Ejercicios Resueltos de Aplicaciones de las Derivadas Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de aplicaciones de las derivadas resueltos para 2º de Bachillerato: monotonía y extremos, curvatura y puntos de inflexión, cálculo de parámetros, problemas de optimización y los teoremas de Rolle y del valor medio. Cada ejercicio sigue los pasos que se piden en el examen: derivar, igualar a cero, estudiar el signo y concluir.
Ejercicios de aplicaciones de las derivadas para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Monotonía, extremos y curvatura
Si f’ > 0, la función crece; si f’ < 0, decrece. Donde f’ cambia de signo hay un extremo. Con f» se estudia la curvatura.
1Estudia la monotonía y los extremos de f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1.
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Signo de f’: en (−∞, −1), positivo (f’(−2) = 15); en (−1, 3), negativo (f’(0) = −9); en (3, +∞), positivo (f’(4) = 15).
Crece en (−∞, −1) ∪ (3, +∞) y decrece en (−1, 3).
Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 6); mínimo relativo en (3, −26).
2Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la misma función f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1.
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Para x < 1, f» < 0: cóncava (forma ∩). Para x > 1, f» > 0: convexa (forma ∪).
Como cambia la curvatura, hay punto de inflexión en (1, −10).
(Algunos libros usan los nombres al revés; lo seguro es dar la forma: ∪ si f» > 0, ∩ si f» < 0.)
3Halla los extremos de f(x) = x·e−x.
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f’ > 0 para x < 1 y f’ < 0 para x > 1 → máximo en (1, 1/e) ≈ (1; 0,368).
4Halla el máximo de f(x) = ln x / x (con x > 0).
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f’ > 0 si x < e y f’ < 0 si x > e → máximo en (e, 1/e).
2. Cálculo de parámetros
5Halla a y b para que f(x) = x³ + ax² + bx tenga un extremo en x = 1 y un punto de inflexión en x = 2.
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Inflexión en 2: f»(2) = 12 + 2a = 0 → a = −6.
Sustituyendo: 3 − 12 + b = 0 → b = 9.
Comprobación: f’(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), que se anula en 1 ✓.
6¿Para qué valor de k la función f(x) = x² + kx + 3 tiene un mínimo en x = 2? ¿Cuánto vale ese mínimo?
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f»(x) = 2 > 0 → es mínimo. Valor: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
3. Problemas de optimización
Pasos: 1) escribir la función que hay que maximizar o minimizar; 2) usar la condición del enunciado para dejarla con una sola variable; 3) derivar e igualar a cero; 4) comprobar que es máximo o mínimo; 5) responder a la pregunta.
7Con 60 m de valla se quiere cercar un terreno rectangular junto a un muro (el lado del muro no se valla). ¿Qué dimensiones dan el área máxima?
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Área: A(y) = (60 − 2y)·y = 60y − 2y².
A’(y) = 60 − 4y = 0 → y = 15; A» = −4 < 0 → máximo.
Dimensiones: 30 m (paralelo al muro) por 15 m. Área máxima: 450 m².
8De una lámina cuadrada de 12 cm de lado se recortan cuatro cuadrados iguales en las esquinas para hacer una caja sin tapa. ¿Qué lado deben tener los cuadrados para que el volumen sea máximo?
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V’(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 → x = 6 (caja sin volumen, se descarta) o x = 2.
V’ > 0 antes de 2 y < 0 después → máximo. Cuadrados de 2 cm; volumen 128 cm³.
4. Teoremas de Rolle y del valor medio
9Comprueba que f(x) = x² − 4x + 3 cumple el teorema de Rolle en [1, 3] y halla el punto que asegura.
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Tesis: existe c ∈ (1, 3) con f’(c) = 0: 2c − 4 = 0 → c = 2.
10Aplica el teorema del valor medio a f(x) = x² en [1, 3].
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2c = 4 → c = 2. Interpretación: en x = 2 la tangente es paralela a la recta que une (1, 1) y (3, 9).
Aplicaciones de la derivada: resumen
Qué dice cada derivada:
- f’ > 0 → crece; f’ < 0 → decrece; f’ = 0 y cambio de signo → extremo relativo.
- f»(a) > 0 en un punto con f’(a) = 0 → mínimo; f»(a) < 0 → máximo.
- f» > 0 → forma ∪; f» < 0 → forma ∩; cambio de signo de f» → punto de inflexión.
- Rolle: continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b) → existe c con f’(c) = 0.
- Valor medio: continua y derivable → existe c con f’(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).
Derivadas que más se usan
Para resolver los ejercicios de esta página.
Tabla de derivadas básicas
| Función | Derivada |
|---|---|
| x^n | n·x^(n−1) |
| e^x | e^x |
| ln x | 1/x |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| f·g | f’·g + f·g’ |
| f/g | (f’·g − f·g’) / g² |
| f(g(x)) (regla de la cadena) | f'(g(x))·g'(x) |
Dudas sobre las aplicaciones de las derivadas
¿Cómo se resuelven los problemas de optimización?
Siempre con el mismo esquema: identificar qué hay que optimizar (área, volumen, coste…), escribirlo como función, reducirla a una variable con la condición del enunciado, derivar, igualar a cero y comprobar con el signo de f’ o con f» que el punto es máximo o mínimo. No olvides el dominio: descarta las soluciones que no tienen sentido (longitudes negativas, cajas sin volumen).
¿Qué pasa si no se cumple una hipótesis de Rolle?
Entonces el teorema no asegura nada: puede existir el punto con f’(c) = 0 o no. Por ejemplo, f(x) = |x| en [−1, 1] cumple f(−1) = f(1), pero no es derivable en 0 y no hay ningún punto con derivada nula.
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