lo que valía el radio vector. Si ambas distancias no coinciden, el punto no está en la curva.

(a) Ese punto tiene la misma abscisa que el foco; o sea, 15 mm contados desde el vértice. El cuadrado de su ordenada vale 2 · 30 · 15 = 900 mm², de donde la ordenada mide 30 mm.

Sale el mismo número que el parámetro, y no es casualidad: esa distancia vale siempre lo que el parámetro, cualquiera que sea la parábola.

(b) La curva es simétrica respecto del eje. Así que hay otro punto igual al otro lado y la cuerda mide 60 mm. Esa cuerda es el lado recto.

(c) El punto está a 15 mm del vértice y el vértice a 15 mm de la directriz. Así que de la directriz al punto hay 15 + 15 = 30 mm, lo mismo que del punto al foco. Se cumple la definición.

Para corregirte, fíjate en que el lado recto sale siempre el doble del parámetro. Si te da otra cosa, has confundido el parámetro con la distancia del vértice al foco, que es su mitad.

(a) El cuadrado de la ordenada vale el doble del parámetro por la abscisa: 40² es igual al doble del parámetro por 20. Como 40² = 1.600 mm², el doble del parámetro vale 1.600 ÷ 20 = 80 mm y el parámetro, 40 mm.

(b) El foco está a la mitad del parámetro del vértice, es decir a 40 ÷ 2 = 20 mm, en (20, 0). La directriz es la recta vertical de abscisa −20, a la misma distancia por el otro lado.

(c) La distancia de P(20, 40) al foco (20, 0) es 40 mm, porque están en la misma vertical. Y de P a la directriz hay 20 + 20 = 40 mm. Las dos coinciden. Así que P está en la curva.

Para corregirte, comprueba la relación en otro punto: con abscisa 5 mm, el cuadrado de la ordenada vale 80 · 5 = 400 mm² y la ordenada, 20 mm. Su distancia al foco es √(225 + 400) = 25 mm, y a la directriz, 5 + 20 = 25 mm.

(a) La circunferencia focal de un foco tiene ese foco por centro y el eje mayor entero por radio: 2 · 50 = 100 mm.

(b) Al reflejar el foco de la derecha en la tangente, su imagen cae en la prolongación del radio vector que va del foco de la izquierda a P, y a la misma distancia de P que el foco reflejado; o sea, 26 mm más allá. En total, desde el foco de la izquierda hay 74 + 26 = 100 mm.

Ese número es el radio de la circunferencia focal. Así que el punto reflejado cae sobre ella. Pasa con cualquier tangente de la curva, y de ahí sale el método para trazarlas.

(c) La tangente deja el foco de la derecha y su imagen a la misma distancia y en perpendicular al segmento que los une: la tangente es la mediatriz de ese segmento.

Para corregirte, repite el razonamiento con el otro foco: el simétrico del foco de la izquierda respecto de la misma tangente tiene que quedar a 26 + 74 = 100 mm del foco de la derecha, que es el radio de su circunferencia focal.

(a) Q está en el eje mayor. Así que las distancias se restan y se suman directamente: al foco de la izquierda hay 80 + 40 = 120 mm y al de la derecha, 80 − 40 = 40 mm.

(b) Los puntos de contacto se buscan cortando la circunferencia focal del foco de la izquierda, de radio 100 mm, con la circunferencia de centro Q y radio su distancia al otro foco, 40 mm. Los centros de esas dos están a 120 mm.

Dos circunferencias tienen dos cortes cuando lo que separa sus centros cae entre la resta y la suma de sus radios. Aquí 100 − 40 = 60 y 100 + 40 = 140, y 120 queda en medio. Así que hay dos cortes y, por tanto, dos tangentes.

(c) El punto (50, 0) es el extremo del eje mayor y está en la curva: sus distancias a los focos valen 50 + 40 = 90 mm y 50 − 40 = 10 mm. Ahora 100 − 10 = 90, justo la distancia entre centros. Así que las dos circunferencias se tocan en un solo punto y sale una sola tangente.

Para corregirte, prueba con un punto de dentro, por ejemplo el centro: sus distancias a los focos valen 40 mm y 40 mm. Y 100 − 40 = 60 es mayor que 40. Así que no hay cortes y no sale ninguna tangente. Los tres casos encajan.

(a) La directriz es vertical. Así que el pie tiene la abscisa de la directriz y la ordenada de P: (−20, 40).

(b) En la parábola la directriz hace el papel de circunferencia focal. Y la tangente es la mediatriz que separa el foco de ese pie. El punto intermedio entre ambos es (0, 20). Y el punto del eje que cumple la condición es (−20, 0): de ahí al foco hay 20 + 20 = 40 mm y al pie, también 40 mm.

(c) P está a 40 mm del foco y a 40 mm del pie, porque esa es la definición de la parábola. Así que también pertenece a la mediatriz. Los tres puntos (−20, 0), (0, 20) y (20, 40) están alineados: de uno al siguiente se avanza 20 mm en horizontal y 20 mm en vertical.

El punto por el que la tangente corta al eje queda a la misma distancia del vértice que P, pero al otro lado: 20 mm. Esa es la regla práctica para trazar la tangente en cualquier punto de una parábola.

Para corregirte, mide la distancia del punto medio (0, 20) al foco y al pie: √(400 + 400) en los dos casos. Si no salieran iguales, el punto medio estaría mal.

(a) La proyección horizontal conserva la abscisa y el alejamiento. De A a B la abscisa crece 36 − 0 = 36 mm y el alejamiento, 58 − 10 = 48 mm. La longitud al cuadrado vale 36² + 48² = 1.296 + 2.304 = 3.600 mm², de donde mide 60 mm.

(b) La medida real sale como hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos esa proyección y la diferencia de cotas, que vale 100 − 20 = 80 mm: 3.600 + 6.400 = 10.000 mm², y la raíz da 100 mm.

(c) El seno del ángulo con el plano horizontal es el cateto opuesto partido por la hipotenusa; o sea, la diferencia de cotas entre la verdadera magnitud: 80 ÷ 100 = 0,8.

Para corregirte, suma los cuadrados de las tres diferencias de golpe: 1.296 + 2.304 + 6.400 = 10.000 mm², que es 100². El camino en dos pasos y el de un solo paso han de coincidir en el mismo valor.

(a) Al tener los dos la misma cota, el segmento es paralelo al plano horizontal. Y todo lo que es paralelo a un plano se proyecta sobre él con su medida real. Así que basta la proyección horizontal: 48² + 36² = 2.304 + 1.296 = 3.600 mm²; o sea, 60 mm.

(b) La proyección vertical conserva la abscisa y la cota. Como la cota no cambia, esa proyección es un segmento paralelo a la línea de tierra que mide lo que la diferencia de abscisas: 48 mm.

(c) El seno del ángulo con el plano vertical es la diferencia de alejamientos partida por la verdadera magnitud: 36 ÷ 60 = 0,6.

Para corregirte, comprueba que los dos senos encajan: el de este ángulo vale 0,6 y el que el mismo segmento forma con el plano horizontal vale 0, porque no cambia de cota. Un segmento paralelo a un plano forma con él un ángulo nulo.

(a) Al compartir la abscisa, las dos proyecciones caen sobre una misma perpendicular a la línea de tierra. La horizontal mide la diferencia de alejamientos, 55 − 15 = 40 mm. La vertical mide la diferencia de cotas, 70 − 28 = 42 mm. Ninguna de las dos es la medida real.

(b) Esos dos números son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la medida real: 40² + 42² = 1.600 + 1.764 = 3.364 mm², y la raíz da 58 mm.

Se llega al mismo sitio porque la diferencia de abscisas vale cero: el término que correspondería a la tercera dirección no suma nada.

(c) Hace falta la proyección sobre el plano de perfil, que es el tercer plano, perpendicular a los otros dos. Ahí el segmento aparece con su medida real, porque es paralelo a ese plano.

Para corregirte, mira el orden de los tres números: 40 y 42 son los catetos y 58 la hipotenusa. De modo que la medida real ha de superar a cualquiera de las dos proyecciones. Si te sale menor, has restado en vez de sumar.

(a) Una recta vertical es perpendicular al plano horizontal. Así que todos sus puntos comparten abscisa y alejamiento: su proyección horizontal se reduce a un punto.

(b) El segmento más corto de G a la recta es perpendicular a ella. Y como la recta es vertical, ese segmento es horizontal. Su longitud es lo que hay entre ambas proyecciones horizontales: 70 − 30 = 40 mm de abscisa y 65 − 35 = 30 mm de alejamiento. Así que 40² + 30² = 1.600 + 900 = 2.500 mm² y la distancia mide 50 mm.

(c) Porque ese segmento es paralelo al plano horizontal y se proyecta sobre él con su medida real. No hace falta ningún triángulo auxiliar: el número se toma tal cual de la proyección.

Para corregirte, comprueba que la cota de G no interviene: da igual a qué altura esté; porque la recta sube indefinidamente y el punto más próximo siempre queda a su misma cota.

(a) Un cambio de plano vertical sustituye el plano vertical por otro. Pero deja el plano horizontal donde estaba. Las cotas se miden al plano horizontal. Así que no cambian: 30 mm.

(b) El alejamiento se mide desde la línea de tierra hasta la proyección horizontal del punto. Con la línea nueva a 18 mm, queda 45 − 18 = 27 mm.

(c) Con la línea a 60 mm, el punto queda del otro lado, porque 60 pasa de los 45 mm de A. La distancia vale 60 − 45 = 15 mm, y hay que contarla hacia el lado contrario: A pasa a estar detrás de la nueva línea de tierra.

Para corregirte, comprueba que la distancia de A al plano horizontal es la misma en los tres casos, 30 mm. Si una de las cotas te ha cambiado, has movido el plano que no era.

(a) El cambio de plano vertical deja la cota en 55 mm y lleva el alejamiento a 40 − 16 = 24 mm.

(b) El cambio de plano horizontal hace lo contrario: deja el alejamiento en 24 mm y lleva la cota a 55 − 22 = 33 mm.

(c) El primero tocó solo el alejamiento y el segundo, solo la cota. Nunca se mueven los dos planos a la vez: por eso los cambios se encadenan de uno en uno, rehaciendo las dos proyecciones antes de dar el paso siguiente.

Ese es justamente el motivo de encadenarlos. Con un solo cambio se puede dejar una recta paralela a un plano de proyección; con dos, perpendicular a él, que es la posición en la que se resuelven las distancias de un tirón.

Para corregirte, recorre al revés los dos cambios: 24 + 16 = 40 mm de alejamiento y 33 + 22 = 55 mm de cota, que son los datos de partida.

(a) Al girar alrededor de un eje vertical, cada punto describe una circunferencia horizontal centrada en el eje. El radio es lo que separa a las dos proyecciones horizontales: la abscisa se diferencia en 56 − 20 = 36 mm y el alejamiento en 78 − 30 = 48 mm. Así que 36² + 48² = 1.296 + 2.304 = 3.600 mm² y el radio mide 60 mm.

(b) Un giro de eje vertical mueve el punto dentro de un plano horizontal. Así que la cota no cambia: sigue siendo 25 mm.

(c) Si C acaba con el mismo alejamiento que el eje, su proyección horizontal queda en la misma paralela a la línea de tierra que la del eje, a 60 mm de distancia. Por el lado de las abscisas mayores, eso da 20 + 60 = 80 mm.

Para corregirte, comprueba el radio en la posición final: de (80, 30) a (20, 30) hay 60 mm justos. Y el alejamiento no interviene porque los dos coinciden. Si el radio hubiera cambiado, el movimiento no sería un giro.

(a) Llamando u a los dos coeficientes iguales, el tercero vale u ÷ 2 y la condición se escribe: u al cuadrado, más u al cuadrado, más la cuarta parte de u al cuadrado, igual a 2. Eso son nueve cuartos de u al cuadrado.

De ahí, el cuadrado de u vale 2 · 4 ÷ 9 = 8/9. Y u es la raíz de 8/9, es decir 2√2 ÷ 3. Ese número está entre 0,9428 y 0,9429: 0,9428² = 0,88887184 no llega a 8/9 y 0,9429² = 0,88906041 se pasa.

(b) El tercero es la mitad: √2 ÷ 3, entre 0,4714 y 0,4715, porque 0,4714² = 0,22221796 no llega a 2/9 y 0,4715² = 0,22231225 se pasa.

(c) Los cuadrados valen 8/9, 8/9 y 2/9. Y su suma es 8/9 + 8/9 + 2/9 = 18/9 = 2.

Para corregirte, compara los dos coeficientes entre sí: el mayor ha de ser exactamente el doble del menor. Y en efecto 2√2 ÷ 3 es el doble de √2 ÷ 3. Si esa proporción no sale, el planteamiento estaba mal.

(a) Los tres cuadrados suman 2. De modo que el del tercero vale 2 − 0,64 − 0,81 = 0,55.

(b) Ese cuadrado es la fracción 55/100, y su raíz vale √55 ÷ 10, porque 55 no tiene ningún factor al cuadrado y 100 sí. El valor queda entre 0,7416 y 0,7417: 0,7416² = 0,54997056 no llega a 0,55 y 0,7417² = 0,55011889 se pasa.

(c) Sumando: 0,64 + 0,81 + 0,55 = 2, como tenía que salir.

Los tres coeficientes son distintos, que es lo que define la trimetría. En la dimetría dos coinciden y en la isometría coinciden los tres.

Para corregirte, mira que ningún coeficiente pase de 1: son reducciones. Así que un valor mayor que la unidad significaría que el eje sale más largo que la pieza. Y eso no ocurre en la axonometría ortogonal.

(a) Se multiplica la medida real por el coeficiente: 90 · 2√2 ÷ 3 = 60√2 mm. Ese valor está entre 84,85 y 84,86 mm, porque 84,85² = 7.199,5225 no llega a 7.200 y 84,86² = 7.201,2196 se pasa.

(b) Con el coeficiente menor: 90 · √2 ÷ 3 = 30√2 mm, entre 42,426 mm y 42,427 mm: 42,426² = 1.799,965476 no llega a 1.800 y 42,427² = 1.800,050329 se pasa.

(c) Con el coeficiente práctico 1 la arista se dibujaría con sus 90 mm. La proporción entre ese dibujo y el reducido es 90 ÷ 60√2 = 3 ÷ 2√2 = 3√2 ÷ 4, entre 1,0606 y 1,0607: 1,0606² = 1,12487236 no llega a 9/8 y 1,0607² = 1,12508449 se pasa.

Para corregirte, comprueba que la misma proporción sale en el otro eje: 45 ÷ 30√2 vuelve a dar 3 ÷ 2√2. Si no coincidiera, el dibujo estaría deformado y no sería una dimetría.

(a) Se multiplica por el coeficiente: 60 · √2 ÷ 3 = 20√2 mm, entre 28,28 y 28,29 mm: 28,28² = 799,7584 no llega a 800 y 28,29² = 800,3241 se pasa.

(b) Reducir a la mitad es multiplicar otra vez, ahora por 1/2: 20√2 ÷ 2 = 10√2 mm, entre 14,14 y 14,15 mm, porque 14,14² = 199,9396 no llega a 200 y 14,15² = 200,2225 se pasa.

(c) La razón vale 1/2, y eso no alcanza la unidad. Así que reduce. Conviene hacer esa comprobación antes de ponerse a multiplicar: ver si la razón supera la unidad o se queda por debajo.

▲ Las dos operaciones son distintas y conviene no mezclarlas: el coeficiente corrige el acortamiento que produce la proyección. Y la reducción posterior es una decisión de tamaño del dibujo. Las dos multiplican, pero por motivos diferentes.

Para corregirte, deshaz las dos: 10√2 · 2 = 20√2. Y 20√2 multiplicado por 3 ÷ √2 devuelve 60 mm, que es la medida de partida.

(a) Los dos faldones tienen la misma pendiente y arrancan de aleros que están a la misma altura. Así que se encuentran en el centro: 12 ÷ 2 = 6 m desde cada alero.

(b) Una pendiente del 50 % quiere decir que por cada metro avanzado en horizontal se sube medio metro. En 6 m se suben 6 · 0,50 = 3 m. Así que la cumbrera queda a la cota 5 + 3 = 8 m.

(c) El faldón es la hipotenusa de un triángulo de catetos 6 m en horizontal y 3 m en vertical: 6² + 3² = 36 + 9 = 45 m². Y la raíz vale 3√5 m, entre 6,70 y 6,71 m, porque 6,70² = 44,89 no llega a 45 y 6,71² = 45,0241 se pasa.

Para corregirte, comprueba que la longitud del faldón es mayor que los 6 m de su proyección horizontal y menor que la suma 6 + 3 = 9 m. Los 6,70 m cumplen las dos cosas.

(a) La pendiente es lo que se sube dividido entre lo que se avanza en horizontal: 5 ÷ 20 = 0,25, es decir un 25 %.

(b) Suponiendo que la ladera es plana en ese tramo, en 8 m se suben 8 · 0,25 = 2 m. Así que el punto está a la cota 40 + 2 = 42 m.

(c) El recorrido real es la hipotenusa de un triángulo de catetos 20 m y 5 m: 20² + 5² = 400 + 25 = 425 m². Y la raíz vale 5√17 m, entre 20,61 y 20,62 m: 20,61² = 424,7721 no llega a 425 y 20,62² = 425,1844 se pasa.

⚠ La interpolación del apartado (b) da un valor aproximado, no exacto: supone que entre dos curvas de nivel el terreno sube de manera uniforme. Y un terreno real casi nunca lo hace.

Para corregirte, mira que la distancia real supere a la horizontal en muy poco: aquí son 20,61 m frente a 20 m, porque el desnivel es pequeño comparado con el avance.

(a) Cuando dos faldones vecinos tienen la misma pendiente y sus aleros están a la misma altura, la recta en que se cortan se proyecta siguiendo la bisectriz de los dos aleros. Aquí los aleros son perpendiculares. Así que esa bisectriz forma 45° con cada uno.

(b) Las cuatro limatesas avanzan hacia dentro a 45°. Así que desde cada lado corto entran 10 ÷ 2 = 5 m. La cumbrera es lo que queda del lado largo: 16 − 5 − 5 = 6 m.

Su altura sobre el alero es lo que se sube en esos 5 m con una pendiente del 40 %: 5 · 0,40 = 2 m.

(c) Seis metros son 6.000 mm, y a 1:100 esa cifra se divide entre 100: 6.000 ÷ 100 = 60 mm. La razón vale 1/100 y no alcanza la unidad. De modo que la escala reduce.

Para corregirte, comprueba el reparto del lado largo: 5 + 6 + 5 = 16 m. Si la suma no devuelve la medida del edificio, las limatesas están mal situadas.

(a) La medida máxima es el valor nominal más la desviación superior: 50 + 0,05 = 50,05 mm.

(b) La mínima es el valor nominal más la desviación inferior, que aquí es negativa: 50 − 0,03 = 49,97 mm.

(c) La tolerancia es la diferencia entre las dos medidas límite: 50,05 − 49,97 = 0,08 mm.

Se llega al mismo número restando las dos desviaciones: 0,05 + 0,03 = 0,08 mm. Es un camino más corto y sirve de comprobación.

Para corregirte, mira que el valor nominal quede entre las dos medidas límite. Si una de las dos se te queda del mismo lado que la otra, has sumado la desviación negativa en vez de restarla.

(a) El agujero va de 40 + 0,08 = 40,08 mm a 40 + 0 = 40,00 mm. El eje va de 40 − 0,02 = 39,98 mm a 40 − 0,06 = 39,94 mm.

(b) El juego máximo se da con el agujero lo más grande posible y el eje lo más pequeño posible: 40,08 − 39,94 = 0,14 mm.

El juego mínimo es el caso contrario, agujero pequeño y eje grande: 40,00 − 39,98 = 0,02 mm.

(c) Los dos juegos salen positivos. Así que el eje siempre entra con holgura, por mal que caigan las dos piezas dentro de su tolerancia: es un ajuste móvil.

Para corregirte, comprueba que el juego máximo sale de sumar ambas tolerancias y el juego mínimo: la del agujero vale 0,08 mm, la del eje 0,04 mm. Y 0,08 + 0,04 + 0,02 = 0,14 mm.

(a) Puestas en cadena, las tres se suman: 20 + 35 + 25 = 80 mm.

(b) En el peor caso las tres se van al máximo y la medida total se pasa 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 mm; en el otro peor caso se queda corta en la misma cantidad. La medida total va, por tanto, de 79,7 mm a 80,3 mm, un intervalo de 0,6 mm.

⛔ Eso es lo que se llama acumulación de tolerancias, y es la trampa de acotar en cadena: cada cota cumple lo suyo y aun así el conjunto se sale de lo previsto.

(c) Acotando desde un origen común, la medida total se mide directamente desde ese origen y no arrastra el error de las otras dos: su tolerancia sería la suya propia, ±0,1 mm, con un intervalo de 0,2 mm.

Para corregirte, compara los dos intervalos: 0,6 mm en cadena y 0,2 mm desde un origen común; o sea, el triple. Ahí está el motivo de acotar pensando en la función de cada medida y no en el orden en que resulta cómodo dibujar.