Ejercicios Resueltos de Combinatoria Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de combinatoria resueltos para 2º de Bachillerato: variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición, el número combinatorio y el binomio de Newton. En cada problema se responden primero dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se pueden repetir los elementos? Con eso se elige la fórmula.
Ejercicios de combinatoria para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Variaciones: importa el orden y no se usan todos
Vm,n = m·(m − 1)·…·(m − n + 1) = m!/(m − n)!. Con repetición: VRm,n = mn.
1¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
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V5,3 = 5·4·3 = 60.
2En una carrera de 8 corredores, ¿de cuántas formas se pueden repartir el oro, la plata y el bronce?
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3¿Cuántos códigos de 4 dígitos (del 0 al 9) se pueden formar si los dígitos se pueden repetir?
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2. Permutaciones: importa el orden y se usan todos
Pn = n!. Con elementos repetidos a, b, … veces: PR = n!/(a!·b!·…).
4¿De cuántas formas se pueden colocar 6 libros distintos en una estantería?
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5¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar con las letras de PAPAYA?
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PR62,3 = 6!/(2!·3!) = 720/12 = 60.
6Cinco amigos, entre ellos Ana y Luis, se sientan en fila. ¿De cuántas formas pueden hacerlo si Ana y Luis quieren estar juntos?
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Dentro del bloque, Ana y Luis pueden ir en 2 órdenes → 2·24 = 48.
3. Combinaciones: no importa el orden
Cm,n = (m sobre n) = m!/(n!·(m − n)!). Con repetición: CRm,n = Cm+n−1,n.
7¿Cuántas comisiones de 3 personas se pueden formar en un grupo de 10?
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C10,3 = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120.
8En la lotería primitiva se eligen 6 números del 1 al 49. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
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La probabilidad de acertar con una apuesta es 1 entre casi 14 millones.
9Una heladería tiene 3 sabores. ¿De cuántas formas se puede pedir una copa de 4 bolas (se pueden repetir sabores)?
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CR3,4 = C6,4 = 6!/(4!·2!) = 15.
10En una clase hay 5 chicos y 4 chicas. ¿Cuántos equipos de 2 chicos y 3 chicas se pueden formar?
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4. Número combinatorio y binomio de Newton
11Comprueba que (7 sobre 2) + (7 sobre 3) = (8 sobre 3).
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(8 sobre 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56 ✓.
Es la propiedad (n sobre k − 1) + (n sobre k) = (n + 1 sobre k), la que construye el triángulo de Tartaglia.
12Desarrolla (x + 2)4 con el binomio de Newton.
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x4 + 4·2x³ + 6·4x² + 4·8x + 16 = x4 + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Cómo diferenciar variaciones, permutaciones y combinaciones
Dos preguntas bastan:
- ¿Importa el orden? No → combinaciones. Sí → variaciones o permutaciones.
- Si importa el orden, ¿se usan todos los elementos? Sí → permutaciones. No → variaciones.
- ¿Se pueden repetir? Sí → la versión «con repetición» de la fórmula.
- Si el problema tiene partes independientes (chicos y chicas, primero y segundo plato), se calcula cada una y se multiplica.
Fórmulas de combinatoria
Las seis fórmulas, con un ejemplo de esta página.
Tabla de fórmulas
| Tipo | ¿Orden? | ¿Repetición? | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|---|---|
| Variaciones | sí | no | m!/(m−n)! | podio de 8: 336 |
| Variaciones con repetición | sí | sí | mⁿ | código de 4 dígitos: 10.000 |
| Permutaciones | sí (todos) | no | n! | 6 libros: 720 |
| Permutaciones con repetición | sí (todos) | elementos iguales | n!/(a!·b!·…) | PAPAYA: 60 |
| Combinaciones | no | no | m!/(n!(m−n)!) | comisión de 3 de 10: 120 |
| Combinaciones con repetición | no | sí | C(m+n−1, n) | copa de 4 bolas, 3 sabores: 15 |
Dudas sobre combinatoria
¿Cuándo usar combinaciones y cuándo permutaciones?
Las permutaciones ordenan todos los elementos (colocar 6 libros en fila). Las combinaciones eligen un grupo sin importar el orden (elegir 3 libros de 6 para llevarte de viaje). Si eliges y además ordenas, son variaciones.
¿Qué es el número combinatorio?
Es (m sobre n) = m!/(n!·(m − n)!): el número de formas de elegir n elementos de m sin orden. Cumple (m sobre n) = (m sobre m − n), por ejemplo (10 sobre 3) = (10 sobre 7) = 120, y sus valores forman el triángulo de Tartaglia.
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