Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de la Recta en el Espacio Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de ecuaciones de la recta en el espacio resueltos para 2º de Bachillerato. Una recta queda determinada por un punto A y un vector director d, y se puede escribir de cuatro formas: vectorial, paramétricas, continua e implícitas. Los ejercicios practican cada forma, el paso de una a otra y los problemas típicos del examen.
Ejercicios de ecuaciones de la recta para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Las cuatro ecuaciones de la recta
Con A(a1, a2, a3) y d = (d1, d2, d3): vectorial (x, y, z) = A + t·d; paramétricas, coordenada a coordenada; continua, despejando t e igualando; implícitas, dos ecuaciones de planos.
1Escribe las cuatro ecuaciones de la recta que pasa por A(1, 2, −1) con vector director d = (2, 0, 3).
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Paramétricas: x = 1 + 2t; y = 2; z = −1 + 3t.
Continua: (x − 1)/2 = (y − 2)/0 = (z + 1)/3. El «/0» es solo notación: significa que y no cambia (y = 2).
Implícitas: de la continua, y − 2 = 0 y 3(x − 1) = 2(z + 1) → { y − 2 = 0 ; 3x − 2z − 5 = 0 }.
Comprobación con A: 2 − 2 = 0 ✓ y 3 + 2 − 5 = 0 ✓.
2Halla la ecuación continua de la recta que pasa por P(2, 1, 0) y Q(4, −1, 3).
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Continua por P: (x − 2)/2 = (y − 1)/(−2) = z/3.
Comprobación con Q: 2/2 = (−2)/(−2) = 3/3 = 1 ✓.
3¿Pertenecen a la recta anterior los puntos R(6, −3, 6) y S(0, 3, −2)?
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R: (6 − 2)/2 = 2; (−3 − 1)/(−2) = 2; 6/3 = 2 → sí pertenece (con t = 2).
S: (0 − 2)/2 = −1; (3 − 1)/(−2) = −1; −2/3 ≠ −1 → no pertenece.
4Halla m para que el punto (2, m, 5) esté en la recta x = 1 + t, y = 3 − 2t, z = 2 + 3t.
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Entonces m = 3 − 2·1 = 1.
2. Pasar de implícitas a paramétricas
En implícitas la recta es la intersección de dos planos. El director es el producto vectorial de sus normales, y un punto se obtiene dando un valor a una incógnita y resolviendo.
5Escribe en paramétricas la recta r: { x + y − z = 1 ; 2x − y + z = 5 }.
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Punto: sumando las dos ecuaciones, 3x = 6 → x = 2. Con z = 0: 2 + y = 1 → y = −1 → A(2, −1, 0).
Paramétricas: x = 2; y = −1 + t; z = t.
Comprobación (cualquier t): 2 + (−1 + t) − t = 1 ✓; 4 − (−1 + t) + t = 5 ✓.
6Escribe en implícitas la recta (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1, 2, −1).
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Se igualan dos parejas:
(x − 1)/1 = y/2 → 2x − 2 = y → 2x − y − 2 = 0.
(x − 1)/1 = (z − 2)/(−1) → −x + 1 = z − 2 → x + z − 3 = 0.
{ 2x − y − 2 = 0 ; x + z − 3 = 0 }. Comprobación con (1, 0, 2): 2 − 0 − 2 = 0 ✓; 1 + 2 − 3 = 0 ✓.
3. Problemas con rectas
7Halla la recta que pasa por (0, 0, 1) y es paralela a r: (x − 1)/3 = y/(−1) = (z + 2)/2.
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Recta pedida: x/3 = y/(−1) = (z − 1)/2.
8Halla la recta que pasa por P(1, 0, −1) y es perpendicular al plano 2x − y + 4z = 7.
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(x, y, z) = (1, 0, −1) + t(2, −1, 4).
9Halla los puntos en que la recta (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 1, −3) corta a los planos coordenados.
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Con el plano x = 0: 1 + t = 0 → t = −1 → (0, 1, 6).
Con el plano y = 0: 2 + t = 0 → t = −2 → (−1, 0, 9).
10¿Están alineados los puntos A(1, 1, 1), B(2, 3, 0) y C(4, 7, −2)?
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Sí, están alineados: los tres están en la recta (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 2, −1).
Las ecuaciones de la recta: resumen
Las cuatro formas, de la que más información da a la más compacta:
- Vectorial: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t(d1, d2, d3).
- Paramétricas: x = a1 + td1; y = a2 + td2; z = a3 + td3.
- Continua: (x − a1)/d1 = (y − a2)/d2 = (z − a3)/d3.
- Implícitas (o generales): dos ecuaciones de planos que se cortan en la recta.
- En el espacio no existe la forma explícita y = mx + n: esa es solo para rectas del plano.
De una forma a otra
Cómo se pasa entre las ecuaciones de la recta.
Cambios de forma de la ecuación de la recta
| De… | a… | Cómo |
|---|---|---|
| vectorial | paramétricas | igualando coordenada a coordenada |
| paramétricas | continua | despejando t en cada una e igualando |
| continua | implícitas | igualando dos parejas de fracciones |
| implícitas | paramétricas | director = n₁ × n₂; punto dando un valor y resolviendo |
| dos puntos | cualquiera | director = vector que los une |
Dudas sobre las ecuaciones de la recta
¿Cuáles son las 4 ecuaciones de la recta en el espacio?
Vectorial, paramétricas, continua e implícitas (también llamadas generales o cartesianas). En el plano hay además la explícita, la punto-pendiente y la general Ax + By + C = 0, que en el espacio no definen una recta.
¿Qué hago si un componente del vector director es 0?
En la continua aparece una división por cero, que se escribe solo como notación: significa que esa coordenada es constante. Con d = (2, 0, 3) y A(1, 2, −1), la recta cumple siempre y = 2.
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