Ejercicios Resueltos de Distribución Normal Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de distribución normal resueltos para 2º de Bachillerato: cómo se lee la tabla de la N(0, 1), cómo se tipifica una variable N(μ, σ), problemas de probabilidad, el valor k que deja una probabilidad dada y la aproximación de la binomial por la normal. Las probabilidades se dan con los valores de la tabla, redondeados a cuatro decimales.
Ejercicios de distribución normal para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Manejo de la tabla N(0, 1)
La tabla da P(Z ≤ z) para valores positivos de z. Los demás casos se sacan con dos ideas: la probabilidad total es 1 y la curva es simétrica respecto de 0.
1Calcula P(Z ≤ 1,25) y P(Z ≥ 1,25).
Ver solución
P(Z ≥ 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.
2Calcula P(Z ≤ −0,5).
Ver solución
3Calcula P(0,5 ≤ Z ≤ 1,5) y P(−1,25 ≤ Z ≤ 1,25).
Ver solución
P(−1,25 ≤ Z ≤ 1,25) = 2·P(Z ≤ 1,25) − 1 = 2·0,8944 − 1 = 0,7888.
Para intervalos simétricos, la fórmula 2·P(Z ≤ a) − 1 ahorra pasos.
4Halla k tal que P(Z ≤ k) = 0,90. Halla también k tal que P(−k ≤ Z ≤ k) = 0,95.
Ver solución
Intervalo simétrico: 2·P(Z ≤ k) − 1 = 0,95 → P(Z ≤ k) = 0,975 → k = 1,96. Es el valor que se usa en los intervalos de confianza al 95 %.
2. Tipificación y problemas
Si X sigue una N(μ, σ), la variable Z = (X − μ) / σ sigue una N(0, 1). Así cualquier normal se resuelve con la misma tabla.
5La estatura de los alumnos de un instituto sigue una N(170, 8) en cm. ¿Qué porcentaje mide menos de 180 cm?
Ver solución
P(X < 180) = P(Z < 1,25) = 0,8944 → el 89,44 %.
6Con la misma N(170, 8), calcula la probabilidad de que un alumno mida entre 160 y 180 cm, y la de que mida más de 186 cm.
Ver solución
Más de 186: z = (186 − 170)/8 = 2 → P(Z > 2) = 1 − 0,9772 = 0,0228 (un 2,28 %).
7Las notas de un examen siguen una N(6; 1,5). ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba (nota ≥ 5)?
Ver solución
P(X ≥ 5) = P(Z ≥ −0,67) = P(Z ≤ 0,67) = 0,7486 → aprueba alrededor del 74,9 %.
8Con las mismas notas N(6; 1,5), ¿qué nota mínima hay que sacar para estar en el 10 % de mejores notas?
Ver solución
Destipificamos: x = μ + k·σ = 6 + 1,28·1,5 = 7,92.
9El cociente intelectual sigue una N(100, 15). ¿Qué porcentaje de la población está entre 85 y 115? ¿Y entre 70 y 130?
Ver solución
70 y 130 están a dos desviaciones: P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 2·0,9772 − 1 = 0,9544 → alrededor del 95 %.
Es la regla del 68-95-99,7: a una, dos y tres desviaciones típicas de la media.
3. Aproximación de la binomial por la normal
Si X es B(n, p) con np ≥ 5 y nq ≥ 5, se aproxima por N(np, √(npq)), con la corrección de continuidad (sumar o restar 0,5).
10Se lanza una moneda 100 veces. Calcula de forma aproximada la probabilidad de obtener 60 caras o más.
Ver solución
Corrección de continuidad: P(X ≥ 60) ≈ P(X’ ≥ 59,5).
z = (59,5 − 50)/5 = 1,9 → P(Z ≥ 1,9) = 1 − 0,9713 = 0,0287.
(El valor exacto con la binomial es 0,0284: la aproximación es muy buena.)
11Un 20 % de las piezas de una fábrica son defectuosas. En un lote de 400, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que haya como mucho 70 defectuosas?
Ver solución
P(X ≤ 70) ≈ P(X’ ≤ 70,5) → z = (70,5 − 80)/8 ≈ −1,19.
P(Z ≤ −1,19) = 1 − P(Z ≤ 1,19) = 1 − 0,8830 = 0,1170.
La distribución normal: fórmulas y propiedades
Lo que hay que saber:
- La curva de la normal es una campana simétrica respecto de la media μ; el área total bajo ella es 1.
- Tipificar: Z = (X − μ)/σ. Destipificar: X = μ + Z·σ.
- P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a); P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a); P(−a ≤ Z ≤ a) = 2·P(Z ≤ a) − 1.
- Regla 68-95-99,7: a 1, 2 y 3 desviaciones típicas de la media está el 68,3 %, el 95,4 % y el 99,7 % de los datos.
- En una variable continua, P(X = a) = 0, así que ≤ y < dan lo mismo.
Valores de la tabla de la distribución normal
Los valores de P(Z ≤ z) que más se usan en los problemas.
Tabla N(0, 1) resumida
| z | P(Z ≤ z) | z | P(Z ≤ z) |
|---|---|---|---|
| 0,25 | 0,5987 | 1,28 | 0,8997 |
| 0,50 | 0,6915 | 1,50 | 0,9332 |
| 0,67 | 0,7486 | 1,645 | 0,9500 |
| 0,84 | 0,7995 | 1,96 | 0,9750 |
| 1,00 | 0,8413 | 2,00 | 0,9772 |
| 1,25 | 0,8944 | 2,33 | 0,9901 |
Dudas sobre la distribución normal
¿Cómo se interpreta la tabla de la distribución normal?
Cada casilla es el área bajo la campana a la izquierda de z, es decir, P(Z ≤ z). Las filas dan las unidades y la primera cifra decimal (1,2) y las columnas, la segunda cifra decimal (0,05): juntas, 1,25 → 0,8944.
¿Cuándo se usa la distribución normal?
Para variables continuas que se agrupan alrededor de un valor medio y se reparten de forma simétrica: estaturas, pesos, notas, errores de medida, tiempos de fabricación. También para aproximar una binomial con n grande.
Más ejercicios de Matemáticas de 2º de Bachillerato
Otros temas del curso:
Más ejercicios de Matemáticas de 2º Bachillerato en PDF
Además de los ejercicios de esta página, puedes abrir o descargar el cuaderno de Matemáticas de 2º de Bachillerato: reúne los temas del curso con su teoría y sus soluciones. Lo hemos escrito en Solucionario.es; no es el libro de ninguna editorial ni su solucionario oficial.
- Material: propio de Solucionario.es, 25 páginas
- Contenido: 46 ejercicios resueltos y la teoría de los 13 temas del curso
- Acceso: gratuito, sin registro y sin esperas