Ejercicios Resueltos de Geometría Métrica Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de geometría métrica del espacio resueltos para 2º de Bachillerato: producto escalar, vectorial y mixto y sus aplicaciones, ángulos, distancias, áreas, volúmenes y el punto simétrico. Cada solución indica la fórmula, el cálculo y una comprobación.
Ejercicios de geometría de 2º de Bachillerato con soluciones
1. Producto escalar
u·v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = |u|·|v|·cos α. Sirve para hallar ángulos y comprobar perpendicularidad.
1Dados u = (2, −1, 3) y v = (1, 4, 2), calcula u·v y el ángulo que forman.
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|u| = √(4 + 1 + 9) = √14; |v| = √(1 + 16 + 4) = √21.
cos α = 4 / (√14·√21) = 4/√294 ≈ 0,2333 → α ≈ 76,5°.
2Halla k para que u = (k, 2, −1) y v = (3, k, 4) sean perpendiculares.
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2. Producto vectorial y producto mixto
u × v es un vector perpendicular a los dos, y su módulo es el área del paralelogramo que forman. El producto mixto [u, v, w] = u·(v × w) es el determinante de los tres, y su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo.
3Calcula u × v para u = (2, −1, 3) y v = (1, 4, 2), y comprueba que es perpendicular a los dos.
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Comprobación: (−14, −1, 9)·(2, −1, 3) = −28 + 1 + 27 = 0 ✓; (−14, −1, 9)·(1, 4, 2) = −14 − 4 + 18 = 0 ✓.
4Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3).
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AB × AC = (2·3 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·3, (−1)·0 − 2·(−1)) = (6, 3, 2); módulo √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
Área = |AB × AC| / 2 = 7/2 = 3,5 u².
5Calcula el volumen del paralelepípedo y del tetraedro determinados por u = (1, 0, 0), v = (1, 2, 0) y w = (0, 1, 3).
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Volumen del paralelepípedo = |6| = 6 u³. Volumen del tetraedro = 6/6 = 1 u³.
6¿Son coplanarios los vectores (1, 2, 3), (2, 1, 0) y (3, 3, 3)?
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Sí, son coplanarios: de hecho, (3, 3, 3) = (1, 2, 3) + (2, 1, 0).
3. Ángulos y distancias
7Calcula el ángulo entre la recta de vector director d = (1, 0, 1) y el plano de vector normal n = (0, 1, 1).
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(Con el coseno saldría 60°, que es el ángulo entre d y la normal, no con el plano.)
8Calcula el ángulo entre los planos x + y = 0 y x + z = 2.
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9Calcula la distancia del punto P(1, 2, −1) al plano 2x − y + 2z + 6 = 0.
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d = 4/3 u.
10Calcula la distancia entre los planos paralelos x + 2y − 2z = 1 y x + 2y − 2z = 7.
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11Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta que pasa por el origen con dirección d = (1, 0, 0).
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AP × d = (1·0 − 1·0, 1·1 − 1·0, 1·0 − 1·1) = (0, 1, −1), de módulo √2.
d = √2 u.
12Calcula la distancia entre las rectas que se cruzan r: (2, 0, 0) + t(1, 0, 0) y s: (0, 2, 3) + u(0, 1, 0).
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[PQ, u, v] = |−2 2 3 ; 1 0 0 ; 0 1 0| = 3; u × v = (0, 0, 1), módulo 1.
d = 3 u.
13Halla el punto simétrico de P(3, 1, 2) respecto del plano x − y + z = 1.
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2. Corte con el plano: (3 + t) − (1 − t) + (2 + t) = 1 → 4 + 3t = 1 → t = −1 → M = (2, 2, 1), punto medio.
3. P’ = 2M − P = (4 − 3, 4 − 1, 2 − 2) = (1, 3, 0).
Comprobación: P y P’ están a la misma distancia del plano (|3 − 1 + 2 − 1| = |1 − 3 + 0 − 1| = 3).
Fórmulas de geometría métrica
Las que más salen en el examen:
- Ángulo entre vectores o rectas: cos α = |u·v| / (|u|·|v|).
- Ángulo recta-plano: sen α = |d·n| / (|d|·|n|).
- Área: paralelogramo |u × v|; triángulo, la mitad.
- Volumen: paralelepípedo |[u, v, w]|; tetraedro, la sexta parte.
- Distancias: punto-plano |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / |n|; punto-recta |AP × d| / |d|; rectas que se cruzan |[PQ, u, v]| / |u × v|.
Los tres productos de vectores
Qué da cada uno y para qué sirve.
Producto escalar, vectorial y mixto
| Producto | Resultado | Sirve para | Vale 0 si… |
|---|---|---|---|
| Escalar u·v | un número | ángulos, perpendicularidad, proyecciones | los vectores son perpendiculares |
| Vectorial u × v | un vector perpendicular a u y v | normal de un plano, áreas, distancia punto-recta | los vectores son paralelos |
| Mixto [u, v, w] | un número (determinante) | volúmenes, coplanariedad, distancia entre rectas | los vectores son coplanarios |
Dudas sobre geometría métrica
¿Cuándo el producto vectorial es nulo?
Cuando los dos vectores son paralelos (proporcionales) o alguno es el vector cero. Por eso, si al calcular el normal de un plano con dos vectores sale (0, 0, 0), esos vectores no sirven: están en la misma dirección.
¿Por qué el volumen del tetraedro es la sexta parte?
Un paralelepípedo se puede dividir en seis tetraedros de igual volumen construidos sobre los mismos tres vectores. Por eso Vtetraedro = |[u, v, w]| / 6.
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