Ejercicios Resueltos de Asíntotas Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de asíntotas resueltos para 2º de Bachillerato: verticales, horizontales y oblicuas, la posición de la función respecto de cada asíntota y las ramas parabólicas. Una asíntota es una recta a la que la gráfica de la función se acerca cada vez más sin llegar a tocarla (o tocándola solo en algún punto) cuando x o y crecen sin límite.
Ejercicios de asíntotas para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Asíntotas verticales y horizontales
Vertical x = a: si el límite cuando x → a es ±∞ (se buscan en los puntos que anulan el denominador o el argumento de un logaritmo). Horizontal y = b: si limx→±∞ f(x) = b.
1Halla las asíntotas de f(x) = (2x + 1)/(x − 3) y los límites laterales en la vertical.
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limx→3− = 7/0− = −∞; limx→3+ = 7/0+ = +∞.
Horizontal: limx→±∞ (2x + 1)/(x − 3) = 2 → y = 2.
Al tener horizontal, no tiene oblicua.
2Halla las asíntotas de f(x) = (x² + 1)/(x² − 4).
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Horizontal: mismo grado → cociente de coeficientes principales: y = 1.
3Halla las asíntotas verticales y horizontales de f(x) = 1/(x² − 5x + 6).
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Horizontal: el denominador tiene mayor grado → lim = 0 → y = 0 (el eje X).
4Halla a para que f(x) = (ax² + 3)/(2x² − x) tenga una asíntota horizontal en y = 3. ¿Qué asíntotas verticales tiene?
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Verticales: 2x² − x = x(2x − 1) = 0 → x = 0 y x = 1/2. El numerador 6x² + 3 no se anula en ninguno (vale 3 y 4,5), así que x = 0 y x = 1/2 son asíntotas verticales.
2. Asíntotas oblicuas
Asíntota oblicua y = mx + n, con m = lim f(x)/x (finito y ≠ 0) y n = lim (f(x) − mx). En funciones racionales aparece cuando el grado del numerador es uno más que el del denominador.
5Halla las asíntotas de f(x) = x²/(x − 1).
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Horizontal: no hay (lim = ±∞).
Oblicua: m = lim x²/(x(x − 1)) = 1; n = lim (x²/(x − 1) − x) = lim x/(x − 1) = 1 → y = x + 1.
Comprobación dividiendo: x²/(x − 1) = x + 1 + 1/(x − 1).
6Halla las asíntotas de f(x) = x³/(x² + 1).
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Horizontal: no (grado 3 sobre grado 2).
Oblicua: m = lim x³/(x³ + x) = 1; n = lim (x³/(x² + 1) − x) = lim −x/(x² + 1) = 0 → y = x.
7Estudia la posición de f(x) = x²/(x − 1) respecto de su asíntota oblicua y = x + 1.
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Si x → +∞, la diferencia es positiva: la función va por encima de la asíntota.
Si x → −∞, es negativa: va por debajo.
8Estudia la posición de f(x) = (2x + 1)/(x − 3) respecto de su asíntota horizontal y = 2.
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Para x → +∞ es positiva: por encima. Para x → −∞ es negativa: por debajo.
3. Casos especiales
9¿Tiene f(x) = (x² − 1)/(x − 1) una asíntota vertical en x = 1?
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En x = 1 hay una discontinuidad evitable (un «agujero» en la recta y = x + 1), no una asíntota.
10Halla las asíntotas de f(x) = ex y de g(x) = ln(x − 2).
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g(x) = ln(x − 2): dominio x > 2; limx→2+ = −∞ → vertical x = 2 (solo por la derecha). No tiene horizontales ni oblicuas.
11¿Tiene asíntota oblicua f(x) = x³/(x − 1)?
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Cuando x → ±∞ la función crece más deprisa que cualquier recta: es una rama parabólica. (Tiene asíntota vertical en x = 1.)
Cómo calcular las asíntotas: resumen
Los tres tipos y cómo se calculan:
- Vertical x = a: limx→a f(x) = ±∞. Se buscan en los ceros del denominador (que no anulen el numerador) y en los extremos del dominio.
- Horizontal y = b: limx→±∞ f(x) = b. En racionales: grado de arriba ≤ grado de abajo.
- Oblicua y = mx + n: m = lim f(x)/x, n = lim (f(x) − mx). En racionales: grado de arriba = grado de abajo + 1.
- Por un mismo lado (+∞ o −∞) no puede haber a la vez horizontal y oblicua.
- Posición: signo de f(x) − (asíntota) cuando x → ±∞.
Asíntotas de funciones racionales según los grados
Para f(x) = P(x)/Q(x).
Qué asíntota no vertical tiene cada caso
| Grados | Asíntota | Ejemplo |
|---|---|---|
| grado P < grado Q | horizontal y = 0 | 1/(x² + 1) |
| grado P = grado Q | horizontal y = cociente de coeficientes principales | (3x − 1)/(x + 2) → y = 3 |
| grado P = grado Q + 1 | oblicua | (x² + 2)/x → y = x |
| grado P ≥ grado Q + 2 | ninguna (rama parabólica) | x⁴/(x + 1) |
Dudas sobre las asíntotas
¿Puede la gráfica cortar a una asíntota?
A una vertical, no (la función no está definida ahí). A una horizontal u oblicua, sí, en puntos concretos: la asíntota describe lo que pasa «lejos», cuando x → ±∞. Por ejemplo, f(x) = sen x/x corta infinitas veces a su asíntota y = 0.
¿Qué es una rama parabólica?
Es lo que hace la gráfica cuando x → ±∞ y f(x) → ±∞ sin acercarse a ninguna recta, como en y = x². Se detecta porque lim f(x)/x = ±∞ (o 0 sin que el límite de f sea finito).
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