Ejercicios Resueltos Tecnología 1 de Bachillerato 2026 / 2027
Los recordatorios de teoría de los diecinueve temas de Tecnología e Ingeniería I, la materia de modalidad de 1º de Bachillerato, y 48 ejercicios con la solución explicada paso a paso. Cada solución acaba con algo con lo que corregirse sin mirar el resultado: deshacer la operación, alcanzar el mismo número por otra vía, ver si las partes reconstruyen el total, o juzgar si el tamaño de lo obtenido tiene sentido.
Los datos viajan dentro de cada enunciado —voltios, ohmios, newton, dientes, vueltas por minuto, bytes, grados y kilovatios hora—, de manera que basta papel y una calculadora de las corrientes para resolverlo todo. Y las soluciones arrastran la unidad por el desarrollo entero, no solo hasta el resultado: aquí la unidad es lo que delata una división puesta del revés, unos vatios tomados por kilovatios o unos bits contados como bytes.
El contenido de esta página, y sus límites. La materia de 1º de Bachillerato se llama Tecnología e Ingeniería I, y es una de las materias que el Bachillerato de Ciencias y Tecnología ofrece a elegir en primero. ⚠ No es «Tecnología y Digitalización», la de 1º a 3º de la ESO, ni «Tecnología», que es la de 4º: son materias distintas y con otros contenidos. El Real Decreto 243/2022 reparte sus saberes en siete bloques: proyectos, materiales y fabricación, sistemas mecánicos, sistemas eléctricos y electrónicos, programación, sistemas automáticos y tecnología sostenible. Esta página recorre los siete con lápiz, papel y calculadora: el camino crítico de un proyecto y el control de calidad; la sección y la tensión admisible al elegir un material y el punto de equilibrio entre fabricar una pieza suelta y fabricar una serie; los trenes de transmisión con su par y su rendimiento y el reparto del esfuerzo en las uniones; el generador real con su resistencia interna, el circuito resuelto por nudos y mallas y el motor de corriente continua; la traza de un programa modular y sus pruebas; la ganancia y el error de un lazo de control, la telemetría y el robot de dos ruedas; y el rendimiento de la generación, la factura eléctrica, la instalación fotovoltaica y las pérdidas por la envolvente de una vivienda. Dos de los diecinueve temas llegan explicados y sin práctica, porque ejercitarlos exige trazar algo y aquí no cabe ningún trazo: son La expresión gráfica del proyecto: croquis, esquemas y diagramas funcionales y La representación esquematizada de un circuito: los símbolos normalizados. La explicación se lee aquí; el trazo se hace delante del papel. Queda fuera, por ser de Tecnología e Ingeniería II (2º de Bachillerato): la corriente alterna y el triángulo de potencias, la electrónica digital con puertas lógicas y mapas de Karnaugh, las máquinas térmicas —motores térmicos, bomba de calor y máquina frigorífica—, la neumática y la hidráulica, y el cálculo de estructuras con sus cargas. ⚠ Eso último conviene decirlo claro, porque circulan listas que lo sitúan en 1º: en el real decreto está en los saberes de segundo, no en los de primero. Queda fuera, por ser de Dibujo Técnico: los formatos normalizados, la acotación, las vistas y las escalas, todas ellas de Dibujo Técnico I, y las tolerancias dimensionales con el ajuste entre eje y agujero, que son de Dibujo Técnico II. Y queda fuera, por estar ya en las páginas de la ESO: la ley de Ohm junto al montaje en serie o en paralelo, que se suponen aprendidos y aparecen solo como instrumento; los mecanismos vistos como vueltas por minuto, que aquí se miran por el par y el rendimiento; la electrónica del diodo, el LED y el divisor de tensión; y las redes con sus direcciones. Ningún precio, ninguna tarifa y ninguna velocidad de transmisión de estas páginas describe el mundo real: todos van inventados, y así se hace constar donde se usan, para que el material no caduque. Es un apoyo con el que averiguar qué falla antes de un examen, y no ocupa el sitio del manual.
Temas que puedes practicar en esta página
Son diecinueve temas y 48 ejercicios. Diecisiete temas llevan teoría y ejercicios; los dos cuya última columna dice «Solo teoría» llevan la explicación completa y ninguna práctica, porque ejercitarlos exigiría trazar algo y el enunciado tendría que remitir a un dibujo que aquí no cabe. Esos dos son: La expresión gráfica del proyecto: croquis, esquemas y diagramas funcionales; La representación esquematizada de un circuito: los símbolos normalizados. Cada número de la tercera columna lleva a su ejercicio:
| Tema | Qué trae | Ejercicios |
|---|---|---|
| La gestión de un proyecto: el camino crítico y las holguras | Ordenar tareas, hallar la duración mínima y repartir las holguras | 1 y 2 y 3 |
| El control de calidad: el muestreo, el rechazo y el coste de los fallos | Estimar defectuosas, comparar proveedores y poner precio a los fallos | 4 y 5 y 6 |
| La expresión gráfica del proyecto: croquis, esquemas y diagramas funcionales | qué contesta cada documento gráfico de un proyecto | Solo teoría |
| La selección de un material técnico: la sección, la tensión y la masa | Tensión de trabajo, tensión admisible, sección necesaria y masa que resulta | 7 y 8 y 9 |
| Fabricar un prototipo o fabricar una serie: el punto de equilibrio | Coste fijo, coste variable, coste unitario y el número de piezas que iguala dos procedimientos | 10 y 11 y 12 |
| Los trenes de transmisión: la relación, el par y el rendimiento | Relación total de un tren, par ganado en un reductor y rendimientos que se multiplican | 13 y 14 y 15 |
| Las uniones y los soportes: cómo se reparte el esfuerzo | Fuerza por tornillo, tensión en la sección y cuántos elementos hacen falta | 16 y 17 |
| El generador real de corriente continua: fuerza electromotriz y resistencia interna | Tensión en bornes, caída interna, potencias y rendimiento del generador | 18 y 19 y 20 |
| El circuito de corriente continua: los nudos y las mallas | Resolver un circuito con dos generadores, leer una intensidad negativa y cuadrar las potencias | 21 y 22 y 23 |
| El motor de corriente continua: par, potencia y rendimiento | Balance de potencias, par a partir de la velocidad angular y rendimiento | 24 y 25 y 26 |
| La representación esquematizada de un circuito: los símbolos normalizados | qué dibuja cada símbolo y cómo se lee un esquema | Solo teoría |
| La programación textual: la traza de un programa modular | Seguir un programa línea a línea, encadenar funciones y ver hasta dónde llega una variable | 27 y 28 y 29 |
| Las pruebas, la depuración y el número de operaciones | Contar ejecuciones para comparar dos soluciones y elegir los casos que delatan un fallo | 30 y 31 |
| Los sistemas de control: la ganancia y el error en régimen permanente | Calcular la salida y el error de un lazo cerrado y ver hasta dónde sirve subir la ganancia | 32 y 33 y 34 |
| La supervisión y la telemetría: el muestreo y el volumen de datos | Medidas por segundo, bytes guardados y lo que cabe por el enlace | 35 y 36 |
| La robótica: el movimiento de un robot de dos ruedas | Velocidad de cada rueda, velocidad del robot y radio de la curva | 37 y 38 y 39 |
| Los sistemas de generación eléctrica y su rendimiento | Rendimiento de una cadena de conversión, potencia perdida y energía producida | 40 y 41 y 42 |
| El consumo y el coste de la energía en una vivienda | Los dos términos de la factura, la comparación de tarifas y la potencia que se enciende a la vez | 43 y 44 y 45 |
| Las energías renovables y la eficiencia de la envolvente | Producción fotovoltaica, autoconsumo y pérdidas por los cerramientos | 46 y 47 y 48 |
Ejercicios y teoría de Tecnología e Ingeniería I de 1º de Bachillerato
La gestión de un proyecto: el camino crítico y las holguras
Lo que hay que saber
Un proyecto se parte en tareas. De cada una se sabe cuánto dura y qué tareas tienen que estar acabadas antes de empezarla. A esas se las llama sus precedentes.
El diagrama de Gantt coloca cada tarea sobre una línea de tiempo, con su comienzo y su final. Sirve para ver de un vistazo qué se solapa con qué y qué está esperando.
Una cadena es una sucesión de tareas encadenadas por precedencia. Su duración es la suma de las duraciones. Y el proyecto no puede acabar antes que su cadena más larga.
Esa cadena más larga es el camino crítico. Marca la duración mínima del proyecto, y ninguna de sus tareas se puede retrasar sin retrasar el final.
La holgura de una cadena que no es la crítica es lo que se puede retrasar sin mover la fecha final. Sale de restar su duración a la del camino crítico.
▲ Acortar una tarea que no está en el camino crítico no adelanta el final del proyecto: solo agranda una holgura que ya sobraba.
1Un equipo reparte un proyecto en cinco tareas. La tarea A dura 4 días; la B, 6; la C, 3; la D, 5; y la E, 2. La C no puede empezar hasta que termine la A. La D no puede empezar hasta que termine la B. Y la E necesita que estén acabadas la C y la D. (a) Halla la duración mínima del proyecto. (b) Di cuál es el camino crítico. (c) Calcula la holgura de la cadena que no es la crítica.
Ver solución
a) Hay dos cadenas que llegan al final. La primera es A, después C y después E: 4 + 3 + 2 = 9 días. La segunda es B, después D y después E: 6 + 5 + 2 = 13 días.
El proyecto no puede terminar antes que su cadena más larga, así que la duración mínima es de 13 días.
b) El camino crítico es la cadena de 13 días: B, D y E. Ninguna de esas tres se puede retrasar sin mover la fecha final.
c) La cadena A, C, E tarda 9 días y dispone de 13. Su holgura es 13 − 9 = 4 días, repartidos entre A y C.
Comprobación: sumando la holgura a la cadena corta tiene que salir la duración del proyecto, 9 + 4 = 13. Si sale otra cosa, o la suma de una cadena está mal o se ha olvidado una precedencia.
2Un proyecto tiene cuatro tareas. La P dura 5 días; la Q, 8; la R, 4; y la S, 6. La R va detrás de la P y la S va detrás de la Q. El proyecto termina cuando han terminado la R y la S. (a) Calcula la duración del proyecto. (b) Calcula la duración si la tarea Q se acorta hasta 5 días. (c) Calcula la duración si la Q se acorta hasta 1 día, y di qué le pasa al camino crítico.
Ver solución
a) La cadena P-R dura 5 + 4 = 9 días. La cadena Q-S dura 8 + 6 = 14 días. La duración del proyecto es la mayor: 14 días.
b) Con la Q en 5 días, la cadena Q-S pasa a durar 5 + 6 = 11 días. La P-R sigue en 9. El proyecto dura ahora 11 días, y se ha ahorrado justo lo que se acortó la Q.
c) Con la Q en 1 día, la cadena Q-S dura 1 + 6 = 7 días, menos que los 9 de la P-R. El proyecto dura 9 días y el camino crítico ha cambiado: ahora es P-R.
▲ Una pista que avisa: en el apartado b el ahorro fue de 3 días por acortar 3, y en el c se acortaron 4 más y solo se ahorraron 2. Cuando el ahorro deja de seguir al recorte, es que la otra cadena ha pasado a mandar.
3En un proyecto la tarea M dura 6 días, la N dura 3, la O dura 7 y la P dura 2. La N y la O no pueden empezar hasta que acabe la M, y la P necesita que estén acabadas las dos. (a) Halla la duración del proyecto y su camino crítico. (b) Calcula la holgura de la tarea N. (c) La tarea O se retrasa y pasa a durar 10 días: calcula la nueva duración y la nueva holgura de la N.
Ver solución
a) Las dos cadenas pasan por la M y por la P. La primera es M, N, P: 6 + 3 + 2 = 11 días. La segunda es M, O, P: 6 + 7 + 2 = 15 días. La duración es de 15 días y el camino crítico es M, O, P.
b) La cadena de la N tarda 11 días y hay 15 disponibles, así que la holgura de la N es 15 − 11 = 4 días.
c) Con la O en 10 días, la cadena crítica pasa a 6 + 10 + 2 = 18 días. La cadena de la N sigue en 11, de modo que su holgura es ahora 18 − 11 = 7 días.
Comprobación: el retraso de la O fue de 3 días, y tanto la duración como la holgura de la N han subido 3. Si solo hubiera subido una de las dos, habría un error en la cuenta.
El control de calidad: el muestreo, el rechazo y el coste de los fallos
Lo que hay que saber
En un control por muestreo se revisa una parte del lote. Se elige una muestra representativa y se cuentan sus piezas defectuosas. Otros controles revisan todas las piezas.
La proporción de piezas defectuosas de la muestra se extiende al lote entero multiplicándola por el número de piezas. Es una estimación, no un recuento.
Una pieza rechazada se reprocesa, si tiene arreglo, o se desecha. Cada salida tiene su coste, y no es el mismo.
El coste de la no calidad junta lo que cuesta comprobar y lo que cuesta que una pieza mala llegue al cliente. Comparar esas dos cantidades es lo que decide cuánto se comprueba.
Al comparar dos proveedores, lo que se mira es el coste por pieza buena, no el precio de catálogo ni la proporción de defectuosas por separado.
▲ Una muestra pequeña puede dar cero defectuosas y el lote tenerlas. Que la muestra salga limpia no demuestra que el lote lo esté.
4De un lote de 2.400 piezas se toma una muestra de 150, que representa una parte pequeña del lote, y se encuentran 6 defectuosas. (a) Calcula la proporción de defectuosas de la muestra, en tanto por ciento. (b) Estima cuántas defectuosas hay en el lote entero. (c) Comprobar una pieza cuesta 0,30 € y que una defectuosa llegue al cliente cuesta 45 €. Los dos precios están inventados para poder operar. Compara lo que cuesta comprobarlas todas con lo que cuesta no comprobar ninguna.
Ver solución
a) La proporción es 6 ÷ 150 = 0,04, es decir, un 4 % de la muestra.
b) Extendiendo esa proporción al lote: 0,04 × 2.400 = 96 piezas defectuosas estimadas.
c) Comprobarlas todas cuesta 2.400 × 0,30 = 720 €. No comprobar ninguna deja pasar las 96, y eso cuesta 96 × 45 = 4.320 €. La diferencia a favor de comprobar es de 4.320 − 720 = 3.600 €.
▲ El 96 es una estimación, no un recuento: sale de suponer que el lote se porta como la muestra. Con otra muestra de 150 podrían salir 5 o 7 defectuosas, y la estimación cambiaría.
5Un lote de 5.000 piezas tiene un 3 % de defectuosas. Dos de cada tres defectuosas se reprocesan, y cada reproceso cuesta 1,20 €. La tercera parte restante se desecha, y cada pieza desechada supone una pérdida de 4,50 €. Los dos precios están inventados. (a) Calcula cuántas piezas son defectuosas. (b) Calcula el coste del reprocesado. (c) Calcula el coste total de la no calidad y lo que supone por pieza del lote.
Ver solución
a) El 3 % de 5.000 es 0,03 × 5.000 = 150 piezas defectuosas.
b) Se reprocesan dos tercios: 150 × 2 ÷ 3 = 100 piezas. El coste es 100 × 1,20 = 120 €.
c) Se desecha el tercio restante: 150 ÷ 3 = 50 piezas, que cuestan 50 × 4,50 = 225 €. El total es 120 + 225 = 345 €, que repartido entre las 5.000 piezas del lote sale a 345 ÷ 5.000 = 0,069 € por pieza.
Comprobación: las piezas reprocesadas y las desechadas tienen que sumar las defectuosas, 100 + 50 = 150. Si no suman, el reparto en tercios está mal hecho.
6Dos proveedores venden la misma pieza. El proveedor A sirve un 4 % de defectuosas a 2,40 € la pieza. El proveedor B sirve un 10 % de defectuosas a 2,16 € la pieza. Los dos precios están inventados. Se compran 1.250 piezas a cada uno y las defectuosas se desechan. (a) Calcula cuántas piezas buenas salen de cada compra. (b) Calcula el coste de cada compra y el coste por pieza buena. (c) Di cuál sale más barato y explica el resultado.
Ver solución
a) Del proveedor A se estropea el 4 %: 0,04 × 1.250 = 50 piezas, y quedan buenas 1.250 − 50 = 1.200. Del B se estropea el 10 %: 0,10 × 1.250 = 125 piezas, y quedan buenas 1.125.
b) La compra al A cuesta 1.250 × 2,40 = 3.000 €. Entre sus 1.200 piezas buenas sale a 3.000 ÷ 1.200 = 2,50 € por pieza buena. La compra al B cuesta 1.250 × 2,16 = 2.700 €. Entre sus 1.125 buenas sale a 2.700 ÷ 1.125 = 2,40 € por pieza buena.
c) Sale más barato el proveedor B, aunque sirva más del doble de defectuosas. Su precio es lo bastante más bajo como para pagar el desperdicio y seguir por debajo.
▲ El resultado cambia si la pieza defectuosa cuesta algo más que su precio de compra, por ejemplo si hay que desmontarla ya instalada. Entonces la comparación hay que rehacerla sumando ese coste.
La expresión gráfica del proyecto: croquis, esquemas y diagramas funcionales
Lo que hay que saber
Un proyecto se documenta con dibujos de tres clases, y cada uno contesta una pregunta distinta. Confundir uno con otro deja el documento inservible para aquello que se pedía.
El croquis se traza a mano alzada, sin instrumentos, y sin escala. Lleva las medidas anotadas. Su trabajo es fijar una idea deprisa, delante de la pieza o delante del compañero.
El plano de taller va a escala, acotado y con líneas normalizadas. Con él se fabrica la pieza, y aprender a trazarlo corresponde a Dibujo Técnico.
El esquema no dibuja las piezas como son: las sustituye por símbolos y las une con trazos. Contesta qué está conectado con qué, no dónde está colocado cada componente.
El diagrama funcional es todavía más abstracto. Cada caja es una función del conjunto y cada flecha es lo que pasa de una caja a otra: materia, energía o información.
El CAD guarda el modelo con medidas exactas y con restricciones. Al programa se le impone que dos caras queden paralelas o que un agujero tenga 12 mm. Esa condición sigue cumpliéndose aunque luego cambie cualquier otra medida.
El CAE calcula sobre ese mismo modelo antes de fabricar nada: cómo se deforma, cómo se calienta, cómo circula un fluido. Es simulación, y por tanto vale lo que valgan sus datos de partida.
El CAM traduce el modelo a órdenes de máquina: trayectorias, velocidades y herramientas. De ahí sale el programa que ejecuta el taller.
⛔ Este tema no trae ejercicios, y la razón es que sus tres documentos consisten en trazos. Poner por escrito cómo son dejaría resuelto de antemano lo que se pretendía evaluar, y encargar que se tracen exige alguien delante que los mire.
La selección de un material técnico: la sección, la tensión y la masa
Lo que hay que saber
Elegir material no es elegir el más resistente. Es comparar lo que pide la pieza con lo que ofrecen los candidatos, y ninguno gana en todo a la vez.
La tensión de trabajo de una pieza estirada o comprimida por una fuerza es la fuerza dividida entre la sección. Con la fuerza en newton y la sección en milímetros cuadrados, sale en newton por milímetro cuadrado.
El material no se lleva hasta su límite. La tensión admisible es ese límite dividido entre el coeficiente de seguridad, que se fija según lo que pase si la pieza falla.
La pieza vale si su tensión de trabajo no pasa de la admisible. Y si no vale, hay dos salidas: agrandar la sección o cambiar de material.
La masa de la pieza sale del volumen multiplicado por la masa de cada unidad de volumen. Un material compuesto junta fibras resistentes con una matriz que las sujeta, y suele ganar por ahí: aguanta parecido pesando bastante menos.
▲ Dos materiales pueden salir iguales en resistencia y muy distintos en masa o en precio. Por eso la comparación se hace pieza terminada: sección necesaria, masa que resulta y coste que sale.
7Una barra de sección rectangular de 20 mm por 15 mm soporta una fuerza de 24.000 N en el sentido de su eje. (a) Calcula la sección, en milímetros cuadrados. (b) Calcula la tensión de trabajo, en newton por milímetro cuadrado. (c) El material tiene un límite de 240 N por milímetro cuadrado y se exige un coeficiente de seguridad de 3: di si la barra vale.
Ver solución
a) La sección de un rectángulo es el producto de sus dos lados: 20 × 15 = 300 mm2.
b) La tensión de trabajo es la fuerza dividida entre la sección: 24.000 ÷ 300 = 80 N por milímetro cuadrado.
c) La tensión admisible es el límite dividido entre el coeficiente de seguridad: 240 ÷ 3 = 80 N por milímetro cuadrado. La de trabajo vale exactamente lo mismo, así que la barra cumple, pero justo en el límite y sin margen.
Comprobación: deshaciendo la división, 80 × 300 = 24.000 N, que es la fuerza del enunciado. Si no se recupera, el fallo está en la sección o en la división.
8Una pieza ocupa 1.500 cm3. Se puede fabricar con tres materiales. El material A tiene 2,7 g por centímetro cúbico y cuesta 4,00 € el kilogramo. El B tiene 7,8 g por centímetro cúbico y cuesta 1,20 € el kilogramo. El C tiene 1,5 g por centímetro cúbico y cuesta 9,00 € el kilogramo. Los tres precios están inventados. (a) Halla la masa que tendría la pieza con cada uno, en kilogramos. (b) Halla lo que costaría el material en cada caso. (c) Di cuál da la pieza más ligera y cuál la más barata.
Ver solución
a) Se multiplica el volumen por lo que pesa cada centímetro cúbico. Con el A: 1.500 × 2,7 = 4.050 g = 4,05 kg. Con el B: 1.500 × 7,8 = 11.700 g = 11,7 kg. Con el C: 1.500 × 1,5 = 2.250 g = 2,25 kg.
b) El coste es la masa en kilogramos por el precio del kilogramo. Con el A: 4,05 × 4,00 = 16,20 €. Con el B: 11,7 × 1,20 = 14,04 €. Con el C: 2,25 × 9,00 = 20,25 €.
c) La más ligera es la del material C, con 2,25 kg. La más barata es la del material B, con 14,04 €. Ninguno gana en las dos cosas.
Comprobación: el material B es casi tres veces más pesado que el A y su pieza cuesta menos, porque su precio por kilogramo es tres veces menor. Si saliera a la vez más pesado y más barato con el mismo precio, habría un error.
9Una pieza soporta una fuerza de 30.000 N con un coeficiente de seguridad de 2. Se fabrica como una barra de 500 mm de longitud. El material P tiene un límite de 300 N por milímetro cuadrado y 7,5 g por centímetro cúbico. El material Q tiene un límite de 150 N por milímetro cuadrado y 2,5 g por centímetro cúbico. (a) Calcula la sección necesaria con cada material. (b) Calcula la masa de la barra en cada caso. (c) Di cuál conviene si lo que importa es el peso.
Ver solución
a) La tensión admisible del P es 300 ÷ 2 = 150 N por milímetro cuadrado, así que su sección es 30.000 ÷ 150 = 200 mm2. La del Q es 150 ÷ 2 = 75, y su sección, 30.000 ÷ 75 = 400 mm2.
b) El volumen de la barra de P es 200 × 500 = 100.000 mm3, o sea 100 cm3. Su masa vale 100 × 7,5 = 750 g. El volumen de la de Q es 400 × 500 = 200.000 mm3, o sea 200 cm3. Su masa vale 200 × 2,5 = 500 g.
c) Conviene el material Q: necesita el doble de sección y aun así la barra pesa 250 g menos, porque cada centímetro cúbico suyo pesa tres veces menos.
▲ El Q gana en masa, no en tamaño: su barra ocupa el doble de volumen. Si el sitio donde va la pieza está contado, esa ventaja puede no servir.
Fabricar un prototipo o fabricar una serie: el punto de equilibrio
Lo que hay que saber
Hacer una pieza suelta y hacer mil no se hacen igual, y el motivo es de coste, no de técnica.
El coste fijo es lo que se paga una vez: el molde, el utillaje, la programación de la máquina. No cambia aunque se fabriquen dos piezas o dos mil.
El coste variable es lo que cuesta cada unidad: material, energía y tiempo de máquina. El coste total es el fijo más el variable multiplicado por el número de piezas.
El coste unitario es el total dividido entre el número de piezas. Cuanto mayor es la serie, más se reparte el coste fijo y menos pesa en cada pieza.
El punto de equilibrio entre dos procedimientos es el número de piezas para el que los dos cuestan lo mismo. Por debajo conviene el de coste fijo pequeño, y por encima, el otro.
▲ El punto de equilibrio solo compara dinero. No dice nada del plazo de entrega, del acabado ni de si el molde servirá para la siguiente versión de la pieza.
10Una pieza se puede fabricar de dos maneras. La primera no tiene coste fijo y cuesta 18 € cada pieza. La segunda exige un molde de 4.500 € y después cuesta 3 € cada pieza. Los tres importes están inventados. (a) Calcula el coste de 100 piezas con cada manera. (b) Calcula el punto de equilibrio. (c) Di cuál conviene para 400 piezas, con las dos cuentas hechas.
Ver solución
a) Con la primera: 100 × 18 = 1.800 €. Con la segunda: 4.500 + 100 × 3 = 4.500 + 300 = 4.800 €.
b) El punto de equilibrio iguala los dos costes: 18 × n = 4.500 + 3 × n. Pasando los términos con n a un lado, 15 × n = 4.500, de donde n = 300 piezas.
c) Para 400 piezas, la primera cuesta 400 × 18 = 7.200 € y la segunda, 4.500 + 400 × 3 = 5.700 €. Conviene la segunda, que ahorra 7.200 − 5.700 = 1.500 €.
Comprobación: en el punto de equilibrio ambas maneras han de arrojar el mismo importe. Con 300 piezas, 300 × 18 = 5.400 € por un lado y 4.500 + 900 = 5.400 € por el otro. Si discreparan, la ecuación estaría mal despejada.
11Un molde cuesta 4.500 € y cada pieza fabricada con él cuesta 3 €. Los dos importes están inventados. Calcula el coste unitario de la pieza para tres tamaños de serie: (a) 300 piezas; (b) 1.500 piezas; (c) 4.500 piezas.
Ver solución
a) El coste total es 4.500 + 300 × 3 = 4.500 + 900 = 5.400 €, y el unitario, 5.400 ÷ 300 = 18 € por pieza.
b) El total es 4.500 + 1.500 × 3 = 4.500 + 4.500 = 9.000 €, y el unitario, 9.000 ÷ 1.500 = 6 € por pieza.
c) El total es 4.500 + 4.500 × 3 = 4.500 + 13.500 = 18.000 €, y el unitario, 18.000 ÷ 4.500 = 4 € por pieza.
▲ El coste unitario baja deprisa al principio y luego se frena: de 18 a 6 hay doce euros, y de 6 a 4 solo dos. Por mucho que crezca la serie, nunca baja de los 3 € del coste variable.
12Un taller compara dos procedimientos. El primero exige un utillaje de 7.200 € y después cuesta 2,50 € cada pieza. El segundo no tiene coste fijo y cuesta 11,50 € cada pieza. Los tres importes están inventados. (a) Calcula el punto de equilibrio. (b) Calcula el ahorro del procedimiento que convenga para una serie de 1.200 piezas. (c) Haz las dos cuentas para una serie de 500 piezas.
Ver solución
a) Se igualan los dos costes: 7.200 + 2,50 × n = 11,50 × n. Restando, 7.200 = 9 × n, de donde n = 800 piezas.
b) Con 1.200 piezas, el primero cuesta 7.200 + 1.200 × 2,50 = 10.200 €. El segundo cuesta 1.200 × 11,50 = 13.800 €. Conviene el primero, con un ahorro de 3.600 €.
c) Con 500 piezas, el primero cuesta 7.200 + 500 × 2,50 = 7.200 + 1.250 = 8.450 €, y el segundo, 500 × 11,50 = 5.750 €. Aquí el del utillaje cuesta 2.700 € más, porque 500 está por debajo del punto de equilibrio.
Comprobación: con 800 piezas los dos tienen que costar lo mismo, 7.200 + 2.000 = 9.200 € y 800 × 11,50 = 9.200 €. Si no cuadra, el punto de equilibrio está mal.
Los trenes de transmisión: la relación, el par y el rendimiento
Lo que hay que saber
En una etapa de ruedas dentadas, la velocidad de la conducida se deduce de la que lleva la conductora. Basta multiplicarla por el cociente entre los dientes de la conductora y los de la conducida.
Cuando el tren encadena varias etapas, esa misma regla se repite en cada una. La relación de transmisión total se obtiene multiplicando entre sí las de todas ellas, y dice cuántas veces se reduce o se multiplica el giro.
El par mide el efecto de giro de una fuerza. Su unidad es el newton metro, N × m: fuerza multiplicada por distancia. La potencia del eje es el par por su velocidad angular, expresada en radianes por segundo.
Si la potencia se conservara entera, reducir la velocidad a la mitad doblaría el par. Esa es la idea de un reductor: lo que se pierde en vueltas se gana en esfuerzo.
Pero cada etapa tiene su rendimiento, y los rendimientos de una cadena se multiplican: no se suman ni se promedian. La potencia que sale es la que entra por ese producto.
▲ El rendimiento reduce el par que llega a la carga. Pedir el par ideal sin contar pérdidas puede dejar potencia insuficiente. El dimensionado del eje exige además considerar las cargas y el margen de seguridad.
13El eje de entrada de un reductor da 1.440 vueltas por minuto, y su giro atraviesa dos parejas de ruedas dentadas. La pareja de entrada la forman una rueda de 18 dientes y otra de 54. Sobre el eje de esa rueda de 54 va montada una tercera, con 20 dientes. Esa tercera mueve una cuarta rueda, de 60, alojada en el eje de salida. (a) Halla el giro del eje intermedio. (b) Halla el del eje de salida. (c) Halla cuántas veces reduce el conjunto.
Ver solución
a) Cada pareja multiplica el giro que recibe por los dientes de su rueda motriz y lo divide entre los de la arrastrada: 1.440 × 18 ÷ 54 = 480 vueltas por minuto en el eje intermedio.
b) La segunda pareja repite la operación sobre ese giro: 480 × 20 ÷ 60 = 160 vueltas por minuto en el eje de salida.
c) Reduce tantas veces como indica el cociente 1.440 ÷ 160 = 9.
Comprobación: cada pareja reduce 3 veces, y 3 × 3 = 9. Si el producto de las dos parejas no coincidiera con el cociente entre los giros de entrada y salida, alguna pareja estaría puesta del revés.
14Un motor entrega un par de 3 N × m girando a 1.500 vueltas por minuto. Se le acopla un reductor de relación 5, de modo que la salida gira cinco veces más despacio. El rendimiento del reductor es del 90 %. (a) Halla a cuántas vueltas por minuto queda el eje de salida. (b) Halla el par que daría sin pérdidas. (c) Halla el par que da de verdad.
Ver solución
a) El eje de salida va cinco veces más despacio: 1.500 ÷ 5 = 300 vueltas por minuto.
b) Sin pérdidas, lo que se pierde en velocidad se gana en par, de modo que el par se multiplica por la relación: 3 × 5 = 15 N × m.
c) El rendimiento rebaja ese par ideal: 15 × 0,90 = 13,5 N × m.
▲ El par aumenta a costa de la velocidad. En este caso solo llegan 13,5 N × m a la carga. Una carga que necesite 15 N × m no podría trabajar en estas condiciones.
15Un motor entrega 2.200 W a una cadena de tres etapas. La primera tiene un rendimiento del 96 %, la segunda del 90 % y la tercera del 85 %. (a) Calcula el rendimiento total de la cadena, en tanto por ciento. (b) Calcula la potencia útil que sale al final. (c) Calcula la potencia que se pierde por el camino.
Ver solución
a) Los rendimientos de una cadena se multiplican: 0,96 × 0,90 × 0,85 = 0,7344, o sea un 73,44 %.
b) La potencia útil es la de entrada por el rendimiento total: 2.200 × 0,7344 = 1.615,68 W.
c) Lo perdido es la diferencia: 2.200 − 1.615,68 = 584,32 W.
Comprobación etapa por etapa: tras la primera quedan 2.200 × 0,96 = 2.112 W; tras la segunda, 2.112 × 0,90 = 1.900,8 W; y tras la tercera, 1.900,8 × 0,85 = 1.615,68 W. Coincide con el apartado b. Si no coincidiera, los rendimientos se habrían sumado o promediado en vez de multiplicarse.
Las uniones y los soportes: cómo se reparte el esfuerzo
Lo que hay que saber
Una unión desmontable se deshace sin romper nada: el tornillo con su tuerca, el pasador, la chaveta. Una unión fija no: el remache, la soldadura, el pegado.
Cuando dos chapas solapadas tiran en sentidos contrarios, el elemento que las une queda cortado por el plano de separación de las dos chapas. Ese es el esfuerzo que hay que calcular.
Con varios elementos iguales y bien repartidos, la fuerza se distribuye por igual entre todos. A cada uno le corresponde la fuerza total partida entre el número de ellos.
La tensión en cada uno es lo que le toca dividido entre el área de su sección. Se compara con la admisible del material, igual que en cualquier otra pieza.
Para saber cuántos hacen falta se da la vuelta a la cuenta: cada elemento aguanta su tensión admisible por su sección, y el número sale de dividir la fuerza total entre eso, redondeando hacia arriba.
▲ El reparto por igual supone que todos los elementos son iguales y están bien colocados. Si uno queda desalineado, recibe más que su parte y es el primero en ceder.
16Dos chapas solapadas se unen con 4 tornillos iguales y bien repartidos, y tiran una de otra con una fuerza de 18.000 N. Cada tornillo tiene una sección de 50 mm2. (a) Calcula la fuerza que le toca a cada tornillo. (b) Calcula la tensión en la sección de cada uno. (c) El material del tornillo admite 120 N por milímetro cuadrado: calcula cuántos tornillos harían falta como mínimo.
Ver solución
a) La fuerza se reparte por igual entre los cuatro: 18.000 ÷ 4 = 4.500 N por tornillo.
b) La tensión es lo que le toca dividido entre su sección: 4.500 ÷ 50 = 90 N por milímetro cuadrado.
c) Cada tornillo aguanta 120 × 50 = 6.000 N. Para los 18.000 N hacen falta 18.000 ÷ 6.000 = 3 tornillos.
Comprobación: con 3 tornillos le tocan 18.000 ÷ 3 = 6.000 N a cada uno. La tensión sale entonces 6.000 ÷ 50 = 120 N por milímetro cuadrado, justo la admisible. Si saliera por encima, el número mínimo estaría mal redondeado.
17Una unión solapada lleva 6 remaches iguales y transmite una fuerza de 27.000 N repartida por igual. Cada remache tiene una sección de 25 mm2. (a) Calcula la fuerza que soporta cada remache. (b) Calcula la tensión en cada uno. (c) El material admite 150 N por milímetro cuadrado: calcula cuántos remaches harían falta.
Ver solución
a) 27.000 ÷ 6 = 4.500 N por remache.
b) 4.500 ÷ 25 = 180 N por milímetro cuadrado, que está por encima de lo que admite el material.
c) Cada remache aguanta 150 × 25 = 3.750 N. El cociente 27.000 ÷ 3.750 = 7,2 obliga a poner 8 remaches: con 7 no llega, y el número ha de ser entero.
▲ Aquí el redondeo va siempre hacia arriba, aunque el sobrante sea pequeño. Con 7 remaches el conjunto solo aguantaría 7 × 3.750 = 26.250 N, menos que los 27.000 que hay que transmitir.
El generador real de corriente continua: fuerza electromotriz y resistencia interna
Lo que hay que saber
Un generador de verdad no entrega toda la tensión que promete. Una parte se queda dentro, consumida por su propia resistencia.
La fuerza electromotriz es la tensión que daría si no circulase corriente. Se representa con la letra griega épsilon. Y la resistencia interna es la del propio generador, que también está en el camino de la corriente.
La tensión en bornes es lo que queda para el circuito: la fuerza electromotriz menos la caída dentro. Es decir, U = ε − I × Ri, con la caída interna en voltios.
Cuanta más corriente pide el circuito, más cae dentro y menos queda fuera. Por eso la tensión medida con el circuito abierto y con el circuito cerrado no coinciden.
La potencia total que mueve el generador es ε × I. La que entrega es U × I, y la diferencia se disipa dentro. El rendimiento del generador es el cociente entre la tensión en bornes y la fuerza electromotriz.
▲ De los cursos anteriores se trae ya aprendida la relación V = I × R entre tensión, intensidad y resistencia. La novedad no está en esa relación: está en que el propio generador ofrece resistencia al paso de la corriente.
18Un generador de 12,5 V de fuerza electromotriz tiene una resistencia interna de 0,5 Ω y alimenta un receptor de 4,5 Ω. (a) Calcula la intensidad del circuito. (b) Calcula la tensión en bornes del generador. (c) Calcula su rendimiento.
Ver solución
a) La resistencia total del camino es la interna más la del receptor: 0,5 + 4,5 = 5 Ω. La intensidad es 12,5 ÷ 5 = 2,5 A.
b) La caída dentro del generador vale 2,5 × 0,5 = 1,25 V, así que en bornes quedan 12,5 − 1,25 = 11,25 V.
c) El rendimiento es la tensión en bornes dividida entre la fuerza electromotriz: 11,25 ÷ 12,5 = 0,9, o sea un 90 %.
Comprobación por el otro camino: la tensión en bornes tiene que ser la del receptor, 2,5 × 4,5 = 11,25 V. Coincide. Si no coincidiera, la resistencia interna se habría dejado fuera de la suma.
19De un generador se toman dos medidas. Cuando entrega 1 A, en sus bornes hay 11,8 V. Cuando entrega 3 A, hay 11,4 V. (a) Calcula su resistencia interna. (b) Calcula su fuerza electromotriz. (c) Calcula la tensión en bornes cuando entregue 5 A.
Ver solución
a) En los dos casos vale U = ε − I × Ri. Restando la segunda medida de la primera se va la fuerza electromotriz: 11,8 − 11,4 = 0,4 V de diferencia, causada por 3 − 1 = 2 A de diferencia. La resistencia interna es 0,4 ÷ 2 = 0,2 Ω.
b) Con la primera medida: 11,8 = ε − 1 × 0,2, de donde ε = 11,8 + 0,2 = 12 V.
c) Con 5 A: U = 12 − 5 × 0,2 = 12 − 1 = 11 V.
Comprobación con la segunda medida, que no se ha usado para despejar: 12 − 3 × 0,2 = 12 − 0,6 = 11,4 V, que es justo lo medido. Si diera otra cosa, la resta de las dos ecuaciones estaría mal.
20Una batería de 12,5 V de fuerza electromotriz y 0,05 Ω de resistencia interna alimenta un motor que absorbe 50 A. (a) Calcula la caída de tensión dentro de la batería. (b) Calcula la tensión en bornes. (c) Calcula la potencia que se pierde dentro, la potencia total y el rendimiento.
Ver solución
a) La caída interna es la intensidad por la resistencia interna: 50 × 0,05 = 2,5 V.
b) En bornes quedan 12,5 − 2,5 = 10 V.
c) La potencia perdida dentro es la intensidad al cuadrado por la resistencia interna: 50 × 50 × 0,05 = 125 W. La total que mueve la batería es 12,5 × 50 = 625 W, y la entregada, 10 × 50 = 500 W. El rendimiento es 500 ÷ 625 = 0,8, o sea un 80 %.
▲ Una intensidad grande castiga mucho el rendimiento, porque la pérdida crece con el cuadrado de la intensidad. Con 25 A la pérdida sería 25 × 25 × 0,05 = 31,25 W, la cuarta parte.
El circuito de corriente continua: los nudos y las mallas
Lo que hay que saber
Un nudo es un punto donde se juntan tres conductores o más. Allí, las intensidades que llegan suman tanto como las que se marchan.
Una malla es un camino cerrado dentro del circuito. Al recorrerla del todo, lo que la tensión sube y lo que baja se compensan exactamente.
Con esas dos reglas se resuelve un circuito que no admite reducirse a series y paralelos, como el que lleva dos generadores en ramas distintas.
El método es fijo: se elige un sentido para la intensidad de cada rama, se escribe la ecuación del nudo y una ecuación por malla, y se resuelve el sistema.
Una intensidad que sale negativa circula al revés de como se había supuesto. El valor absoluto es correcto, y el signo solo corrige la suposición de partida.
▲ La comprobación que cierra el problema: la potencia que dan los generadores tiene que ser la que consumen las resistencias. Un generador recorrido al revés no da potencia, la recibe.
21Un circuito tiene tres ramas entre los mismos dos nudos. La primera lleva un generador de 10 V con una resistencia de 2 Ω. La segunda lleva un generador de 4 V con una resistencia de 1 Ω. Está situado de manera que impulsa la corriente hacia el mismo lado que el primero. La tercera lleva solo una resistencia de 2 Ω. (a) Plantea las ecuaciones y halla la intensidad de la tercera rama. (b) Halla las intensidades de las otras dos. (c) Explica el signo obtenido.
Ver solución
a) Se llaman I1 e I2 a las intensidades de las ramas con generador, e I3 a la de la tercera. El nudo da entonces I3 = I1 + I2. Cada malla iguala la tensión entre los nudos: 10 − 2 × I1 = 2 × I3 y 4 − 1 × I2 = 2 × I3.
De la primera, I1 = 5 − I3. De la segunda, I2 = 4 − 2 × I3. Sustituyendo en el nudo: I3 = 9 − 3 × I3, o sea 4 × I3 = 9 e I3 = 2,25 A.
b) I1 = 5 − 2,25 = 2,75 A e I2 = 4 − 2 × 2,25 = 4 − 4,5 = −0,5 A.
c) El signo menos dice que por la segunda rama la corriente circula al revés de lo supuesto: el generador de 4 V no está entregando corriente, la está recibiendo, porque el de 10 V impone una tensión mayor entre los nudos.
Comprobación por las potencias: el generador de 10 V aporta 10 × 2,75 = 27,5 W. Disipan calor las tres resistencias: la primera, 2 × (2,75)2 = 15,125 W; la segunda, 1 × (0,5)2 = 0,25 W; y la tercera, 2 × (2,25)2 = 10,125 W. Y el generador de 4 V absorbe 4 × 0,5 = 2 W. El reparto suma 15,125 + 0,25 + 10,125 + 2 = 27,5 W, justo lo aportado.
22Un generador de 24 V lleva en serie una resistencia de 1,2 Ω. Detrás de ella alimenta dos resistencias puestas en paralelo, de 8 Ω y de 12 Ω. (a) Halla la resistencia que equivale al paralelo y la del circuito completo. (b) Halla la intensidad total y la que lleva cada rama. (c) Comprueba lo obtenido con la regla del nudo y con el balance de potencias.
Ver solución
a) El paralelo equivale a 8 × 12 ÷ (8 + 12) = 96 ÷ 20 = 4,8 Ω. Sumando la de la serie, el circuito entero vale 1,2 + 4,8 = 6 Ω.
b) La intensidad total es 24 ÷ 6 = 4 A. La tensión del conjunto en paralelo es 4 × 4,8 = 19,2 V. Por la rama de 8 Ω pasan 19,2 ÷ 8 = 2,4 A. Y por la de 12 Ω, 19,2 ÷ 12 = 1,6 A.
c) Regla del nudo: 2,4 + 1,6 = 4 A, que es la total. Potencias: el generador da 24 × 4 = 96 W; la resistencia de la serie consume 1,2 × 4 × 4 = 19,2 W; la de 8 Ω, 8 × 2,4 × 2,4 = 46,08 W; y la de 12 Ω, 12 × 1,6 × 1,6 = 30,72 W. Sumando: 19,2 + 46,08 + 30,72 = 96 W.
▲ La rama de menos resistencia se lleva más corriente, y aquí la razón es exacta: 2,4 ÷ 1,6 = 1,5, que es 12 ÷ 8. Si la razón de las intensidades no es la inversa de la de las resistencias, hay un error.
23A un nudo llegan 3,6 A por una rama. Del nudo salen 1,25 A por una segunda rama y 0,85 A por una tercera. El resto se marcha por una cuarta, que lleva una resistencia de 16 Ω. (a) Calcula la intensidad de la cuarta rama. (b) Calcula la tensión entre los extremos de esa resistencia. (c) Calcula la potencia que disipa.
Ver solución
a) Lo que entra es lo que sale: 3,6 = 1,25 + 0,85 + I. Despejando, I = 3,6 − 2,1 = 1,5 A.
b) Por la ley de Ohm, la tensión es 1,5 × 16 = 24 V.
c) La potencia es la intensidad al cuadrado por la resistencia: 1,5 × 1,5 × 16 = 36 W.
Comprobación por el otro camino: la potencia también es la tensión por la intensidad, 24 × 1,5 = 36 W. Coincide. Si los dos caminos no dieran lo mismo, la tensión del apartado b estaría mal.
El motor de corriente continua: par, potencia y rendimiento
Lo que hay que saber
Un motor de corriente continua convierte energía eléctrica en energía de giro. Al girar aparece en su bobinado una tensión que se opone a la de entrada, llamada fuerza contraelectromotriz.
La potencia absorbida de la red es la tensión por la intensidad. Es lo que se paga, y no es lo que se aprovecha.
Parte de la potencia calienta el bobinado: esa pérdida vale intensidad al cuadrado por resistencia. Aquí usamos un modelo que desprecia rozamiento y otras pérdidas. Solo bajo ese supuesto, el resto es potencia mecánica útil.
El par motor sale de dividir la potencia mecánica entre la velocidad angular del eje, con la velocidad angular en radianes por segundo.
El rendimiento del motor es la potencia mecánica dividida entre la absorbida. El balance se comprueba solo: lo que entra es lo que se pierde más lo que sale.
▲ Con el eje frenado no hay giro, así que no hay fuerza contraelectromotriz que limite la corriente. Por eso un motor bloqueado absorbe mucho más que en marcha.
24Un motor de corriente continua funciona a 200 V y absorbe 5 A. La resistencia de su bobinado es de 4 Ω y su eje gira a una velocidad angular de 150 radianes por segundo. (a) Calcula la potencia absorbida. (b) Calcula la potencia perdida en el bobinado y la potencia mecánica. (c) Calcula el par motor y el rendimiento.
Ver solución
a) La potencia absorbida es la tensión por la intensidad: 200 × 5 = 1.000 W.
b) La pérdida en el bobinado es la intensidad al cuadrado por su resistencia: 5 × 5 × 4 = 100 W. La potencia mecánica es lo que queda: 1.000 − 100 = 900 W.
c) El par es la potencia mecánica dividida entre la velocidad angular: 900 ÷ 150 = 6 N × m. El rendimiento es 900 ÷ 1.000 = 0,9, o sea un 90 %.
Comprobación: multiplicando el par por la velocidad angular hay que recuperar la potencia mecánica, 6 × 150 = 900 W. De no recuperarla, se habrá dividido entre las vueltas por minuto en lugar de entre los radianes por segundo.
25Un motor tiene un rendimiento del 80 % y entrega 1.200 W de potencia mecánica funcionando a 120 V. (a) Calcula la potencia que absorbe. (b) Calcula la intensidad. (c) Halla la energía consumida durante 2 horas, en kilovatios hora y en julios, sabiendo que un kilovatio hora son 3.600.000 J.
Ver solución
a) La absorbida sale de dividir la útil entre el rendimiento: 1.200 ÷ 0,80 = 1.500 W.
b) La intensidad es la potencia absorbida dividida entre la tensión: 1.500 ÷ 120 = 12,5 A.
c) En 2 horas consume 1,5 × 2 = 3 kWh, que son 3 × 3.600.000 = 10.800.000 J.
Comprobación: multiplicando la absorbida por el rendimiento hay que recuperar la útil, 1.500 × 0,80 = 1.200 W. Si en vez de dividir se hubiera multiplicado por 0,80, habría salido 960 W, menos que lo que el motor entrega, que es imposible.
26Dos motores se comparan en el mismo trabajo. El motor A absorbe 750 W y entrega 600 W. El motor B absorbe 800 W y entrega también 600 W. (a) Halla el rendimiento de los dos motores. (b) Halla la potencia que desperdicia cada uno. (c) Los dos funcionan 5 horas al día durante 20 días: calcula la diferencia de energía consumida y su coste a 0,20 € el kilovatio hora, precio inventado para poder operar.
Ver solución
a) El A rinde 600 ÷ 750 = 0,80, o sea un 80 %. El B rinde 600 ÷ 800 = 0,75, o sea un 75 %.
b) El A pierde 750 − 600 = 150 W y el B pierde 800 − 600 = 200 W.
c) Son 5 × 20 = 100 horas de funcionamiento. La diferencia de potencia absorbida es 800 − 750 = 50 W, o sea 0,05 kW. La diferencia de energía sale 0,05 × 100 = 5 kWh. Y eso cuesta 5 × 0,20 = 1,00 €.
Comprobación por separado: el A consume 0,75 × 100 = 75 kWh y el B, 0,80 × 100 = 80 kWh. La diferencia es 5 kWh, igual que por el camino corto.
La representación esquematizada de un circuito: los símbolos normalizados
Lo que hay que saber
Un esquema eléctrico sustituye cada componente por un símbolo normalizado y los une con trazos rectos. Como los símbolos están normalizados, se lee igual en cualquier taller.
El esquema multifilar pinta todos los conductores, uno por uno. El esquema unifilar resume el conjunto en un solo trazo, con una marca que dice cuántos conductores van por ahí. El primero sirve para montar; el segundo, para entender el reparto de un cuadro.
El generador de corriente continua lleva dos trazos paralelos desiguales, y el más largo marca el polo positivo. La resistencia aparece como un rectángulo estrecho por cuyos lados cortos entra y sale el conductor, y la lámpara, como un círculo con un aspa dentro.
El interruptor se pinta como un trazo despegado de su contacto, y así queda cortado el paso. El fusible lleva un rectángulo recorrido a lo largo por una raya: es el punto previsto para romperse antes que ninguna otra cosa.
Los aparatos de medida son círculos con una letra: la V del voltímetro y la A del amperímetro. Y el sitio no es opcional: el voltímetro se coloca en paralelo con lo que quiere medir y el amperímetro, en serie, dentro del camino de la corriente.
Dos trazos que se cruzan no están unidos. Si lo están, en el cruce se pinta un punto grueso. Ese punto es toda la diferencia entre dos ramas independientes y un empalme.
Los bornes de entrada y de salida se numeran. Esa numeración permite montar el circuito sin consultar el esquema a cada paso.
Un esquema bien hecho se recorre de un polo al otro, anotando por orden lo que va apareciendo en el trayecto.
⛔ Este tema no trae ejercicios, porque el contenido consiste en trazos y en dónde va cada cosa. Escribir en un enunciado la forma de un símbolo adelantaría la contestación, y encargar que se trace exige quien lo mire. En los demás temas el montaje se cuenta rama a rama, con palabras, y las cuentas salen igual.
La programación textual: la traza de un programa modular
Lo que hay que saber
En programación textual el programa se escribe línea a línea. Se edita, se traduce a algo que la máquina entiende y se ejecuta, y en cualquiera de los tres pasos puede aparecer un fallo distinto.
Modularizar es partir el programa en funciones con nombre. Cada una recibe unos parámetros, hace su trabajo y entrega un valor devuelto.
Al ejecutarse, la llamada se sustituye por el valor devuelto en el sitio donde estaba escrita. Eso es lo que permite encadenar una función dentro de otra.
El ámbito de una variable es el trozo de programa donde existe. Una variable creada dentro de una función vive solo ahí, y desaparece al terminar.
Hacer la traza es recorrer el programa línea a línea apuntando cómo queda cada variable tras cada paso. Es lo que contesta qué va a salir sin llegar a ejecutarlo.
▲ En el pseudocódigo de estos ejercicios los números se pasan por valor. Reasignar el parámetro no cambia la variable del programa principal. Otros lenguajes y tipos de datos pueden funcionar de otra manera.
27Un programa tiene dos funciones. La función doble recibe un número y devuelve ese número multiplicado por 2. La función suma3 recibe tres números y devuelve su suma. El programa principal hace esto: pone n a 5; guarda en p el resultado de doble con n; guarda en q el resultado de doble con p; guarda en r el resultado de suma3 con n, p y q; y muestra r. (a) Calcula los valores de p y de q. (b) Calcula el valor de r. (c) Calcula qué mostraría si la tercera línea guardase en q el resultado de doble con n.
Ver solución
a) La llamada se sustituye por lo que devuelve. Con n valiendo 5, p = 5 × 2 = 10. Y con p valiendo 10, q = 10 × 2 = 20.
b) La función suma3 recibe 5, 10 y 20, de modo que r = 5 + 10 + 20 = 35.
c) Con el cambio, q = 5 × 2 = 10, y entonces r = 5 + 10 + 10 = 25.
▲ Una pista que avisa: en el programa original cada valor duplica al anterior, de modo que la suma vale 7 veces el primero, 5 × 7 = 35. Con el cambio los tres valen 1, 2 y 2 veces el primero, o sea 5 × 5 = 25.
28Un programa tiene una función llamada aumenta que recibe un número en el parámetro v, ejecuta la línea v = v + 7 y devuelve v. El programa principal pone t a 4, guarda en u el resultado de aumenta con t, y muestra t y u. (a) Di qué muestra el programa. (b) Explica por qué t sale así. (c) Escribe qué habría que cambiar para que t acabase valiendo 11.
Ver solución
a) Muestra t igual a 4 y u igual a 11.
b) El parámetro v recibe una copia del valor de t. La línea v = v + 7 cambia esa copia, que vive solo dentro de la función y desaparece al terminar. La variable t del principal no se entera de nada.
c) Habría que recoger el valor devuelto en la propia t, es decir, escribir t igual al resultado de aumenta con t. Entonces t pasaría a valer 11, porque se le asigna lo que la función devuelve.
Comprobación: el valor devuelto y el valor de u coinciden siempre, porque u recibe justo lo que la función entrega. Si la traza diera u distinto de 11, el error estaría en la suma de dentro.
29Una función llamada total recibe un número n. Pone una variable s a 0 y después, para cada k desde 1 hasta n, ejecuta s = s + k × k. Al acabar devuelve s. El programa principal muestra total con 4 y total con 5. (a) Escribe la traza de total con 4, anotando s al final de cada vuelta. (b) Calcula total con 5. (c) Relaciona los dos resultados.
Ver solución
a) La traza es esta. Antes de empezar, s = 0. Al final de la vuelta con k = 1, s = 0 + 1 = 1. Con k = 2, s = 1 + 4 = 5. Con k = 3, s = 5 + 9 = 14. Y con k = 4, s = 14 + 16 = 30.
b) La función con 5 hace una vuelta más sobre lo anterior: s = 30 + 25 = 55.
c) El segundo resultado es el primero más el cuadrado de 5: 55 = 30 + 25. Cada llamada añade al resultado anterior el cuadrado del nuevo número.
Comprobación: sumando los cuadrados por separado, 1 + 4 + 9 + 16 = 30 y 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55. Si la traza no coincide con la suma directa, el acumulador se ha puesto a cero dentro del bucle.
Las pruebas, la depuración y el número de operaciones
Lo que hay que saber
Un programa que termina sin quejarse puede estar dando un resultado equivocado. Que no falle y que acierte son dos cosas distintas.
Probar es ejecutar con casos elegidos y comparar la salida con lo que se esperaba, calculado aparte. Sin ese cálculo aparte no hay prueba: hay una ejecución.
Los casos límite caen justo en la frontera de lo que el programa decide: el valor menor, el mayor, el caso vacío y los que rozan por dentro y por fuera cada borde.
Depurar es acorralar el fallo: reducir el caso hasta el más pequeño que lo produce y mirar los valores intermedios hasta ver dónde dejan de cuadrar.
Contar cuántas veces se ejecuta la línea de dentro del bucle compara dos soluciones sin medir tiempos ni depender de la máquina.
▲ Que un programa acierte en un caso no dice nada de los demás. Por eso los casos se eligen a propósito, y los de la frontera primero.
30Hay que buscar un dato en una lista ordenada de 1.024 elementos distintos. Un procedimiento los examina uno a uno. Otro compara con el central y, si no coincide, lo excluye y continúa por la mitad adecuada. Si hay dos centrales elige el de menor posición. Cuenta una comparación por elemento examinado, incluida la última. (a) Halla el peor caso del primero. (b) Halla el peor caso del segundo. (c) Repite para 4.096 elementos.
Ver solución
a) En el peor caso el dato está al final o no está, de modo que el primer procedimiento hace 1.024 comparaciones, una por elemento.
b) En el peor recorrido quedan 512 elementos tras la primera comparación; después, 256. Se sigue hasta quedar uno, que también hay que examinar. Son 11 comparaciones: diez reducciones y la comprobación del último elemento.
c) El recorrido completo del primero necesita 4.096 comparaciones. La búsqueda por mitades necesita como máximo 13 comparaciones: doce reducciones y la comparación final.
▲ Al pasar de 1.024 a 4.096 el trabajo del primero se multiplica por 4 y el del segundo solo sube en 2 comparaciones. Esa es la diferencia que se ve contando, sin medir tiempos ni depender de la máquina.
31Una función tiene que decir si un número está dentro del intervalo que va de 10 a 20, incluidos los dos extremos. Quien la escribió puso la condición mayor que 10 y menor que 20. (a) Di qué contesta la función con 10 y con 20. (b) Explica por qué es un fallo. (c) Propón casos para revisar el interior, los extremos y el exterior del intervalo.
Ver solución
a) Con 10 contesta que no, porque 10 no es mayor que 10. Y con 20 contesta que no, porque 20 no es menor que 20.
b) Es un fallo porque el enunciado pedía incluir los dos extremos, y la condición los deja fuera. La función acierta en todo el interior del intervalo, así que probándola solo por dentro parece correcta.
c) Bastan cinco casos bien elegidos: 9, 10, 15, 20 y 21. El 15 comprueba el interior, y el 9 y el 21, lo que queda fuera. El 10 y el 20 son los casos límite, y son los únicos que delatan el fallo.
Comprobación: los cinco casos tienen que dar no, sí, sí, sí y no. Con la condición equivocada dan no, no, sí, no y no, y las dos diferencias señalan exactamente los extremos.
Los sistemas de control: la ganancia y el error en régimen permanente
Lo que hay que saber
Un sistema de control tiene una consigna, que fija el valor buscado, y una salida, que es el valor real. Y tiene además un elemento que actúa sobre el proceso.
En lazo abierto se actúa sin mirar la salida. En lazo cerrado se mide la salida y se resta de la consigna, y esa diferencia es el error.
La ganancia del regulador multiplica el error para decidir cuánto actuar. Y el proceso tiene a su vez su propia ganancia.
Cuando el sistema se estabiliza está en régimen permanente. Usamos un modelo lineal estable, con regulador proporcional y realimentación unitaria. Sin perturbaciones, su salida es la consigna por K × G dividida entre 1 + K × G. Estas fórmulas no describen cualquier regulador.
El error que queda es la consigna dividida entre 1 + K × G. Subir la ganancia lo reduce, pero por mucho que se suba no llega a cero: se acerca.
▲ En lazo abierto una perturbación no se corrige sola, porque nadie está mirando la salida. Esa es la diferencia de fondo entre los dos montajes, y no el número de componentes.
32Un horno se representa con el modelo proporcional ideal del recuadro, sin perturbaciones. Las temperaturas son incrementos respecto a una referencia fija. El producto de la ganancia del regulador por la del proceso vale 9 y la consigna es de 100 °C. (a) Calcula la temperatura en régimen permanente. (b) Calcula el error que queda. (c) Repite las dos cuentas si ese producto pasa a valer 19.
Ver solución
a) La salida es la consigna multiplicada por el producto de ganancias y dividida entre 1 más ese producto: 100 × 9 ÷ 10 = 90 °C.
b) El error es lo que falta para la consigna: 100 − 90 = 10 °C. También sale directamente como 100 ÷ 10.
c) Con el producto valiendo 19, la salida es 100 × 19 ÷ 20 = 95 °C y el error, 100 − 95 = 5 °C.
Comprobación: en los dos casos la salida y el error tienen que reconstruir la consigna, 90 + 10 = 100 y 95 + 5 = 100. Si no la reconstruyen, alguna de las dos operaciones falla.
33Un proceso tiene una ganancia de 3 y se regula en lazo cerrado con un regulador de ganancia K. El error en régimen permanente es la consigna dividida entre 1 más el producto de las dos ganancias. (a) Calcula el error, en tanto por ciento de la consigna, con K igual a 3. (b) Calcula ese mismo porcentaje con K igual a 8. (c) Halla el menor valor entero de K con el que el error no pase del 2 % de la consigna.
Ver solución
a) Con K igual a 3, el producto de ganancias es 3 × 3 = 9 y el error relativo es 1 ÷ 10 = 0,1, o sea un 10 %.
b) Con K igual a 8, el producto es 24 y el error relativo es 1 ÷ 25 = 0,04, o sea un 4 %.
c) Se pide que 1 dividido entre 1 + 3 × K no pase de 0,02. Eso equivale a que 1 + 3 × K valga al menos 50, o sea, 3 × K al menos 49. Con K igual a 16 sale 1 + 48 = 49 y el error es 1 ÷ 49, que pasa del 2 %. Con K igual a 17 sale 1 + 51 = 52 y el error es 1 ÷ 52, que ya no llega al 2 %. El menor valor entero es 17.
▲ Para pasar del 10 % al 4 % bastó con subir K de 3 a 8, y para llegar al 2 % hizo falta 17. Subir la ganancia reduce el error cada vez menos, y nunca lo lleva a cero.
34Un lazo de control de velocidad trabaja con una consigna de 240 vueltas por minuto. (a) Halla la velocidad de régimen permanente y el error cuando el producto de ganancias vale 5. (b) Halla esas dos cosas con el producto en 11. (c) Halla cuánto tendría que valer ese producto para dejar el error en 10 vueltas por minuto.
Ver solución
a) La salida es 240 × 5 ÷ 6 = 200 vueltas por minuto, y el error, 240 − 200 = 40 vueltas por minuto.
b) Con 11: la salida es 240 × 11 ÷ 12 = 220 vueltas por minuto y el error, 240 − 220 = 20 vueltas por minuto.
c) El error es la consigna dividida entre 1 más el producto. Así, 240 ÷ (1 + producto) = 10, de donde 1 + producto = 24 y el producto vale 23.
Comprobación: con 23 la salida sería 240 × 23 ÷ 24 = 230 vueltas por minuto, que deja justo los 10 de error pedidos.
La supervisión y la telemetría: el muestreo y el volumen de datos
Lo que hay que saber
Un sistema de supervisión recoge cada cierto tiempo las medidas de los sensores. Después las guarda y las presenta a quien vigila la instalación.
El periodo de muestreo es el tiempo entre dos medidas seguidas. Su inverso es el número de medidas por segundo que se toman de cada canal.
El volumen que se guarda sale de multiplicar tres cosas: las medidas por segundo, los bytes que ocupa cada medida y el número de canales.
La telemetría envía esas medidas por un enlace, y el enlace tiene un límite en bits por segundo. Para compararlo con el volumen hay que pasar bytes a bits, o al revés.
Muestrear más deprisa da más detalle y ocupa más sitio. La elección depende de lo deprisa que cambie de verdad la magnitud medida.
▲ Guardar más medidas no es medir mejor. Si el sensor tarda en responder, las medidas de más repiten lo que ya se sabía.
35Una instalación se vigila con 12 canales de medida. De cada canal se toma una medida cada 250 ms y cada medida ocupa 4 bytes. (a) Calcula las medidas por segundo de cada canal. (b) Calcula los bytes por segundo que se guardan en total. (c) Calcula los bytes guardados en una hora, y exprésalos en megabytes tomando 1 megabyte como 1.000.000 de bytes.
Ver solución
a) El periodo de muestreo es de 250 ms, o sea 0,25 s. Las medidas por segundo son 1 ÷ 0,25 = 4 medidas por segundo en cada canal.
b) Se multiplican las tres cosas: 4 medidas por segundo, por 4 bytes cada una, por 12 canales: 4 × 4 × 12 = 192 bytes por segundo.
c) Una hora son 3.600 s. Se guardan 192 × 3.600 = 691.200 bytes, o sea 691.200 ÷ 1.000.000 = 0,6912 megabytes.
Comprobación: cada canal genera 4 × 4 = 16 bytes por segundo, y 16 × 12 = 192. Si el resultado saliera 12 veces mayor o menor, el número de canales se habría contado dos veces o ninguna.
36De una instalación salen 192 bytes por segundo de medidas, que se envían por un enlace de 64 kbit/s, velocidad inventada para poder operar. Cada byte son 8 bits. (a) Calcula los bytes por segundo que caben por el enlace. (b) Calcula cuántos paquetes de 40 bytes caben en un segundo. (c) Calcula qué parte del enlace ocupan 192 bytes por segundo.
Ver solución
a) El enlace lleva 64.000 bits por segundo, que entre 8 bits por byte dan 64.000 ÷ 8 = 8.000 bytes por segundo.
b) Con paquetes de 40 bytes caben 8.000 ÷ 40 = 200 paquetes por segundo.
c) La ocupación es 192 ÷ 8.000 = 0,024, es decir, un 2,4 % del enlace.
▲ Los bits y los bytes se mezclan con facilidad, y el error es de ocho veces en un sentido o en otro. La pista que avisa: un resultado en bytes por segundo tiene que salir menor que el mismo dato en bits por segundo, nunca mayor.
La robótica: el movimiento de un robot de dos ruedas
Lo que hay que saber
Un robot de dos ruedas motrices se mueve por la diferencia entre ellas. Con las dos a la misma velocidad avanza recto; con velocidades distintas, describe una curva.
Lo que avanza una rueda en cada vuelta es el contorno de la rueda. En estos ejercicios el contorno va dado, para no arrastrar decimales que no acaban.
La velocidad de una rueda motriz sale de multiplicar sus vueltas por minuto por el contorno. Y la del conjunto resulta de promediar las de sus dos ruedas.
El radio de la curva parte de la mitad de la separación entre ruedas. Esa mitad se multiplica por el cociente entre la suma y la diferencia de las dos velocidades.
Si las dos ruedas giran a la misma velocidad y en sentidos contrarios, la suma es cero: el robot gira sobre sí mismo sin avanzar nada.
▲ Cuanto más parecidas son las dos velocidades, mayor es el radio. Y cuando la diferencia es cero no hay curva que calcular, porque el camino es recto.
37Un robot tiene dos ruedas motrices cuyo contorno mide 200 mm. Las dos giran a 90 vueltas por minuto. (a) Halla el avance que corresponde a cada vuelta de rueda. (b) Halla su velocidad en milímetros por minuto y en milímetros por segundo. (c) Halla el tiempo que necesita para recorrer 3 m.
Ver solución
a) Cada vuelta hace avanzar la rueda su contorno, o sea 200 mm. Yendo las dos igual, el conjunto se desplaza esa misma distancia y en línea recta.
b) La velocidad es 90 × 200 = 18.000 mm por minuto. Repartida entre los 60 s de un minuto, 18.000 ÷ 60 = 300 mm por segundo.
c) Tres metros son 3.000 mm, así que tarda 3.000 ÷ 300 = 10 s.
Comprobación: en 10 s a 90 vueltas por minuto la rueda da 90 × 10 ÷ 60 = 15 vueltas, y 15 × 200 = 3.000 mm. Coincide con el recorrido pedido.
38Un robot de dos ruedas motrices las tiene de 200 mm de contorno y separadas 300 mm. La izquierda gira a 80 vueltas por minuto y la derecha, a 120. (a) Calcula la velocidad de cada rueda en milímetros por minuto. (b) Calcula la velocidad del robot. (c) Calcula el radio de la curva que describe.
Ver solución
a) La izquierda va a 80 × 200 = 16.000 mm por minuto y la derecha, a 120 × 200 = 24.000 mm por minuto.
b) La del conjunto resulta de promediarlas: (16.000 + 24.000) ÷ 2 = 20.000 mm por minuto.
c) El radio es la mitad de la separación por el cociente entre la suma y la diferencia de las velocidades: 150 × 40.000 ÷ 8.000 = 750 mm.
▲ La curva se cierra hacia el lado de la rueda lenta, que aquí es la izquierda. Si las dos ruedas fueran igual de rápidas la diferencia sería cero y no habría radio que calcular, porque el camino sería recto.
39Otro robot lleva ruedas de 200 mm de contorno, con 300 mm entre una y otra. Se quiere que describa una curva de 600 mm de radio a una velocidad media de 18.000 mm por minuto. (a) Calcula la diferencia que tiene que haber entre las velocidades de las dos ruedas. (b) Calcula la velocidad de cada rueda. (c) Expresa esas dos velocidades en vueltas por minuto.
Ver solución
a) De la relación del radio se despeja la diferencia: es la mitad de la separación por la suma de las velocidades y dividido entre el radio. La suma vale el doble de la media, 36.000 mm por minuto. La diferencia es entonces 150 × 36.000 ÷ 600 = 9.000 mm por minuto.
b) La suma vale 36.000 y la diferencia, 9.000. La rueda rápida va a (36.000 + 9.000) ÷ 2 = 22.500 mm por minuto. Y la lenta, a (36.000 − 9.000) ÷ 2 = 13.500 mm por minuto.
c) Dividiendo entre el contorno: 22.500 ÷ 200 = 112,5 vueltas por minuto y 13.500 ÷ 200 = 67,5 vueltas por minuto.
Comprobación: con esas dos velocidades el radio sale 150 × 36.000 ÷ 9.000 = 600 mm, el pedido. Y la media es (22.500 + 13.500) ÷ 2 = 18.000 mm por minuto, también la pedida.
Los sistemas de generación eléctrica y su rendimiento
Lo que hay que saber
Una instalación de generación convierte una energía de partida en energía eléctrica, y lo hace por pasos. En cada paso se queda una parte por el camino.
El rendimiento de un paso compara, dividiendo, lo que de él sale con lo que había recibido. Y el de la cadena entera es el producto de los rendimientos de sus pasos.
Se puede trabajar con potencias o con energías, pero sin mezclar: la entrada y la salida han de estar medidas en la misma magnitud.
La energía eléctrica se mide en kilovatios hora. Un kilovatio hora son mil vatios durante tres mil seiscientos segundos, o sea 3.600.000 julios.
Una fuente es renovable cuando se repone al ritmo con que se consume. Ahí está la diferencia, y no en el rendimiento: hay renovables que rinden poco y fuentes agotables que rinden mucho.
▲ Un rendimiento alto no significa energía barata ni limpia. Es un cociente entre dos cantidades de energía, y calla sobre el precio y sobre lo que se haya emitido al producirla.
40Una instalación de generación recibe 5.000 kW de potencia de partida y entrega 1.800 kW eléctricos. (a) Calcula su rendimiento, en tanto por ciento. (b) Calcula la potencia que se queda por el camino. (c) Calcula la energía eléctrica producida en 8 horas, en kilovatios hora y en julios, sabiendo que un kilovatio hora son 3.600.000 J.
Ver solución
a) El rendimiento es lo que sale dividido entre lo que entra: 1.800 ÷ 5.000 = 0,36, o sea un 36 %.
b) La potencia perdida es la diferencia: 5.000 − 1.800 = 3.200 kW.
c) En 8 horas produce 1.800 × 8 = 14.400 kWh, que son 14.400 × 3.600.000 = 51.840.000.000 J.
Comprobación: la potencia perdida entre la de partida es 3.200 ÷ 5.000 = 0,64, y 0,36 + 0,64 = 1. Lo que sale y lo que se pierde tienen que repartirse todo lo que entra.
41Una cadena de conversión tiene tres pasos, con rendimientos del 40 %, del 95 % y del 98 %. (a) Calcula el rendimiento total, en tanto por ciento. (b) Calcula la potencia de partida necesaria para obtener 3.724 kW eléctricos. (c) Calcula la potencia perdida en cada paso y comprueba la suma.
Ver solución
a) Los rendimientos se multiplican: 0,40 × 0,95 × 0,98 = 0,3724, o sea un 37,24 %.
b) La potencia de partida es la de salida dividida entre el rendimiento total: 3.724 ÷ 0,3724 = 10.000 kW.
c) El primer paso deja 10.000 × 0,40 = 4.000 kW y pierde 6.000 kW. El segundo deja 4.000 × 0,95 = 3.800 kW y pierde 200 kW. El tercero deja 3.800 × 0,98 = 3.724 kW y pierde 76 kW. Las pérdidas suman 6.000 + 200 + 76 = 6.276 kW, y 10.000 − 3.724 = 6.276 kW.
▲ Sumar los rendimientos o hacer su media no vale: promediando 40, 95 y 98 saldría más del doble del 37,24 real. El paso peor manda mucho más de lo que parece.
42Se comparan dos instalaciones. La primera parte de 2.000 kW con un rendimiento del 34 %. La segunda parte de 1.500 kW con un rendimiento del 42 %. (a) Calcula la potencia eléctrica de cada una. (b) Di cuál rinde más y cuál produce más. (c) Calcula la energía anual de cada una si funcionan 2.000 horas al año.
Ver solución
a) La primera da 2.000 × 0,34 = 680 kW y la segunda, 1.500 × 0,42 = 630 kW.
b) Rinde más la segunda, con un 42 % frente a un 34 %. Produce más la primera, con 680 kW frente a 630 kW, porque parte de bastante más potencia.
c) La primera produce 680 × 2.000 = 1.360.000 kWh al año y la segunda, 630 × 2.000 = 1.260.000 kWh.
Comprobación: las potencias se distancian en 680 − 630 = 50 kW. En 2.000 horas eso son 50 × 2.000 = 100.000 kWh, la misma distancia que hay entre las dos energías anuales.
El consumo y el coste de la energía en una vivienda
Lo que hay que saber
En estos ejercicios usamos una factura simplificada: sumamos potencia y energía. Dejamos fuera impuestos, alquiler de equipos y otros conceptos. El resultado será el importe de este modelo, no una factura real completa.
El término de potencia se paga por la potencia contratada y por los días del periodo, se encienda o no se encienda nada. Es un coste fijo.
El término de energía se paga por los kilovatios hora consumidos. Y la energía de un receptor sale de su potencia por las horas que esté funcionando.
La potencia contratada tiene que cubrir lo que se enciende a la vez, y no el total de aparatos que haya en la vivienda. Por eso se calcula sumando los que coinciden encendidos.
Para comparar dos tarifas hay que calcular sus dos partes sobre un mismo consumo. Aquella con la energía más barata y el término fijo más caro solo gana por encima de cierta cantidad.
▲ El precio de la energía depende del momento y del contrato firmado. El de esta página va inventado, y así se advierte en cada enunciado, para que las cuentas se puedan seguir sin caducar.
43Una vivienda tiene 4,6 kW de potencia contratada y consume 260 kWh en un mes de 30 días. El término de potencia se paga a 0,10 € por kilovatio y día, y el de energía a 0,22 € el kilovatio hora. Los dos precios están inventados para poder operar. (a) Calcula el término de potencia del mes. (b) Calcula el término de energía. (c) Calcula el importe total.
Ver solución
a) El término de potencia son los kilovatios contratados por el precio y por los días: 4,6 × 0,10 × 30 = 13,80 €.
b) El término de energía son los kilovatios hora por su precio: 260 × 0,22 = 57,20 €.
c) Sumando las dos partes: 13,80 + 57,20 = 71,00 €.
▲ El término de potencia se paga aunque la vivienda esté vacía el mes entero. Con 0 kWh consumidos, la factura de este ejemplo seguiría siendo de 13,80 €.
44Se comparan dos tarifas para una vivienda con 5 kW contratados que consume 300 kWh en un mes de 30 días. La primera cobra 0,12 € por kilovatio y día y 0,18 € el kilovatio hora. La segunda cobra 0,06 € por kilovatio y día y 0,24 € el kilovatio hora. Los cuatro precios están inventados. (a) Calcula el importe con cada tarifa. (b) Di cuál conviene. (c) Halla el consumo mensual para el que las dos cuestan lo mismo.
Ver solución
a) Con la primera: 5 × 0,12 × 30 = 18 € de potencia y 300 × 0,18 = 54 € de energía, en total 72 €. Con la segunda: 5 × 0,06 × 30 = 9 € de potencia y 300 × 0,24 = 72 € de energía, en total 81 €.
b) Conviene la primera, que sale 9 € más barata con ese consumo.
c) Igualando los dos importes con un consumo E: 18 + 0,18 × E = 9 + 0,24 × E. Restando, 9 = 0,06 × E, de donde E = 150 kWh.
Comprobación: con 150 kWh la primera cuesta 18 + 27 = 45 € y la segunda, 9 + 36 = 45 €. Por debajo de ese consumo gana la segunda, con su término de potencia más barato.
45En una vivienda hay tres receptores: uno de 2.000 W, otro de 1.200 W y otro de 900 W. (a) Calcula la potencia necesaria si se encienden los tres a la vez, en kilovatios. (b) La potencia contratada es de 3,45 kW: di qué receptor basta con apagar. (c) Calcula la energía de los tres funcionando 2 horas y su coste a 0,25 € el kilovatio hora, precio inventado para poder operar.
Ver solución
a) La suma es 2.000 + 1.200 + 900 = 4.100 W, es decir, 4,1 kW.
b) Con 3,45 kW contratados sobran 4,1 − 3,45 = 0,65 kW. Apagando el de 900 W quedan 4,1 − 0,9 = 3,2 kW, que ya caben. También sirven el de 1.200 W o el de 2.000 W: apagar cualquiera basta. El de 900 W es el de menor potencia que resuelve el exceso.
c) Los tres juntos en 2 horas consumen 4,1 × 2 = 8,2 kWh, que cuestan 8,2 × 0,25 = 2,05 €.
Comprobación receptor a receptor: 2 × 2 + 1,2 × 2 + 0,9 × 2 = 4 + 2,4 + 1,8 = 8,2 kWh. Coincide con el cálculo conjunto.
Las energías renovables y la eficiencia de la envolvente
Lo que hay que saber
Una instalación fotovoltaica se describe por su potencia pico. Es la que daría en unas condiciones de referencia fijadas de antemano, y no la que da a cualquier hora.
Para estimar lo que produce en un día se multiplica la potencia pico por las horas equivalentes de sol del lugar. Ese número depende del sitio y va dado en el enunciado.
El autoconsumo es la energía solar usada en la vivienda. Evita comprar esa cantidad a la red. El excedente puede tener valor si existe compensación o venta. Aquí solo calculamos el ahorro del consumo propio y no valoramos excedentes.
Por la envolvente de la vivienda, formada por muros, ventanas y cubierta, se escapa calor. La transmitancia de un cerramiento indica los vatios que lo atraviesan en cada metro cuadrado cuando dentro y fuera hay un grado de diferencia.
La pérdida de cada cerramiento sale de multiplicar tres cosas: su transmitancia, los metros cuadrados que ocupa y los grados de salto térmico. Sumando las de todos los cerramientos se obtiene la de la envolvente completa, y aislar uno rebaja su sumando.
▲ Para valorar una ampliación hay que separar consumo propio y excedentes. Hace falta conocer cuándo se usa la energía y qué valor tendría la sobrante.
46Una vivienda instala 3 kW pico de potencia fotovoltaica. El lugar tiene 4,5 horas equivalentes de sol al día, supuesto inventado para el ejercicio; se desprecian otras pérdidas. (a) Calcula la producción de un día. (b) Calcula la producción de 30 días. (c) El autoconsumo representa el 60 % de lo producido. Cada kilovatio hora que se deja de comprar vale 0,25 €, precio inventado para poder operar: halla el ahorro del mes.
Ver solución
a) La producción diaria es la potencia pico por las horas equivalentes: 3 × 4,5 = 13,5 kWh al día.
b) En 30 días: 13,5 × 30 = 405 kWh.
c) Se autoconsume 405 × 0,60 = 243 kWh, que son los que no hay que comprar. El ahorro es 243 × 0,25 = 60,75 €.
▲ Los 162 kWh restantes son excedentes. Este ejercicio no les asigna ingresos ni compensación. Su valor real exigiría otros datos, que aquí no se han dado.
47La envolvente de una vivienda tiene tres cerramientos. El muro ocupa 80 m2 y su transmitancia vale 1,2 vatios por metro cuadrado y grado. Las ventanas ocupan 16 m2 con 2,5. Y la cubierta, 80 m2 con 0,8. Entre el interior y el exterior hay 20 grados de salto. Los tres valores de transmitancia están inventados. (a) Halla lo que escapa por cada cerramiento. (b) Halla la pérdida de la envolvente entera. (c) Halla qué parte de esa pérdida se va por las ventanas.
Ver solución
a) A cada cerramiento se le aplican sus metros cuadrados, su transmitancia y los 20 grados de salto. Muro: 1,2 × 80 × 20 = 1.920 W. Ventanas: 2,5 × 16 × 20 = 800 W. Cubierta: 0,8 × 80 × 20 = 1.280 W.
b) La envolvente pierde la suma de los tres: 1.920 + 800 + 1.280 = 4.000 W.
c) Por las ventanas se marcha 800 ÷ 4.000 = 0,2, es decir, la quinta parte del calor que escapa.
▲ Las ventanas son 16 de los 176 m2 de envolvente, una de cada once partes de la superficie. Y se llevan la quinta parte de la pérdida. Comparar superficie con pérdida es lo que señala por dónde conviene empezar.
48Una envolvente pierde 4.000 W repartidos así: 1.920 W por un muro de 80 m2, 800 W por 16 m2 de ventanas y 1.280 W por una cubierta de 80 m2, con 20 grados de salto. Se estudian dos obras. La primera aísla el muro y rebaja su transmitancia desde 1,2 hasta 0,3. La segunda cambia las ventanas y rebaja la suya desde 2,5 hasta 1. (a) Halla la pérdida total tras la primera obra y lo que ahorra. (b) Halla lo mismo para la segunda. (c) La calefacción funciona 1.200 horas al año. Halla la energía que ahorra la primera obra y lo que vale a 0,15 € el kilovatio hora, precio inventado para poder operar.
Ver solución
a) Con el muro aislado escapan por él 0,3 × 80 × 20 = 480 W, así que la envolvente pierde 480 + 800 + 1.280 = 2.560 W. La obra ahorra 4.000 − 2.560 = 1.440 W.
b) Con las ventanas cambiadas escapan por ellas 1 × 16 × 20 = 320 W, y la envolvente pierde 1.920 + 320 + 1.280 = 3.520 W. El ahorro es 4.000 − 3.520 = 480 W.
c) Los 1.440 W son 1,44 kW, que en 1.200 horas dan 1,44 × 1.200 = 1.728 kWh. A 0,15 € cada uno salen 1.728 × 0,15 = 259,20 €.
Comprobación por otro camino: el ahorro de cada obra se obtiene sin pasar por el total, usando solo la bajada de transmitancia. El muro baja 0,9 y ahorra 0,9 × 80 × 20 = 1.440 W; las ventanas bajan 1,5 y ahorran 1,5 × 16 × 20 = 480 W. Coincide con los dos apartados.
Ejercicios de Tecnología de 1º Bachillerato en PDF con soluciones
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