Ejercicios Resueltos de Matemáticas 3 ESO 2026 / 2027

(a) Tiene final, así que debajo va la potencia de 10 que corresponde a sus dos cifras decimales: 56/100. Se simplifica dividiendo arriba y abajo entre 4 y queda 14/25.

(b) Se llama N = 1,333… y se multiplica por 10, que es lo que hace falta para que el trozo que se repite quede en el mismo sitio: 10N = 13,333…

Al restar, los decimales se van: 10N − N = 13,333… − 1,333… = 12, o sea 9N = 12 y N = 12/9 = 4/3. Se corrige solo haciendo 4 ÷ 3 = 1,333…

(c) Aquí hay una cifra entre la coma y el trozo que se repite, así que hacen falta dos multiplicaciones: 100N = 46,666… y 10N = 4,666…

Restando: 90N = 42, y N = 42/90 = 7/15. Se corrige solo haciendo 7 ÷ 15 = 0,4666…

La regla mira los factores primos del denominador de la fracción ya simplificada: si solo hay doses y cincos, el decimal termina.

7/40 termina: 40 = 2 × 2 × 2 × 5, solo doses y un cinco. Vale 0,175.

5/12 no termina: 12 = 2 × 2 × 3, y ese 3 lo estropea. Vale 0,41666…

9/24 sí termina, y es el que obliga a fijarse: 24 tiene un 3, pero la fracción no está simplificada. 9/24 = 3/8, y 8 = 2 × 2 × 2. Vale 0,375.

11/50 termina: 50 = 2 × 5 × 5. Vale 0,22.

▲ Que el denominador sea par no basta: 12 es par y 5/12 no termina. Lo que decide es que solo haya doses y cincos, y para verlo hay que simplificar primero.

Primero los negativos, que van delante de todos los positivos. −3/4 = −0,75, así que −3/4 y −0,75 son el mismo número escrito de dos formas.

Para los tres positivos conviene un denominador común: el mínimo común múltiplo de 8, 3 y 10, que vale 120. Y 0,7 se escribe como 7/10.

5/8 = 75/120, porque 120 ÷ 8 = 15 y 5 × 15 = 75. Después 2/3 = 80/120 y 7/10 = 84/120.

Con el mismo denominador basta con mirar los de arriba: 75 < 80 < 84.

Queda −3/4 = −0,75 < 5/8 < 2/3 < 0,7. Se corrige solo pasando los tres positivos a decimal: 0,625, luego 0,666… y luego 0,7, en ese mismo orden.

(a) Con la misma base, al multiplicar se suman los exponentes y al dividir se restan: −3 + 5 − 4 = −2. Queda 2⁻² = 1/4.

(b) Una potencia de otra potencia multiplica los exponentes: (−2) × (−1) = 2. Queda 3² = 9.

(c) El exponente negativo da la vuelta: (−2)⁻³ = 1 ÷ (−2)³ = 1 ÷ (−8) = −1/8.

Se corrige solo escribiendo las tres sin exponentes negativos y operando: en (a), 2⁵ ÷ (2³ × 2⁴) = 32 ÷ 128 = 1/4; en (b), 1 ÷ (1 ÷ 3²) = 9; y en (c), 1 ÷ (−8) = −1/8.

▲ En (c) el resultado sale negativo, pero no por el signo del exponente: lo pone la base, que es negativa, junto con el exponente impar. En (a) el exponente también es negativo y el resultado, 1/4, es positivo.

0,00000315 = 3,15 × 10⁻⁶. La coma se mueve seis lugares a la derecha hasta dejar una sola cifra distinta de cero delante, y por eso el exponente es −6.

47.800.000 = 4,78 × 10⁷. Aquí la coma se mueve siete lugares a la izquierda y el exponente sale positivo.

En el producto van por un lado los números de delante y por otro las potencias: 2,5 × 4 = 10 y 10⁶ × 10⁻⁹ = 10⁻³. De momento, 10 × 10⁻³.

Eso todavía no está en notación científica, porque delante tiene que haber un número entre 1 y 10 sin llegar a 10. Se recoloca: 10 = 1 × 10¹, así que el resultado es 1 × 10⁻², es decir 0,01.

Se corrige solo escribiendo el producto sin potencias: 2,5 × 10⁶ son 2.500.000 y 4 × 10⁻⁹ son 0,000000004; al multiplicarlos vuelve a salir 0,01.

▲ Por eso no vale decir que el exponente del resultado es la suma de los dos exponentes: aquí la suma da −3 y el resultado lleva −2. El número de delante puede cambiar el exponente.

Para sumar hace falta que los dos tengan el mismo exponente. Se sube el segundo a 10⁵ moviendo su coma un lugar a la izquierda: 8,7 × 10⁴ = 0,87 × 10⁵.

Ahora sí se suman los números de delante: 3,4 + 0,87 = 4,27.

El resultado es 4,27 × 10⁵, que ya está bien escrito porque 4,27 está entre 1 y 10.

Se corrige solo escribiéndolo todo sin potencias: 340.000 + 87.000 = 427.000, y 427.000 = 4,27 × 10⁵.

▲ Sumar 3,4 y 8,7 directamente daría 12,1, que no es el número de delante de nada: hasta que los exponentes no coinciden, esos dos números miden cosas de tamaño distinto.

(a) Se dividen las dos medidas: (7 × 10⁻⁶) ÷ (2 × 10⁻⁶). Los números de delante dan 7 ÷ 2 = 3,5 y las potencias se van, porque 10⁻⁶ ÷ 10⁻⁶ = 10⁰ = 1.

El glóbulo es 3,5 veces mayor. Al dividir dos longitudes el resultado no lleva unidad, y eso es lo que tiene que pasar cuando se compara un tamaño con otro.

(b) 1 mm son 10⁻³ m, así que hay que hacer (1 × 10⁻³) ÷ (7 × 10⁻⁶).

Los números de delante dan 1 ÷ 7 y las potencias, 10⁻³ ÷ 10⁻⁶ = 10³. Sale 1.000 ÷ 7 = 142,857…

Caben 142 glóbulos enteros, y sobra un trozo. Se corrige solo multiplicando hacia atrás por los dos lados: 142 × 7 × 10⁻⁶ m = 9,94 × 10⁻⁴ m, algo menos que el milímetro; y 143 × 7 × 10⁻⁶ m = 1,001 × 10⁻³ m, algo más. Hacen falta las dos cuentas: con la primera sola quedaría sin descartar que cupieran 143.

(a) Al restar hay que cambiar el signo de todos los términos de Q, no solo del primero: −Q(x) = −3x³ − 4x² + 1.

Ahora se juntan los términos semejantes, los que tienen la misma parte con letra. Los de grado 3: 3x³ − 3x³ = 0. Los de grado 2: 0 − 4x² = −4x². Los de grado 1: −2x. Y los números: 5 + 1 = 6.

P(x) − Q(x) = −4x² − 2x + 6, que es de grado 2 aunque los dos de partida fueran de grado 3: los términos de grado 3 se han anulado entre sí, y el resultado está bien.

(b) El valor numérico se calcula sustituyendo la letra por el número: P(2) = 3 × 2³ − 2 × 2 + 5.

P(2) = 3 × 8 − 4 + 5 = 24 − 4 + 5 = 25.

Se corrige solo por otro camino, que además ata (a) con (b): Q(2) = 24 + 16 − 1 = 39, y la resta de (a) en x = 2 vale −16 − 4 + 6 = −14. En efecto 25 − 39 = −14, así que los dos apartados encajan.

(a) El cuadrado de una suma es el primero al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado: 4x² + 2 × 2x × 5 + 25 = 4x² + 20x + 25.

(b) Con una resta cambia solo el signo del término del medio: 9x² − 2 × 3x × 1 + 1 = 9x² − 6x + 1. El último término es positivo, porque es un cuadrado.

(c) Suma por diferencia da la diferencia de los cuadrados, y el término del medio desaparece: x² − 16.

Para buscarte los fallos, sustituye varios valores en las dos escrituras de cada apartado: si en alguno no coinciden, hay un error seguro. Con x = 1: en (a), (2 + 5)² = 49 y 4 + 20 + 25 = 49; en (b), (3 − 1)² = 4 y 9 − 6 + 1 = 4; en (c), 5 × (−3) = −15 y 1 − 16 = −15.

Y con x = 2: en (a), (4 + 5)² = 81 y 16 + 40 + 25 = 81; en (b), (6 − 1)² = 25 y 36 − 12 + 1 = 25; en (c), 6 × (−2) = −12 y 4 − 16 = −12. Que coincidan tampoco lo demuestra: 5x² + 17x + 27, que está mal, da 49 con x = 1 y 81 con x = 2, igual que (a). Lo que demuestra el desarrollo es hacerlo término a término; probar valores sirve para pillar un error, no para dar el desarrollo por bueno.

▲ Elevar al cuadrado una suma no es lo mismo que elevar cada sumando y sumar después: con 2 y 5, (2 + 5)² vale 49 mientras que 2² + 5² vale 29. Lo que falta entre esos dos números, 20, es justo el término del medio.

Cada término del primero multiplica a cada término del segundo.

x² × x = x³ y x² × 4 = 4x². Después −3x × x = −3x² y −3x × 4 = −12x. Y por último 2 × x = 2x y 2 × 4 = 8.

Se juntan los semejantes: 4x² − 3x² = x² y −12x + 2x = −10x. Queda x³ + x² − 10x + 8.

El grado cuadra: grado 2 por grado 1 tiene que dar grado 3.

▲ Probar valores descarta, pero no demuestra, y no basta con probar unos cuantos: 2x³ − 5x² + x + 2, que no es el resultado, coincide con el bueno en x = 1, en x = 2 y en x = 3, y solo se separa en x = 4 (54 frente a 48). La prueba de verdad es rehacer el producto y comparar coeficiente a coeficiente; probar con x = 2, que da (4 − 6 + 2) × 6 = 0 y 8 + 4 − 20 + 8 = 0, sirve para cazar una errata, no para darlo por bueno.

(a) El área de un cuadrado es el lado al cuadrado: (x + 3)² = x² + 6x + 9 centímetros cuadrados.

(b) Por el lado: si x = 7, el lado mide 10 cm y el área es 10 × 10 = 100 cm².

Por el polinomio: 7² + 6 × 7 + 9 = 49 + 42 + 9 = 100 cm². Coinciden, lo que descarta una errata; que el desarrollo sea el bueno lo dice la identidad del cuadrado de una suma, no este número: x² + 7x + 2 también da 100 cuando x vale 7.

(c) La diferencia entre las dos áreas es (x² + 6x + 9) − x² = 6x + 9 centímetros cuadrados.

Con x = 7 esa diferencia vale 6 × 7 + 9 = 51 cm², y en efecto 100 − 49 = 51 cm².

Se escriben los coeficientes en orden, 2, 1, −8 y 5, y se usa el 1, que es el número que anula x − 1.

Se baja el 2. Luego 2 × 1 = 2 y 1 + 2 = 3. Luego 3 × 1 = 3 y −8 + 3 = −5. Y por último −5 × 1 = −5 y 5 + (−5) = 0.

El último número es el resto, así que el resto es 0 y el cociente es 2x² + 3x − 5.

El resto se corrige solo con el teorema del resto, sin rehacer la división: tiene que valer P(1) = 2 + 1 − 8 + 5 = 0. Cuadra. Pero eso no dice nada del cociente, que se comprueba aparte multiplicando: (x − 1)(2x² + 3x − 5) = 2x³ + 3x² − 5x − 2x² − 3x + 5 = 2x³ + x² − 8x + 5, el polinomio de partida.

▲ Que el resto sea 0 no significa que el polinomio esté factorizado: solo se ha sacado un factor. El cociente 2x² + 3x − 5 todavía se parte en (x − 1)(2x + 5), así que el polinomio entero es (x − 1)(x − 1)(2x + 5) y el 1 es raíz dos veces.

Para saber el resto no hace falta dividir: basta con sustituir la letra por el número que anula al divisor. Aquí el divisor es x + 2, que se lee x − (−2), así que ese número es −2.

P(−2) = (−2)⁴ − 3 × (−2)² + 2 × (−2) − 6.

Cada trozo: (−2)⁴ = 16, después 3 × 4 = 12 que va restando, después 2 × (−2) = −4, y el −6.

16 − 12 − 4 − 6 = −6. El resto es −6.

x + 2 no es factor de P(x), porque para serlo el resto tendría que valer 0. Y hay que cuidar el signo del número que se sustituye: con x + 2 lo que se sustituye es −2, no 2.

Se corrige solo haciendo la división de verdad, por Ruffini con el −2, que es un camino distinto: los coeficientes son 1, 0, −3, 2 y −6. Se baja el 1; 1 × (−2) = −2 y 0 − 2 = −2; −2 × (−2) = 4 y −3 + 4 = 1; 1 × (−2) = −2 y 2 − 2 = 0; 0 × (−2) = 0 y −6 + 0 = −6. El resto vuelve a ser −6.

(a) Primero el factor común, que es el paso que conviene no saltarse: 5x³ − 20x = 5x(x² − 4). Y x² − 4 es una diferencia de cuadrados: 5x(x − 2)(x + 2).

(b) Tiene forma de cuadrado de una resta. El término del medio tendría que ser 2 × x × 7 = 14x, y es justo lo que hay: (x − 7)².

(c) También hay factor común: 3x² − 27 = 3(x² − 9), y x² − 9 vuelve a ser diferencia de cuadrados: 3(x − 3)(x + 3).

Para buscarte los fallos, sustituye varios valores en las dos escrituras: si en alguno no coinciden hay un error seguro, y si coinciden solo queda descartada la errata. Con x = 1: en (a), 5 − 20 = −15 y 5 × 1 × (−1) × 3 = −15; en (b), 1 − 14 + 49 = 36 y (−6)² = 36; en (c), 3 − 27 = −24 y 3 × (−2) × 4 = −24.

Con x = 4: en (a), 320 − 80 = 240 y 5 × 4 × 2 × 6 = 240; en (b), 16 − 56 + 49 = 9 y (4 − 7)² = 9; en (c), 48 − 27 = 21 y 3 × 1 × 7 = 21. Conviene evitar los valores que anulan algún factor, porque ahí los dos lados dan 0 y no se comprueba gran cosa. Lo que sí demuestra la factorización es multiplicar los factores y ver si vuelve a salir el polinomio de partida.

Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6, con los dos signos. Se prueban con el teorema del resto hasta dar con uno que anule el polinomio.

P(1) = 1 − 7 + 6 = 0, así que 1 es raíz y x − 1 es factor.

En la fila de Ruffini hay que poner un 0 en el lugar del grado 2, que aquí no aparece: los coeficientes son 1, 0, −7 y 6. Usando el 1: se baja el 1; 1 × 1 = 1 y 0 + 1 = 1; 1 × 1 = 1 y −7 + 1 = −6; −6 × 1 = −6 y 6 − 6 = 0. El cociente es x² + x − 6.

Ese cociente es de segundo grado y se parte buscando dos números que multiplicados den −6 y sumados den 1: son 3 y −2. Queda x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2).

P(x) = (x − 1)(x + 3)(x − 2). Dar un valor a las dos escrituras sirve para descartar: con x = 4, por un lado 64 − 28 + 6 = 42 y por otro 3 × 7 × 2 = 42. Y lo que lo demuestra es multiplicar: (x + 3)(x − 2) = x² + x − 6, y después (x − 1)(x² + x − 6) = x³ + x² − 6x − x² − x + 6 = x³ − 7x + 6.

(a) No hay término suelto sin letra, así que se saca factor común: 3x(x − 4) = 0.

Un producto vale 0 cuando uno de los dos factores vale 0: o bien 3x = 0, o bien x − 4 = 0. Las soluciones son x = 0 y x = 4.

(b) Aquí falta el término con x sola. Se despeja: 2x² = 50, o sea x² = 25.

Hay dos números cuyo cuadrado es 25: x = 5 y x = −5. Las dos se comprueban en la ecuación de partida: 2 × 25 − 50 = 0 en los dos casos.

⚠ En (a) no se puede dividir entre 3x los dos lados. Quedaría x − 4 = 0 y solo saldría x = 4: dividir entre algo que puede valer 0 hace desaparecer precisamente la solución x = 0.

Se identifican los tres números con su signo: a = 1, b = −7 y c = 10.

Dentro de la raíz de la fórmula va b² − 4ac = (−7)² − 4 × 1 × 10 = 49 − 40 = 9, y √9 = 3.

x = (7 ± 3) ÷ 2. Por un lado (7 + 3) ÷ 2 = 5 y por otro (7 − 3) ÷ 2 = 2.

La comprobación, que es la parte que decide: con x = 5, 25 − 35 + 10 = 0. Con x = 2, 4 − 14 + 10 = 0. Las dos cumplen.

▲ Que las soluciones salgan enteras no significa que estén bien. Si te hubieras dejado el signo de b y hubieras escrito b = 7, saldrían −5 y −2, enteras también, y ninguna cumple la ecuación: 25 + 35 + 10 = 70. Lo único que lo decide es sustituir.

a = 2, b = 5 y c = −3. Dentro de la raíz: 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. Ojo al signo, porque −4 × 2 × (−3) suma.

√49 = 7, y abajo va 2a = 4. Entonces x = (−5 ± 7) ÷ 4.

Por un lado (−5 + 7) ÷ 4 = 2/4 = 1/2. Por otro (−5 − 7) ÷ 4 = −12/4 = −3.

Comprobación con x = 1/2: 2 × 1/4 + 5 × 1/2 − 3 = 1/2 + 5/2 − 3 = 3 − 3 = 0.

Comprobación con x = −3: 2 × 9 + 5 × (−3) − 3 = 18 − 15 − 3 = 0. Las dos cumplen.

(a) Se llama x al ancho en centímetros; entonces el largo mide x + 3 centímetros y el área es x(x + 3) = 54.

Se ordena: x² + 3x − 54 = 0. Dentro de la raíz: 3² − 4 × 1 × (−54) = 9 + 216 = 225, y √225 = 15.

x = (−3 ± 15) ÷ 2, o sea x = 6 y x = −9. El ancho mide 6 cm y el largo, 9 cm; se comprueba en el enunciado: 6 × 9 = 54 cm².

(b) El perímetro es 2 × (6 + 9) = 30 cm.

▲ Que salga x = −9 no significa que el planteamiento esté mal: esa solución cumple la ecuación (81 − 27 − 54 = 0) y lo que no puede es ser un ancho, porque una longitud no es negativa. Resolver la ecuación y resolver el problema son dos cosas distintas, y hay que hacer las dos.

Igualar consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y escribir que las dos expresiones valen lo mismo.

De la primera: x = 11 − y. De la segunda: 3x = 9 + y, o sea x = (9 + y) ÷ 3.

Se igualan: 11 − y = (9 + y) ÷ 3. Se quita el denominador multiplicando todo por 3: 33 − 3y = 9 + y.

Se juntan las y a un lado: 33 − 9 = y + 3y, o sea 24 = 4y, de donde y = 6. entonces x = 11 − 6 = 5.

La solución es la pareja x = 5 e y = 6, y hay que probarla en las dos ecuaciones: 5 + 6 = 11 y 3 × 5 − 6 = 15 − 6 = 9. Las dos cuadran.

(a) Se multiplica la primera ecuación por 2 para que los términos con x se puedan anular: 4x − 6y = 8.

Al sumarla con la segunda desaparecen las dos incógnitas y queda 0 = 18, que es falso. El sistema (a) no tiene solución: no hay ninguna pareja que cumpla las dos.

(b) Se hace lo mismo: la primera por 2 da 4x − 6y = 8, y sumándola con la segunda queda 0 = 0, que se cumple con cualquier pareja de números.

El sistema (b) tiene infinitas soluciones: la segunda ecuación es la primera multiplicada por −2, así que no aporta nada nuevo. Vale cualquier pareja que cumpla 2x − 3y = 4, por ejemplo x = 2 e y = 0, o x = 5 e y = 2.

▲ Que desaparezcan las dos incógnitas no basta para decir que no hay solución: hay que mirar qué queda. Una igualdad falsa significa que no hay ninguna, y una igualdad cierta, que hay infinitas.

Antes de plantear nada se escribe qué representa cada letra, con su unidad: a son las entradas de adulto y n, las de menor de edad.

El recuento de entradas da a + n = 120. El dinero da 8a + 5n = 852, porque cada entrada de adulto aporta 8 € y cada una de menor, 5 €.

Para que las n se vayan, se multiplica la primera por 5: 5a + 5n = 600. Restándola de la segunda queda 8a − 5a = 852 − 600, o sea 3a = 252.

a = 84 entradas de adulto y, volviendo al recuento, n = 120 − 84 = 36 de menor de edad.

Se repasan las dos condiciones del enunciado: 84 + 36 = 120 entradas, y 84 × 8 + 36 × 5 = 672 + 180 = 852 €. Los dos resultados salen enteros, que es lo que tiene que ocurrir cuando se cuentan entradas.

(a) La base es un rectángulo de 12 cm por 9 cm, y su diagonal lo parte en dos triángulos rectángulos cuyos catetos son esos dos lados.

Diagonal de la base al cuadrado = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, así que la diagonal de la base mide 15 cm.

(b) Esa diagonal y la altura de la caja forman a su vez un triángulo rectángulo, y su hipotenusa es la diagonal que se pide.

Diagonal al cuadrado = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, y la diagonal de la caja mide 17 cm.

Se corrige solo juntando los dos pasos en uno: 12² + 9² + 8² = 144 + 81 + 64 = 289, el mismo 289. Y el resultado, 17 cm, es mayor que cualquiera de las tres aristas, como tiene que ser la hipotenusa.

(a) La antena, el suelo y el cable forman un triángulo rectángulo: el ángulo recto está en la base de la antena, y el cable es la hipotenusa.

Cable al cuadrado = 24² + 7² = 576 + 49 = 625, así que el cable mide 25 m.

(b) Se compran 25 + 1,5 = 26,5 m.

Se corrige solo dando la vuelta a la cuenta: si el cable mide 25 m y la antena 24 m, la distancia al suelo tendría que salir de 25² − 24² = 625 − 576 = 49, y √49 = 7 m, que es el dato del enunciado.

▲ Comprobar que los dos catetos reconstruyen la hipotenusa no detecta haberlos intercambiado, porque 24² + 7² y 7² + 24² son la misma suma; aquí ese intercambio tampoco cambia el resultado, porque el cable sale el mismo. Lo que sí lo cambia es equivocarse de papel: tomando el cable por un cateto y la antena por la hipotenusa saldría 24² − 7² = 527. Ese lado mediría entre 22 y 23 m, menos que la propia antena, y eso es imposible con el cable tirante.

(a) La altura sobre la base de un triángulo isósceles cae en el punto medio de esa base y la parte en dos trozos iguales de 5 cm.

Se forma así un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado de 13 cm y uno de cuyos catetos mide 5 cm. El otro cateto es la altura.

Altura al cuadrado = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, así que la altura mide 12 cm.

(b) Área = base por altura dividido entre dos = 10 × 12 ÷ 2 = 60 cm².

Se corrige solo volviendo a Pitágoras hacia delante: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Y la altura, 12 cm, sale menor que el lado de 13 cm, que es lo que debe pasar cuando se calcula un cateto.

(a) La razón de semejanza se saca de dos lados que se correspondan, y el que corresponde al menor es el menor: k = 15 ÷ 6 = 5/2, es decir 2,5.

(b) Los demás lados se multiplican por esa misma razón: 8 × 5/2 = 20 cm y 10 × 5/2 = 25 cm.

Se corrige solo comprobando que las tres divisiones dan lo mismo: 15 ÷ 6 = 2,5, 20 ÷ 8 = 2,5 y 25 ÷ 10 = 2,5.

Y hay una segunda comprobación que además es bonita: el de partida cumple 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², así que es rectángulo; el semejante tiene que serlo también, y en efecto 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25².

▲ Hay que emparejar cada lado con el que le corresponde, no por el orden en que están escritos. Si se toma el 15 como el que corresponde al lado de 8, sale k = 15 ÷ 8 = 1,875 y los otros dos lados darían 11,25 cm y 18,75 cm: el menor del triángulo nuevo sería 11,25 y no 15, justo lo contrario de lo que dice el enunciado.

El teorema de Tales dice que esos segmentos son proporcionales: el primero es al segundo en una recta como el primero es al segundo en la otra.

Se escribe la proporción cuidando el orden: 4 ÷ 6 = 10 ÷ x, donde x es lo que se busca.

Multiplicando en cruz: 4x = 60, así que x = 15 cm.

Se corrige solo comparando las dos rectas entre sí en vez de dentro de cada una: 10 ÷ 4 = 2,5 y 15 ÷ 6 = 2,5. Las dos formas de escribir la proporción tienen que llevar al mismo sitio.

▲ Si se cruzan los términos y se escribe 4 ÷ 6 = x ÷ 10, sale x = 40/6, unos 6,67 cm, que además es menor que el segmento de 10 cm cuando debería ser mayor: el segundo trozo es más largo que el primero en la recta de arriba, y también tiene que serlo en la de abajo.

A la misma hora los rayos del sol llegan con la misma inclinación, así que el poste con su sombra y el edificio con la suya forman dos triángulos rectángulos semejantes.

Se emparejan altura con altura y sombra con sombra: 2 ÷ 1,5 = h ÷ 18.

Multiplicando en cruz: 1,5 × h = 36, o sea h = 24 m.

Se corrige solo comprobando que la razón entre altura y sombra es la misma en los dos: 2 ÷ 1,5 = 4/3 y 24 ÷ 18 = 4/3.

▲ La condición de «a la misma hora» no es un adorno del enunciado: si las dos sombras se midieran en momentos distintos, los triángulos no tendrían los mismos ángulos y la proporción no valdría.

La escala 1:250 significa que cada centímetro del plano son 250 centímetros de la realidad.

(a) El lado de 4 cm son 4 × 250 = 1.000 cm, que son 10 m. El de 3 cm son 3 × 250 = 750 cm, que son 7,5 m.

(b) El perímetro real es 2 × (10 + 7,5) = 35 m.

Se corrige solo por el otro camino: el perímetro en el plano es 2 × (4 + 3) = 14 cm, y 14 × 250 = 3.500 cm, que son 35 m. Las longitudes se multiplican todas por la misma escala, así que da igual multiplicar antes o después de sumar.

▲ El paso de centímetros a metros se hace dividiendo entre 100, no entre 250: son dos cosas distintas que caen seguidas. La escala convierte plano en realidad y la división entre 100 convierte centímetros en metros.

Lo primero es poner las dos medidas en la misma unidad, porque vienen en centímetros y en metros: 80 cm = 0,8 m.

(a) El volumen de un cilindro es el área de la base por la altura: π × 0,8² × 2 = π × 0,64 × 2 = 1,28π m³.

Con π ≈ 3,14 queda 1,28 × 3,14 = 4,0192 m³.

(b) Un metro cúbico son 1.000 litros, así que caben 4,0192 × 1.000 = 4.019,2 litros.

▲ Para corregirte, rehaz la cuenta entera en centímetros y compara: π × 80² × 200 = 1.280.000π cm³, que con π ≈ 3,14 son 4.019.200 cm³; como un litro son 1.000 cm³, vuelven a salir 4.019,2 litros. Hace falta hacer eso, o mirar antes de empezar que las dos medidas estén en la misma unidad, porque el error no se delata solo: quien multiplique 80² por 2 obtiene 40.192 donde van 4,0192, y ese número por sí mismo no tiene nada de raro.

El volumen del cubo es la arista al cubo: 6 × 6 × 6 = 216 cm³.

La base de la pirámide es la cara del cubo, un cuadrado de 6 cm de lado, y su área vale 36 cm².

El volumen de la pirámide es el área de la base por la altura dividido entre 3: 36 × 4 ÷ 3 = 48 cm³.

Como las dos piezas están pegadas una encima de la otra y no se solapan, los volúmenes se suman: 216 + 48 = 264 cm³.

▲ El «÷ 3» de la pirámide cambia mucho el resultado, y hay una cota que decide sin discutir: la pirámide tiene la misma base que el cubo y es más baja, así que su volumen no puede pasar de un tercio del cubo, o sea de 216 ÷ 3 = 72 cm³. Los 48 cm³ caben ahí; los 144 cm³ que salen al olvidar el «÷ 3», no.

(a) Cada bola ocupa 4/3 × π × 2³ = 32π/3 cm³. Las seis ocupan 6 × 32π/3 = 64π cm³.

Ese volumen es el que empuja el agua hacia arriba, pero la subida no es 64π: el agua se reparte por toda la base del vaso, cuya área vale π × 4² = 16π cm².

La subida es el volumen dividido entre el área de la base: 64π ÷ 16π = 4 cm. El π se va solo, así que el resultado es exacto y no hace falta aproximarlo.

(b) El nivel pasa de 9 cm a 9 + 4 = 13 cm, y el vaso mide 15 cm: no se derrama, y sobran 2 cm.

Se corrige solo por el otro camino: si el agua sube 4 cm en un vaso de 16π cm² de base, el volumen metido tiene que ser 16π × 4 = 64π cm³, que es justo lo que ocupan las seis bolas.

(a) Trasladar según el vector (−3, 4) es restar 3 a la primera coordenada y sumar 4 a la segunda, en los tres puntos por igual.

A’ (−2, 6), porque 1 − 3 = −2 y 2 + 4 = 6. B’ (2, 6), porque 5 − 3 = 2. Y C’ (2, 9), porque 5 + 4 = 9.

(b) El lado AB es horizontal y mide 5 − 1 = 4 unidades; A’B’ mide 2 − (−2) = 4. El lado BC es vertical y mide 5 − 2 = 3; B’C’ mide 9 − 6 = 3.

El lado AC es el que se mide con Pitágoras: avanza 4 y sube 3, así que vale √(16 + 9) = √25 = 5. Y A’C’ avanza 2 − (−2) = 4 y sube 9 − 6 = 3, o sea también 5.

Los tres lados coinciden, que es lo que tiene que pasar: una traslación mueve el triángulo entero sin estirarlo ni encogerlo.

(a) La simetría respecto del eje vertical, el de las y, cambia el signo de la primera coordenada y deja la segunda: (4, 3).

(b) La simetría respecto del eje horizontal, el de las x, cambia el signo de la segunda y deja la primera: (−4, −3).

(c) El giro de 180° alrededor del origen cambia el signo de las dos coordenadas: (4, −3).

Se corrige solo encadenando las dos simetrías: si al resultado de (a), que es (4, 3), se le aplica la simetría de (b), sale (4, −3), que es exactamente el resultado de (c). Hacer las dos simetrías seguidas equivale al giro de media vuelta, aunque eso confirma (c) y no distingue (a) de (b): si se hubieran cambiado las dos reglas entre sí, el encadenado daría exactamente lo mismo.

▲ Conviene mirar bien el nombre de cada eje: el vertical es el de las y, y reflejarse en él cambia la x. Se comprueba mirando qué coordenada ha cambiado de signo.

(a) Ese giro lleva el punto (x, y) al punto (−y, x). Con Q(2, 5) sale Q’ (−5, 2).

(b) Se aplica la misma regla a Q'(−5, 2): la primera coordenada del nuevo punto es −2 y la segunda es −5. Sale Q» (−2, −5).

(c) El giro de 180° cambia el signo de las dos coordenadas de Q(2, 5) y da (−2, −5), el mismo punto. Dos cuartos de vuelta seguidos en el mismo sentido son media vuelta.

Se corrige solo de dos maneras, porque una sola no basta. La distancia al origen no cambia con un giro: para Q es √(4 + 25) = √29, para Q’ es √(25 + 4) = √29 y para Q» es √(4 + 25) = √29. Y el sentido se mira por el cuadrante: Q está a la derecha y arriba, y un cuarto de vuelta contrario a las agujas lo lleva a la izquierda y arriba, con la primera coordenada negativa. Girando al revés habría salido (5, −2), que está a la misma distancia.

(a) El vector se obtiene restando las coordenadas del punto de partida a las del de llegada: 7 − 3 = 4 y 2 − (−1) = 3. El vector es (4, 3).

(b) Se le aplica a B(−5, 4): −5 + 4 = −1 y 4 + 3 = 7. Sale B’ (−1, 7).

(c) Aquí se va hacia atrás, así que se resta el vector en vez de sumarlo: 0 − 4 = −4 y 0 − 3 = −3. El punto de partida era C(−4, −3).

Se corrige solo deshaciendo el camino en (c): si a C(−4, −3) se le suma el vector (4, 3), sale (0, 0), que es donde tenía que llegar.

▲ El orden de la resta en (a) importa: si se hace al revés, 3 − 7 = −4 y −1 − 2 = −3, sale el vector (−4, −3), que es el de la traslación que va de A’ a A, justo la contraria.

(a) La imagen de 0 es f(0) = −2 × 0 + 6 = 6, y la imagen de 4 es f(4) = −8 + 6 = −2.

(b) Cortar el eje horizontal significa que la segunda coordenada vale 0, así que se resuelve −2x + 6 = 0.

De ahí 2x = 6 y x = 3. El punto de corte es (3, 0), y se comprueba: f(3) = −6 + 6 = 0.

(c) Baja: cada vez que x avanza una unidad, el resultado pierde 2. Se ve en los dos valores de (a), porque de x = 0 a x = 4 hay cuatro unidades de avance y el resultado cae de 6 a −2, es decir 8 menos, que son 4 × 2.

El corte con el eje vertical, por cierto, ya estaba calculado: es el punto (0, 6), porque cortar ese eje significa hacer x = 0.

(a) g(0) = 3. Después g(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Y g(4) = 16 − 16 + 3 = 3.

(b) Se resuelve x² − 4x + 3 = 0. Dentro de la raíz: 16 − 12 = 4, y √4 = 2, así que x = (4 ± 2) ÷ 2 y salen x = 3 y x = 1. Corta en (1, 0) y en (3, 0).

(c) Se reescribe la expresión completando un cuadrado: x² − 4x + 3 = (x − 2)² + 3 − 4 = (x − 2)² − 1.

Un cuadrado no puede ser negativo, así que lo más pequeño que puede valer (x − 2)² es 0, y eso ocurre cuando x = 2. Entonces el resultado más pequeño es −1, alcanzado en x = 2. Cuadra con g(2) = −1 de (a).

▲ Este apartado enseña de paso que comparar solo dos valores no dice si la función sube o baja entre ellos: g(0) y g(4) valen los dos 3, y en medio la función ha bajado hasta −1 y ha vuelto a subir.

(a) Lo primero es mirar en qué trozo cae cada valor. El 0 y el 2 son menores que 3, así que les toca la primera expresión: f(0) = 1 y f(2) = 4 + 1 = 5.

El 3 y el 8 cumplen x ≥ 3, así que les toca la segunda: f(3) = 10 − 3 = 7 y f(8) = 10 − 8 = 2.

(b) Para saber si hay salto se mira qué pasa al llegar a 3 por cada lado. Por la izquierda, la primera expresión se acerca a 2 × 3 + 1 = 7. Por la derecha, la segunda da 10 − 3 = 7.

Los dos valores coinciden, así que no hay salto en x = 3: la función se puede recorrer entera sin levantar el lápiz.

▲ Cambiar de expresión no obliga a saltar. Si el segundo trozo fuera f(x) = 12 − x, por la derecha daría 9 y por la izquierda 7, y entonces sí habría un salto de 2 unidades justo en x = 3.

(a) Se llama x al número de kilómetros. El precio es lo fijo más lo que depende del trayecto: p(x) = 3,5 + 1,2x, con el resultado en euros.

(b) p(7) = 3,5 + 1,2 × 7 = 3,5 + 8,4 = 11,90 €.

(c) Ahora se conoce el resultado y se busca la x: 3,5 + 1,2x = 17,9.

Se quita lo fijo: 1,2x = 17,9 − 3,5 = 14,4. Y se divide: x = 14,4 ÷ 1,2 = 12 km.

Se corrige solo yendo hacia delante: p(12) = 3,5 + 1,2 × 12 = 3,5 + 14,4 = 17,90 €. Y las unidades cuadran, porque euros por kilómetro multiplicado por kilómetros da euros.

(a) Se cuenta cuántas veces sale cada valor. El 0 sale 3 veces, el 1 sale 6, el 2 sale 4, el 3 sale 1 y el 4 sale 1. En total 3 + 6 + 4 + 1 + 1 = 15 datos, que son los que hay.

La frecuencia acumulada de cada valor es la suya más las de los valores anteriores: para el 0 es 3, para el 1 es 9, para el 2 es 13, para el 3 es 14 y para el 4 es 15, que tiene que ser el total.

(b) La media se calcula multiplicando cada valor por las veces que sale, sumando todo y dividiendo entre el número de datos: (0 × 3 + 1 × 6 + 2 × 4 + 3 × 1 + 4 × 1) ÷ 15.

Arriba queda 0 + 6 + 8 + 3 + 4 = 21, y 21 ÷ 15 = 1,4 hermanos de media.

(c) La moda es 1, el valor que más se repite (6 veces). Y como hay 15 datos, la mediana es el octavo al ordenarlos: la acumulada pasa de 3 a 9 en el valor 1, así que del cuarto al noveno todos son 1 y el octavo también. La mediana vale 1.

(a) La marca de clase es el punto medio del intervalo, la media de sus dos extremos: 5, 15, 25 y 35 minutos.

(b) Con datos agrupados se usa la marca de clase como si fuera el valor de todos los de ese intervalo: (5 × 4 + 15 × 7 + 25 × 6 + 35 × 3) ÷ 20.

Arriba: 20 + 105 + 150 + 105 = 380. Y 380 ÷ 20 = 19 minutos de media.

(c) Son las de los dos primeros intervalos, o sea la frecuencia acumulada del segundo: 4 + 7 = 11 personas.

▲ Esa media de 19 minutos es aproximada, no exacta: se ha supuesto que las 7 personas del segundo intervalo tardan 15 minutos justos, y en realidad pueden tardar cualquier cosa entre 10 y 20. Con los datos agrupados no hay forma de afinar más, y conviene decirlo al darla.

(a) Se suman las ocho notas: 4 + 6 + 6 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 = 56. Y 56 ÷ 8 = 7 puntos de media.

(b) Hay un número par de datos, así que no hay un dato del medio: hay dos, el cuarto y el quinto, que valen 7 y 8. La mediana es su media: (7 + 8) ÷ 2 = 7,5 puntos.

(c) El recorrido es la diferencia entre la nota mayor y la menor: 9 − 4 = 5 puntos.

(d) Las notas pasan a ser 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9 y 10. La media sube a 8 (la suma crece en 8 puntos, uno por alumno, y 64 ÷ 8 = 8) y la mediana, a 8,5.

El recorrido no cambia: 10 − 5 = 5, el mismo de antes. Sumar lo mismo a todos mueve el grupo entero sin separarlo ni juntarlo, así que las medidas que dicen «por dónde anda» suben y la que dice «cuánto se separan» se queda igual.

Los seis resultados tienen la misma posibilidad, así que se puede aplicar la regla de Laplace: los que interesan, divididos entre los seis.

(a) Los pares son 2, 4 y 6, o sea 3 casos: P = 3/6 = 1/2.

(b) Mayores que 4 son el 5 y el 6, o sea 2 casos: P = 2/6 = 1/3.

(c) Contando directamente, los que son par o mayor que 4 son 2, 4, 5 y 6: cuatro casos, P = 4/6 = 2/3. El 6 cumple las dos cosas y se cuenta una sola vez.

Se corrige solo con la fórmula de la unión, que quita lo contado dos veces: P(par o mayor que 4) = 1/2 + 1/3 − P(par y mayor que 4). El único que cumple las dos es el 6, o sea 1/6. Queda 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3, el mismo resultado.

▲ Sumar sin más daría 1/2 + 1/3 = 5/6, que es falso: el 6 estaría contado dos veces, una entre los pares y otra entre los mayores que 4.

En total hay 5 + 3 + 2 = 10 bolas, y todas tienen la misma posibilidad de salir.

(a) P(roja) = 5/10 = 1/2.

(b) «No roja» es el suceso contrario de «roja», y la probabilidad del contrario es 1 menos la del suceso: 1 − 1/2 = 1/2.

(c) Las verdes y las azules son 3 + 2 = 5 bolas, así que P = 5/10 = 1/2. Aquí no hay que restar nada, porque ninguna bola es verde y azul a la vez.

(b) y (c) son el mismo suceso escrito de dos maneras: no ser roja es, en esta bolsa, ser verde o ser azul. Por eso tenían que dar lo mismo, y llegar por los dos caminos es la forma de comprobarlo.

(a) Conviene distinguir las dos monedas para no perder casos. Llamando C a cara y X a cruz, los casos son CC, CX, XC y XX: cuatro en total, y los cuatro igual de probables.

(b) Solo uno de los cuatro es CC, así que P(dos caras) = 1/4.

(c) «Al menos una cara» se cumple en CC, CX y XC, tres de los cuatro: P = 3/4.

Se corrige solo por el contrario, que aquí es mucho más corto: lo contrario de «al menos una cara» es «ninguna cara», o sea XX, con probabilidad 1/4. Y 1 − 1/4 = 3/4.

▲ Decir que hay tres casos —dos caras, dos cruces y una de cada— y contestar 1/3 no vale. Esos tres resultados existen, pero no son igual de probables: «una de cada» ocurre de dos formas, CX y XC, y por eso vale 2/4 mientras que las otras valen 1/4.