Ejercicios Resueltos Matemáticas 2 de Bachillerato 2026 / 2027

Cada casilla del producto sale de una fila del primer factor y una columna del segundo: se emparejan término a término y se suma.

A·B: la casilla de arriba a la izquierda es 2 · 1 + (−1) · (−2) = 4; la de arriba a la derecha, 2 · 4 + (−1) · 5 = 3; la de abajo a la izquierda, 3 · 1 + 0 · (−2) = 3; y la de abajo a la derecha, 3 · 4 + 0 · 5 = 12. Queda A·B = (4 3; 3 12).

B·A: 1 · 2 + 4 · 3 = 14; 1 · (−1) + 4 · 0 = −1; (−2) · 2 + 5 · 3 = 11; (−2) · (−1) + 5 · 0 = 2. Queda B·A = (14 −1; 11 2).

Los dos resultados son matrices 2×2 y no coinciden en ninguna de las cuatro casillas. ▲ De ahí sale lo que hay que llevarse: el orden de los factores cambia el producto de matrices, así que A·B y B·A son cuentas distintas y hay que hacer la que pida el enunciado.

Para corregirte, suma los elementos de la diagonal de cada resultado: 4 + 12 = 16 y 14 + 2 = 16. Esa suma sí coincide en los dos órdenes, y si te sale distinta hay un error en alguna casilla. Cuidado: que coincida no garantiza que todo esté bien, porque las casillas de fuera de la diagonal no entran en esa suma y dos errores dentro de ella pueden compensarse; sirve para descartar, no para confirmar.

M² = M·M. La primera fila del producto es (1 · 1 + 1 · 0, 1 · 1 + 1 · 1) = (1, 2), y la segunda, (0, 1). Es decir M² = (1 2; 0 1).

M³ = M²·M. La primera fila sale (1 · 1 + 2 · 0, 1 · 1 + 2 · 1) = (1, 3) y la segunda se queda igual: M³ = (1 3; 0 1).

El patrón se ve en la única casilla que se mueve: en M hay un 1, en M² un 2 y en M³ un 3. La conjetura es Mⁿ = (1 n; 0 1).

Y se demuestra en un renglón, no se deja en conjetura: si Mⁿ = (1 n; 0 1), entonces Mⁿ·M tiene en esa casilla n · 1 + 1 · 1 = n + 1, que es exactamente lo que la fórmula predice para el exponente siguiente. Como vale para n = 1, vale para todos.

Por tanto M⁵⁰ = (1 50; 0 1). ▲ Una conjetura sacada de tres casos no es una demostración: aquí se ha comprobado que el paso de n a n + 1 funciona, y eso es lo que la convierte en fórmula.

(a) Para una matriz 2×2 hay fórmula: se cambian de sitio los dos elementos de la diagonal principal, se cambia el signo a los otros dos y se divide todo entre el determinante.

El determinante de A es 2 · 3 − 1 · 5 = 1. Como no es cero, A tiene inversa, y al dividir entre 1 no cambia nada: A⁻¹ = (3 −1; −5 2).

Para asegurarlo, multiplica: A·A⁻¹ tiene arriba a la izquierda 2 · 3 + 1 · (−5) = 1 y arriba a la derecha 2 · (−1) + 1 · 2 = 0; abajo salen 5 · 3 + 3 · (−5) = 0 y 5 · (−1) + 3 · 2 = 1. Sale la matriz unidad, que es lo que tenía que salir.

(b) En A·X = C la incógnita está multiplicada por la izquierda, así que se multiplican los dos lados por A⁻¹ también por la izquierda: A⁻¹·A·X = A⁻¹·C, y como A⁻¹·A es la unidad, queda X = A⁻¹·C.

X = (3 −1; −5 2)·(1 0; 2 1). Primera fila: 3 · 1 + (−1) · 2 = 1 y 3 · 0 + (−1) · 1 = −1. Segunda: (−5) · 1 + 2 · 2 = −1 y (−5) · 0 + 2 · 1 = 2. Queda X = (1 −1; −1 2).

Para corregirte, deshaz el despeje: A·X tiene que devolver C. Primera fila: 2 · 1 + 1 · (−1) = 1 y 2 · (−1) + 1 · 2 = 0; segunda: 5 · 1 + 3 · (−1) = 2 y 5 · (−1) + 3 · 2 = 1. Sale (1 0; 2 1), que es C.

Desarrollar por una fila es multiplicar cada elemento por el determinante que queda al tapar su fila y su columna, alternando los signos + − +.

El primer sumando es 1 · (1 · 0 − 4 · 6) = 1 · (−24) = −24. El segundo lleva signo menos: −2 · (0 · 0 − 4 · 5) = −2 · (−20) = 40. El tercero, +3 · (0 · 6 − 1 · 5) = 3 · (−5) = −15.

Sumando: −24 + 40 − 15 = 1.

La comprobación se hace por un camino distinto, no repitiendo el mismo. Por la regla de los productos cruzados de orden tres, los tres términos con signo más son 1 · 1 · 0 = 0, 2 · 4 · 5 = 40 y 3 · 0 · 6 = 0; los tres con signo menos son 3 · 1 · 5 = 15, 1 · 4 · 6 = 24 y 2 · 0 · 0 = 0. Queda (0 + 40 + 0) − (15 + 24 + 0) = 1.

▲ Si los dos caminos te dan lo mismo, el resultado es fiable; si te dan distinto, el primer sitio donde mirar es el segundo sumando del desarrollo, que es el que lleva el signo cambiado, porque un signo invertido ahí desplaza el total sin romper nada más.

(a) Multiplicar toda la matriz por 2 es multiplicar por 2 cada una de las tres filas, y cada fila multiplicada por un número multiplica el determinante por ese número. Son tres veces: 2 · 2 · 2 · 5 = 40.

(b) El determinante de un producto es el producto de los determinantes, así que el de A² es 5 · 5 = 25.

(c) A·A⁻¹ es la matriz unidad, cuyo determinante vale 1. Tomando determinantes en esa igualdad, 5 · (determinante de A⁻¹) = 1, así que vale 1/5.

(d) Trasponer es cambiar las filas por las columnas. Como el determinante se puede desarrollar igual por una fila que por una columna, desarrollar la traspuesta por su primera fila es exactamente desarrollar A por su primera columna: el resultado es el mismo número. Vale 5.

▲ La trampa está en (a): el 2 no sale fuera una vez, sale una vez por cada fila. En orden 3 son 2³ = 8, y por eso 8 · 5 = 40 y no 10. Si trabajas con una matriz de otro orden, el exponente cambia con él.

El rango es el orden del mayor determinante no nulo que se pueda sacar de la matriz, así que se empieza por el más grande: el de orden 3.

Desarrollando por la primera fila: 1 · (2k − 12) − 1 · (k − 3) + 1 · (4 − 2) = 2k − 12 − k + 3 + 2 = k − 7.

Ese determinante se anula solo cuando k = 7. Por tanto, si k es distinto de 7 el determinante no es cero y el rango es 3.

Si k = 7, el determinante de orden 3 vale cero y hay que bajar a orden 2. Tomando las dos primeras filas y las dos primeras columnas queda 1 · 2 − 1 · 1 = 1, que no es cero, así que el rango es 2.

Para corregirte, sustituye k = 7 en N y mira las filas: la tercera es (1 4 7), y resulta ser la primera más tres veces la diferencia entre la segunda y la primera. Una fila que se obtiene de las otras dos es justo lo que significa que el rango baje a 2.

La idea es ir quitando incógnitas restando ecuaciones, hasta quedarse con una sola.

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece la x: (x − y + 2z) − (x + y + z) = 5 − 6, o sea −2y + z = −1.

Restando el doble de la primera de la tercera vuelve a desaparecer la x: (2x + y − z) − 2(x + y + z) = 1 − 12, o sea −y − 3z = −11, que se escribe mejor como y + 3z = 11.

De la primera de esas dos, z = 2y − 1. Sustituyendo en la segunda: y + 3(2y − 1) = 11, es decir 7y = 14 y por tanto y = 2. Entonces z = 2 · 2 − 1 = 3 y, de la ecuación de partida, x = 6 − 2 − 3 = 1.

Para corregirte, sustituye (1, 2, 3) en las tres ecuaciones originales, no solo en la que usaste al final: 1 + 2 + 3 = 6; 1 − 2 + 6 = 5; 2 + 2 − 3 = 1. Las tres cuadran.

Primero el determinante de los coeficientes, que es el que autoriza el método: 1 · (1 − 1) − 2 · (−2 − 1) + 1 · (2 + 1) = 0 + 6 + 3 = 9. Como no es cero, el sistema tiene solución única y se puede seguir.

Para la x se cambia la primera columna por los términos independientes: el determinante de (1 2 1; 2 −1 1; 0 1 −1) es 1 · (1 − 1) − 2 · (−2 − 0) + 1 · (2 − 0) = 0 + 4 + 2 = 6, y x = 6/9 = 2/3.

Para la y se cambia la segunda columna: el determinante de (1 1 1; 2 2 1; 1 0 −1) es 1 · (−2 − 0) − 1 · (−2 − 1) + 1 · (0 − 2) = −2 + 3 − 2 = −1, y y = −1/9.

Para la z se cambia la tercera: el determinante de (1 2 1; 2 −1 2; 1 1 0) es 1 · (0 − 2) − 2 · (0 − 2) + 1 · (2 + 1) = −2 + 4 + 3 = 5, y z = 5/9.

Para corregirte, sustituye en la tercera ecuación, que es la que no has usado para nada salvo como fila: 2/3 − 1/9 − 5/9 = 6/9 − 1/9 − 5/9 = 0. Cuadra. ▲ Cumplir una sola de las tres ecuaciones no basta para dar la terna por buena: hay ternas equivocadas que cumplen una. Para estar seguro hay que sustituir en las tres.

El determinante de los coeficientes es a · (a² − 1) − 1 · (a − 1) + 1 · (1 − a) = a³ − a − a + 1 + 1 − a = a³ − 3a + 2, que se factoriza como (a − 1)²(a + 2).

Si a es distinto de 1 y de −2, ese determinante no es cero: el sistema tiene solución única.

Si a = 1, las tres ecuaciones se convierten en x + y + z = 1, x + y + z = 1 y x + y + z = 1: son la misma. Queda una sola condición para tres incógnitas, así que hay infinitas soluciones, con dos de ellas libres.

Si a = −2, las ecuaciones son −2x + y + z = 1, x − 2y + z = −2 y x + y − 2z = 4. Sumándolas las tres, la izquierda se anula entera y la derecha da 1 − 2 + 4 = 3. Quedaría, por tanto, que cero vale tres, y eso es imposible: no tiene solución.

⛔ Fíjate en lo que acaba de pasar, porque es donde se tuerce el tema: el determinante vale cero en los dos casos, y sin embargo uno tiene infinitas soluciones y el otro ninguna. Que el determinante se anule no significa que el sistema no tenga solución; significa solo que la solución no es única, y hay que mirar cuál de los dos casos es.

Los tres términos independientes son cero, así que x = 0, y = 0, z = 0 cumple las tres ecuaciones de entrada. Un sistema así no puede quedarse sin solución; lo que hay que averiguar es si tiene alguna más.

El determinante de los coeficientes es 1 · (−2 − 3) − 2 · (4 − 9) + (−1) · (2 + 3) = −5 + 10 − 5 = 0. Como se anula, la solución no es única y hay más.

Para encontrarlas, de la primera ecuación x = z − 2y. Sustituyendo en la segunda: 2(z − 2y) − y + 3z = 0, es decir 5z − 5y = 0, o sea z = y. Y entonces x = y − 2y = −y.

Las soluciones son, por tanto, todas las de la forma (−t, t, t) con t cualquier número: infinitas, todas proporcionales entre sí. Con t = 0 se recupera la solución de ceros.

Para corregirte, sustituye la de t = 1, que es (−1, 1, 1), en la tercera ecuación, que es la que no has usado: 3 · (−1) + 1 + 2 · 1 = 0. Cuadra.

El producto escalar se hace multiplicando coordenada con coordenada y sumando: 1 · 3 + 2 · (−1) + (−1) · 1 = 3 − 2 − 1 = 0.

Para el ángulo se divide ese 0 entre los dos módulos multiplicados. Como el numerador es cero y ninguno de los módulos lo es, el coseno vale 0 y el ángulo es 90°: los dos vectores son perpendiculares.

Cada módulo sale elevando al cuadrado las tres coordenadas, sumando y sacando la raíz. Para u: 1 + 4 + 1 = 6, así que el módulo es √6. Para v: 9 + 1 + 1 = 11, así que es √11.

⛔ Y conviene fijarse en lo que este ejercicio descarta: el producto escalar ha salido cero con los dos vectores distintos del vector cero, porque sus módulos valen √6 y √11. Con números corrientes, un producto nulo obliga a que un factor sea cero; con el producto escalar, no: lo que dice es que forman ángulo recto.

Para corregirte, cambia el orden y vuelve a multiplicar: 3 · 1 + (−1) · 2 + 1 · (−1) = 0. El producto escalar no depende del orden, así que si te sale distinto es que has emparejado mal alguna coordenada.

Los dos vectores salen restando coordenadas del punto de llegada menos el de partida: AB = (2 − 1, 3 − 0, 1 − 2) = (1, 3, −1) y AC = (0 − 1, 1 − 0, 4 − 2) = (−1, 1, 2).

El producto vectorial de los dos da directamente un vector perpendicular a ambos. Su primera coordenada es 3 · 2 − (−1) · 1 = 7; la segunda lleva signo cambiado, −(1 · 2 − (−1) · (−1)) = −(2 − 1) = −1; y la tercera es 1 · 1 − 3 · (−1) = 4. Queda (7, −1, 4).

El módulo de ese vector es la raíz de 49 + 1 + 16 = 66, es decir √66, y mide el área del paralelogramo que forman AB y AC. El triángulo es la mitad: √66 / 2 unidades de superficie, que está entre 4,06 y 4,07.

Para corregirte, multiplica escalarmente el resultado por cada uno de los dos vectores de partida: con AB da 1 · 7 + 3 · (−1) + (−1) · 4 = 0, y con AC da (−1) · 7 + 1 · (−1) + 2 · 4 = 0. Los dos ceros confirman que es perpendicular a los dos.

▲ El producto vectorial sí depende del orden: hacerlo al revés devuelve (−7, 1, −4), el mismo vector con el sentido cambiado. Para el área da igual, porque el módulo es el mismo, pero para dar un vector concreto no da igual.

El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del determinante que forman las tres coordenadas por filas.

Desarrollando por la primera fila: 1 · (1 · 1 − (−1) · 0) − 2 · (0 · 1 − (−1) · 2) + 3 · (0 · 0 − 1 · 2) = 1 − 2 · 2 + 3 · (−2) = 1 − 4 − 6 = −9.

El volumen es el valor absoluto: 9 unidades cúbicas. ▲ El signo menos no es un error ni significa nada raro: indica la orientación de los tres vectores, y un volumen no puede ser negativo, así que se toma el valor absoluto sin más.

El tetraedro con esas tres aristas desde un vértice ocupa la sexta parte del paralelepípedo, así que su volumen es 9 / 6 = 3/2 unidades cúbicas.

Para corregirte, vuelve a calcular el determinante desarrollando por la segunda fila, que tiene un cero y sale más corto: −0 · (2 · 1 − 3 · 0) + 1 · (1 · 1 − 3 · 2) − (−1) · (1 · 0 − 2 · 2) = 0 + (1 − 6) + (0 − 4) = −9. Mismo número por otro camino.

Para escribir una recta hacen falta un punto suyo y una dirección. El punto puede ser A, y la dirección, el vector que va de A a B: (3 − 1, 5 − 2, 1 − 3) = (2, 3, −2).

En forma paramétrica, cada coordenada es la del punto más el parámetro por la coordenada correspondiente de la dirección: x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 − 2t.

Despejando t en las tres y igualando se llega a la forma continua: (x − 1)/2 = (y − 2)/3 = (z − 3)/(−2).

Para P(5, 8, −1) se busca un valor de t que sirva para las tres a la vez. De la primera, 5 = 1 + 2t da t = 2; con ese valor la segunda da 2 + 6 = 8 y la tercera 3 − 4 = −1. P sí está en la recta.

Para Q(0, 0, 0), la primera da 0 = 1 + 2t, es decir t = −1/2, y con ese valor la segunda daría 2 − 3/2 = 1/2, que no es 0. Q no está.

▲ El valor del parámetro tiene que ser el mismo en las tres coordenadas: comprobar solo una no demuestra nada, porque cualquier punto del espacio encaja en una de ellas si se elige t a conveniencia.

Un plano queda determinado por un punto suyo y un vector perpendicular a él. El punto puede ser P; el vector perpendicular sale del producto vectorial de dos direcciones del plano.

Esas dos direcciones son PQ = (0 − 1, 2 − 0, 0 − 0) = (−1, 2, 0) y PR = (0 − 1, 0 − 0, 3 − 0) = (−1, 0, 3).

Su producto vectorial tiene primera coordenada 2 · 3 − 0 · 0 = 6; segunda, con el signo cambiado, −((−1) · 3 − 0 · (−1)) = 3; y tercera, (−1) · 0 − 2 · (−1) = 2. El vector perpendicular es (6, 3, 2).

La ecuación se monta con ese vector como coeficientes y obligando a que pase por P: 6(x − 1) + 3(y − 0) + 2(z − 0) = 0, es decir 6x + 3y + 2z = 6.

Para corregirte, sustituye los otros dos puntos, que no has usado en el último paso: con Q sale 0 + 6 + 0 = 6 y con R sale 0 + 0 + 6 = 6. Los dos cumplen la ecuación.

Lo primero es mirar las direcciones. (1, 2, −1) y (2, 1, 0) no son proporcionales: pasar de 1 a 2 en la primera coordenada exigiría multiplicar por 2, y entonces la segunda tendría que ser 4 y no 1. Como las direcciones son distintas, las rectas no son paralelas y solo quedan dos posibilidades: cortarse o cruzarse.

Para separarlas se mira si los tres vectores —las dos direcciones y el que une un punto de cada recta— caben en un mismo plano. Ese vector de unión es (0 − 1, 1 − 0, 2 − 1) = (−1, 1, 1).

El determinante de los tres, por filas, es 1 · (1 · 1 − 0 · 1) − 2 · (2 · 1 − 0 · (−1)) + (−1) · (2 · 1 − 1 · (−1)) = 1 − 4 − 3 = −6.

Como no es cero, los tres vectores no caben en un plano: las rectas se cruzan, es decir, no se cortan y tampoco son paralelas.

Para corregirte por otro camino, intenta cortarlas a la fuerza: igualando las primeras coordenadas, 1 + t = 2u; igualando las segundas, 2t = 1 + u. De la segunda, u = 2t − 1, y llevándolo a la primera, 1 + t = 4t − 2, de donde t = 1 y u = 1. Con esos valores la tercera coordenada daría 1 − 1 = 0 por un lado y 2 por otro: no hay punto común, como se había deducido.

Antes de calcular conviene saber si se cortan. El vector perpendicular al plano es (2, −1, 1) y la dirección de la recta es (1, 2, −1); su producto escalar vale 2 − 2 − 1 = −1.

Como ese producto no es cero, la dirección de la recta no es paralela al plano, así que la recta lo atraviesa en un punto y solo en uno.

Para encontrarlo se sustituyen las coordenadas de la recta en la ecuación del plano: 2(1 + t) − 2t + (1 − t) = 5.

Desarrollando: 2 + 2t − 2t + 1 − t = 3 − t, y la ecuación queda 3 − t = 5, de donde t = −2.

Llevando t = −2 a la recta: x = 1 − 2 = −1, y = 0 − 4 = −4, z = 1 + 2 = 3. El punto de corte es (−1, −4, 3).

Para corregirte, comprueba las dos condiciones a la vez: el punto cumple la ecuación del plano, porque 2 · (−1) − (−4) + 3 = 5; y está en la recta, porque con t = −2 salen sus tres coordenadas.

La distancia sale de sustituir el punto en la ecuación del plano, tomar el valor absoluto y dividir entre el módulo del vector perpendicular.

Sustituyendo: 2 · 2 − 2 · 1 + (−1) + 3 = 4 − 2 − 1 + 3 = 4.

El vector perpendicular es (2, −2, 1) y su módulo es la raíz de 4 + 4 + 1 = 9, o sea 3.

La distancia es 4 / 3, es decir 4/3 unidades, que está entre 1,33 y 1,34.

Para corregirte, rehaz por separado la sustitución del punto, que es donde se cuela el error de signo: 2 · 2 − 2 · 1 + (−1) + 3 tiene que volver a dar 4. ▲ Repasar solo el módulo del vector perpendicular no vigila esa parte: 4 + 4 + 1 = 9 sale de la ecuación del plano y no cambia aunque el punto esté mal sustituido.

El ángulo entre dos planos es el que forman sus vectores perpendiculares, tomando el valor absoluto del coseno para quedarse con el menor de los dos.

Los vectores perpendiculares se leen en los coeficientes: para π es (1, 1, 0) y para σ es (0, 1, 1). Ojo con la coordenada que falta: en π no aparece la z porque su coeficiente es 0.

El producto escalar vale 1 · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = 1, y cada módulo es la raíz de 1 + 1 + 0 = 2, es decir √2.

El coseno es 1 / (√2 · √2) = 1/2, y el ángulo cuyo coseno vale 1/2 es 60°.

Para corregirte, comprueba el módulo por su cuadrado: √2 por √2 tiene que dar exactamente 2, y 1/2 es un coseno conocido. Y rehaz el producto escalar con los dos vectores cambiados de orden: 0 · 1 + 1 · 1 + 1 · 0 tiene que volver a dar 1, porque no depende del orden.

Primer camino, con el producto vectorial. Se toma el punto A(0, 0, 0) de la recta y el vector AP = (1, 1, 1).

El producto vectorial de AP por la dirección (1, 1, 0) tiene primera coordenada 1 · 0 − 1 · 1 = −1; segunda, con signo cambiado, −(1 · 0 − 1 · 1) = 1; y tercera, 1 · 1 − 1 · 1 = 0. Queda (−1, 1, 0), de módulo √2.

La distancia es ese módulo dividido entre el de la dirección, que también es √2: √2 / √2 = 1.

Segundo camino, buscando el pie de la perpendicular. El punto genérico de la recta es (t, t, 0), y el vector que lo une con P es (1 − t, 1 − t, 1). Para que sea perpendicular a la dirección, su producto escalar con (1, 1, 0) tiene que anularse: (1 − t) + (1 − t) = 0, de donde t = 1.

El pie es, por tanto, (1, 1, 0), y el vector que va de ahí a P es (0, 0, 1), cuyo módulo vale 1. Los dos caminos coinciden, y esa coincidencia es la comprobación: uno usa un producto vectorial y el otro una condición de perpendicularidad, así que un error de cuenta difícilmente daría el mismo número en los dos.

Al sustituir x = 2 el numerador da 8 − 8 = 0 y el denominador 4 − 4 = 0. No se puede dividir, pero tampoco se puede concluir nada: hay que transformar la expresión.

Que los dos se anulen en x = 2 significa que los dos tienen el factor (x − 2). Sacándolo: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) y x² − 4 = (x − 2)(x + 2).

El factor (x − 2) aparece arriba y abajo, y para valores de x distintos de 2 no es cero, así que se puede simplificar. Queda (x² + 2x + 4) / (x + 2).

Ahora sí se sustituye: (4 + 4 + 4) / (2 + 2) = 12 / 4 = 3.

Para corregirte, deshaz la factorización multiplicando: (x − 2)(x² + 2x + 4) da x³ + 2x² + 4x − 2x² − 4x − 8, y todo se cancela salvo x³ − 8. Y como segunda prueba, evalúa la expresión de partida en 2,01: sale un valor entre 3,007 y 3,008, que ya está pegado a 3.

Los dos sumandos crecen sin tope, así que aquí se están restando dos cantidades enormes. Eso no permite concluir: puede salir cualquier cosa.

Se recurre a la expresión conjugada, √(x² + 3x) + x, multiplicando y dividiendo por ella, para que en el numerador quede una diferencia de cuadrados.

Arriba: (x² + 3x) − x² = 3x. Abajo: √(x² + 3x) + x. La expresión es ahora 3x / (√(x² + 3x) + x).

Dividiendo arriba y abajo entre x, que es positivo y grande, queda 3 / (√(1 + 3/x) + 1). Cuando x crece, 3/x se acerca a 0, así que el denominador se acerca a 1 + 1 = 2 y el límite vale 3/2.

⛔ Conviene retener el resultado por lo que descarta: restar dos cantidades que se hacen infinitamente grandes no da 0 por el hecho de ser una resta. Aquí ha dado 1,5, y cambiando el 3x por otro número daría otra cosa. Para corregirte, evalúa en x = 1.000: √1.003.000 − 1.000 está entre 1,498 y 1,499, que ya ronda 1,5.

Para que no haya un salto en x = 1, las dos ramas tienen que llegar al mismo valor. Por la izquierda, la primera rama da 1 + a; por la derecha, la segunda da 3 − 1 = 2.

Igualando: 1 + a = 2, de donde a = 1. Con ese valor f(1) = 1 + 1 = 2, que coincide con lo que dan las dos ramas, así que la función es continua ahí.

Para la derivada se hace lo mismo con las pendientes. La derivada de x² + 1 es 2x, que en x = 1 vale 2; la derivada de 3x − 1 es 3, que vale 3 en todas partes.

Las dos pendientes son distintas, así que la función no es derivable en x = 1: llega sin salto pero con un quiebro, como dos tramos rectos pegados formando esquina.

⛔ Este ejercicio desmonta de paso una implicación que parece razonable y es falsa: ser continua no obliga a ser derivable. Aquí la función es continua en x = 1 con a = 1 y aun así no tiene derivada ahí. Lo contrario sí es cierto: donde hay derivada, hay continuidad.

(a) El denominador x² + 1 vale al menos 1 para cualquier x, así que no llega a anularse y no hay asíntotas verticales. Arriba y abajo tienen el mismo grado, así que al crecer x mandan los términos de mayor grado y el cociente se acerca a 2/1: asíntota horizontal y = 2.

Y ahora lo interesante: ¿la corta? Se resuelve (2x² − 3x)/(x² + 1) = 2, es decir 2x² − 3x = 2x² + 2, que se reduce a −3x = 2 y da x = −2/3. Sustituyendo, f(−2/3) = 2 exactamente. La función sí corta su asíntota horizontal, en el punto (−2/3, 2).

(b) El denominador se anula en x = 2, y ahí el numerador vale 5, que no es cero: hay asíntota vertical x = 2. Arriba el grado es uno más que abajo, así que no hay horizontal sino oblicua.

Dividiendo, (x² + 1) / (x − 2) = x + 2 + 5/(x − 2). Al crecer x el último sumando se hace pequeño, así que la asíntota oblicua es y = x + 2. Esta no se corta: haría falta que 5/(x − 2) valiera 0, y una fracción con numerador 5 no vale 0.

▲ Una asíntota dice cómo se comporta la función lejos, no que la función tenga prohibido tocarla: el apartado (a) la corta y el (b) no. La comprobación de (b) es deshacer la división: (x + 2)(x − 2) + 5 = x² − 4 + 5 = x² + 1.

(a) Con un cociente, la derivada es «derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo entre abajo al cuadrado».

Arriba deriva 6x y abajo deriva 1, así que f'(x) = [6x(x + 2) − (3x² − 1) · 1] / (x + 2)². Desarrollando el numerador: 6x² + 12x − 3x² + 1 = 3x² + 12x + 1, así que f'(x) = (3x² + 12x + 1) / (x + 2)².

En x = 1: arriba 3 + 12 + 1 = 16 y abajo 3² = 9. Queda f'(1) = 16/9.

(b) Aquí hay una potencia de algo que a su vez depende de x, así que se deriva la potencia y se multiplica por la derivada de lo de dentro: g'(x) = 5(x² + 1)⁴ · 2x = 10x(x² + 1)⁴.

En x = 1: 10 · 1 · 2⁴ = 10 · 16 = 160.

▲ Olvidar el «por la derivada de lo de dentro» en (b) daría 5 · 16 = 80, justo la mitad. Cuando el resultado te salga un múltiplo redondo del que esperabas, sospecha de ese factor.

Comprobación primero: 3² + 2² − 3 · 2 = 9 + 4 − 6 = 7. El punto cumple la igualdad.

Ahora se deriva la igualdad entera respecto de x, tratando y como una función de x. El término x² da 2x; el término y² da 2y · y’; y el producto xy da y + x · y’.

Queda 2x + 2y · y’ − y − x · y’ = 0. Agrupando los términos con y’: y'(2y − x) = y − 2x, de donde y’ = (y − 2x) / (2y − x).

En el punto (3, 2): arriba 2 − 6 = −4 y abajo 4 − 3 = 1. La pendiente vale −4.

La recta tangente pasa por (3, 2) con esa pendiente: y − 2 = −4(x − 3), es decir y = −4x + 14.

Para corregirte, comprueba que la recta pasa por el punto sustituyendo: −4 · 3 + 14 = 2. Y comprueba el denominador antes de dividir: si 2y − x hubiera salido 0, la tangente sería vertical y no tendría pendiente.

Ser derivable exige dos cosas a la vez, y en este orden: que no haya salto y que no haya quiebro. Las dos dan una ecuación.

Sin salto: por la izquierda f llega a 1² = 1 y por la derecha a a + b. Primera ecuación: a + b = 1.

Sin quiebro: la derivada por la izquierda es 2x, que en x = 1 vale 2; por la derecha es a. Segunda ecuación: a = 2.

Sustituyendo en la primera, 2 + b = 1, de donde b = −1. La segunda rama es y = 2x − 1.

Para corregirte, comprueba las dos condiciones con los valores hallados: 2 · 1 − 1 = 1, que coincide con 1²; y la pendiente de 2x − 1 es 2, que coincide con 2x en x = 1. ▲ Si solo se impone la continuidad quedan infinitas parejas (a, b) con a + b = 1; es la segunda condición la que fija una sola.

Primero el punto: f(2) = 8 − 12 + 4 = 0, así que se trabaja en (2, 0).

La derivada es f'(x) = 3x² − 6, y en x = 2 vale 3 · 4 − 6 = 6. Esa es la pendiente de la tangente.

La tangente es y − 0 = 6(x − 2), es decir y = 6x − 12.

La perpendicular arranca del mismo punto con pendiente la inversa cambiada de signo, o sea −1/6: y − 0 = (−1/6)(x − 2), es decir y = −x/6 + 1/3.

Para corregirte, sustituye x = 2 en las dos rectas: 6 · 2 − 12 = 0 y −2/6 + 1/3 = 0. Las dos pasan por el punto. ▲ Que una recta pase por el punto no confirma que la pendiente sea la correcta: con cualquier otra pendiente también pasaría. Lo que hay que comprobar aparte es la derivada, y que al multiplicar las dos pendientes, 6 · (−1/6), salga −1, que es la marca de dos rectas perpendiculares.

El crecimiento lo decide el signo de la derivada: f'(x) = 3x² − 12.

Se anula cuando 3x² = 12, es decir en x = −2 y x = 2. Esos dos valores parten la recta en tres zonas, y basta con probar un número de cada una.

En x = −3: 27 − 12 = 15, positiva, así que crece. En x = 0: 0 − 12 = −12, negativa, así que decrece. En x = 3: 27 − 12 = 15, positiva, crece.

Donde pasa de crecer a decrecer hay un máximo local, y al revés un mínimo local. En x = −2 hay máximo local, con f(−2) = −8 + 24 = 16; en x = 2 hay mínimo local, con f(2) = 8 − 24 = −16. Lo confirma la segunda derivada, f»(x) = 6x, que vale −12 en x = −2 y 12 en x = 2.

⛔ Y aquí hay un paso que no se puede saltar: que la derivada se anule no basta para que haya máximo o mínimo. La función x³ tiene derivada 3x², que se anula en x = 0, y sin embargo crece antes y después de ese punto, así que ahí no hay ni máximo ni mínimo. Lo que decide es el cambio de signo de la derivada, no su anulación.

La concavidad la decide el signo de la segunda derivada. La primera es f'(x) = 4x³ − 12x y la segunda, f»(x) = 12x² − 12.

Se anula cuando x² = 1, o sea en x = −1 y x = 1.

Probando el signo: en x = −2 vale 48 − 12 = 36, positiva; en x = 0 vale −12, negativa; en x = 2 vale 36, positiva. La función es cóncava hacia arriba fuera del tramo (−1, 1) y hacia abajo dentro de él.

Como la segunda derivada cambia de signo en los dos valores, en los dos hay punto de inflexión. Sus alturas son f(−1) = 1 − 6 = −5 y f(1) = 1 − 6 = −5, así que los puntos son (−1, −5) y (1, −5).

▲ Igual que antes, anularse no basta: la función x⁴ tiene segunda derivada 12x², que vale 0 en x = 0, y aun así se mantiene positiva a los dos lados, así que ahí no hay inflexión. Hay que comprobar el cambio, no la anulación.

Un punto cualquiera de la recta es (x, 2x + 1). Lo que hay que hacer pequeño es su distancia al origen, pero se trabaja con el cuadrado de la distancia, que se minimiza en el mismo sitio y evita arrastrar una raíz.

Ese cuadrado es D(x) = x² + (2x + 1)² = x² + 4x² + 4x + 1 = 5x² + 4x + 1.

Derivando: D'(x) = 10x + 4, que se anula en x = −2/5. La segunda derivada es 10, positiva, así que ahí hay un mínimo y no un máximo.

La altura correspondiente es y = 2 · (−2/5) + 1 = 1/5, así que el punto es (−2/5, 1/5). Su distancia al cuadrado vale 4/25 + 1/25 = 1/5, de modo que la distancia es √5 / 5, entre 0,44 y 0,45.

La comprobación va por otro camino: la distancia del origen a la recta 2x − y + 1 = 0 se calcula sustituyendo el origen, tomando valor absoluto y dividiendo entre la raíz de 4 + 1, lo que da 1 / √5 = √5 / 5. Mismo número sin derivar nada. Y de paso, el vector que va del origen al punto hallado es (−2/5, 1/5), cuyo producto escalar con la dirección de la recta (1, 2) vale −2/5 + 2/5 = 0: sale perpendicular, que es como tenía que salir.

Si uno de los sumandos es y, el otro es 12 − y, y lo que hay que hacer grande es P(y) = (12 − y) · y² = 12y² − y³, con y entre 0 y 12.

Derivando: P'(y) = 24y − 3y² = 3y(8 − y), que se anula en y = 0 y en y = 8.

El valor y = 0 se descarta porque deja un sumando nulo y el producto valdría 0. Queda y = 8, y la segunda derivada P»(y) = 24 − 6y vale 24 − 48 = −24 en ese punto: negativa, luego es un máximo. Y lo es del intervalo entero, no solo de su entorno: P'(y) = 3y(8 − y) es positiva entre 0 y 8 y negativa entre 8 y 12, así que P sube hasta y = 8 y baja después.

Los dos sumandos son, por tanto, 8 y 4, con producto 4 · 8² = 4 · 64 = 256. Ojo al orden: el 8 es el que va al cuadrado.

Para corregirte, prueba una descomposición vecina y comprueba que da menos: con 6 y 6 sale 6 · 36 = 216, y con 5 y 7 sale 5 · 49 = 245. Los dos quedan por debajo de 256. ▲ Probar unos cuantos casos no demuestra que sea el máximo —hay infinitas descomposiciones—; lo demuestra la derivada. Los casos vecinos sirven para detectar un error de cuenta, no para sustituir el razonamiento.

(a) Se integra sumando uno al exponente y dividiendo entre el exponente nuevo, término a término. El 3x² da 3x³/3 = x³; el −4x da −4x²/2 = −2x²; y el 5 da 5x.

Resultado: x³ − 2x² + 5x + C.

(b) La integral de 1/u es el logaritmo del valor absoluto de u, pero solo si arriba está la derivada de u. Aquí u = 2x + 1 tiene derivada 2, y arriba hay un 1, así que falta un factor 2.

Se arregla multiplicando y dividiendo por 2: la integral de 1/(2x + 1) es la mitad de la integral de 2/(2x + 1), que ya es inmediata. Resultado: (1/2) · ln|2x + 1| + C.

Para corregirte, deriva los dos resultados. En (a): 3x² − 4x + 5, que es el integrando. En (b): la derivada de (1/2)ln|2x + 1| es (1/2) · 2/(2x + 1) = 1/(2x + 1), también el integrando.

Aquí no hay fórmula directa, pero dentro del paréntesis hay algo cuya derivada aparece multiplicando: la derivada de x² + 1 es 2x, y fuera hay una x.

Se llama u = x² + 1. Entonces du = 2x dx, o lo que es lo mismo, x dx = du/2. La integral se convierte en la mitad de la integral de u⁴.

La integral de u⁴ es u⁵/5, así que la mitad es u⁵/10.

Deshaciendo el cambio: (x² + 1)⁵ / 10 + C.

Para corregirte, deriva: la derivada de (x² + 1)⁵/10 es 5(x² + 1)⁴ · 2x / 10, y 5 · 2 / 10 = 1, así que queda x(x² + 1)⁴, que es el integrando de partida.

Es un producto de dos cosas que no tienen nada que ver entre sí, y el cambio de variable no lo simplifica. Toca integrar por partes: se elige una parte para derivar y otra para integrar, y la fórmula deja una integral nueva que ha de ser más fácil.

Se deriva la x, porque al derivarla desaparece, y se integra e^x, porque al integrarlo se queda igual. Queda x · e^x menos la integral de e^x.

La integral de e^x es e^x, así que el resultado es x · e^x − e^x + C, que se escribe mejor como e^x(x − 1) + C.

Comprobación derivando: la derivada de e^x(x − 1) es e^x(x − 1) + e^x · 1 = e^x(x − 1 + 1) = x · e^x. Sale el integrando.

▲ Y ahora lo que pedía el enunciado: esa comprobación es buena pero tiene un punto ciego. La derivada de una constante es 0, así que cualquier valor de C pasa la prueba, y también la pasaría un resultado al que le faltara la C. Derivar confirma la parte que depende de x; que la constante esté escrita hay que mirarlo aparte.

La regla de Barrow dice que se busca una primitiva del integrando y se resta su valor en los dos extremos, el de arriba menos el de abajo.

Una primitiva de 3x² − 2x es x³ − x². No hace falta escribir la constante: al restar se cancelaría.

En el extremo superior: 2³ − 2² = 8 − 4 = 4. En el inferior: 0 − 0 = 0.

El resultado es 4 − 0 = 4.

Para corregirte, deriva la primitiva antes de sustituir nada: la derivada de x³ − x² es 3x² − 2x, que es el integrando. ▲ Esa comprobación solo sirve en un sentido: si al derivar no sale el integrando, la primitiva está mal; pero una primitiva equivocada puede dar por casualidad el número correcto al restar los dos extremos, así que el número final no comprueba la primitiva.

Una primitiva es x³/3 − 4x. En el extremo superior vale 27/3 − 12 = 9 − 12 = −3; en el inferior, 0. La integral vale −3.

Ese número negativo no es un error: x² − 4 es negativa entre 0 y 2 y positiva entre 2 y 3, y la integral suma con signo, así que lo de debajo del eje resta.

Para el área hay que partir en el punto donde cambia de signo, que es donde x² = 4, es decir x = 2, y tomar cada trozo en valor absoluto.

De 0 a 2: 8/3 − 8 = −16/3, cuyo valor absoluto es 16/3. De 2 a 3: (9 − 12) − (8/3 − 8) = −3 + 16/3 = 7/3, que ya es positivo.

El área es 16/3 + 7/3 = 23/3 unidades de superficie, entre 7,66 y 7,67. ⛔ Fíjate en que la integral vale −3 y el área 23/3: que una integral definida salga negativa no indica que haya un fallo, indica que hay más recinto por debajo del eje que por encima. El área y la integral son cosas distintas: coinciden cuando la curva no baja del eje en el tramo entero, y cuando no sube de él el área es la integral cambiada de signo.

Primero hay que saber entre qué valores está el recinto: son los puntos donde se cortan las dos. Igualando, x² = 2x, o sea x² − 2x = 0, que da x = 0 y x = 2.

Entre esos dos valores hay que saber cuál va por encima. Probando en x = 1: la recta da 2 y la curva da 1, así que la recta está por encima.

El área es la integral, entre 0 y 2, de la de arriba menos la de abajo: ∫₀² (2x − x²) dx.

Una primitiva es x² − x³/3. En 2 vale 4 − 8/3 = 4/3; en 0 vale 0. El área es 4/3 unidades de superficie, entre 1,33 y 1,34.

▲ Restar en el orden equivocado daría −4/3. Un área negativa avisa de que te has confundido de orden, pero solo en este caso: si el recinto cambiara de lado a mitad de camino, los dos trozos se compensarían y el resultado podría salir positivo y estar mal igualmente. Por eso se comprueba cuál va por encima antes de integrar, y no después mirando el signo.

Al girar ese recinto alrededor del eje horizontal, el volumen es π por la integral del cuadrado de la función entre los dos extremos.

El cuadrado de √x es simplemente x, lo que deja la integral más cómoda que la propia función.

Así que el volumen es π · ∫₀⁴ x dx. Una primitiva de x es x²/2, que en 4 vale 16/2 = 8 y en 0 vale 0.

El volumen es 8π unidades cúbicas, un valor entre 25,13 y 25,14.

Para corregirte, compara con un cilindro: el cuerpo está metido dentro del cilindro de radio √4 = 2 y longitud 4, cuyo volumen es π · 2² · 4 = 16π. El resultado, 8π, es la mitad de esa cota, así que cae donde debe. Si te hubiera salido más de 16π, habría un error seguro.

La probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B es el cociente entre la de que ocurran los dos y la de B: (3/10) / (1/2) = (3/10) · 2 = 3/5.

Ese resultado coincide con P(A), es decir: saber que B ha ocurrido no cambia la probabilidad de A. Los sucesos son independientes.

Lo mismo se comprueba multiplicando: P(A) · P(B) = (3/5) · (1/2) = 3/10, que es exactamente P(A ∩ B). Es el mismo hecho visto de otra manera, y sirve de control mutuo.

Para que ocurra A o B se suman las dos y se descuenta la parte común, que al sumar quedaría contada por duplicado: 3/5 + 1/2 − 3/10 = 6/10 + 5/10 − 3/10 = 8/10 = 4/5.

▲ Independiente no es lo mismo que incompatible, aunque las dos palabras suenen a «no tienen que ver». Incompatible querría decir P(A ∩ B) = 0, y aquí vale 3/10: estos dos sucesos ocurren juntos tres veces de cada diez. De hecho, dos sucesos incompatibles de probabilidad no nula no pueden ser independientes, porque saber que ocurre uno descarta el otro.

(a) Cada máquina aporta defectuosas en proporción a lo que fabrica. Se multiplica, en cada una, lo que produce por lo que falla, y se suman las tres aportaciones.

De A: (1/2) · (1/100) = 5/1.000. De B: (3/10) · (2/100) = 6/1.000. De C: (2/10) · (3/100) = 6/1.000.

Sumando: 5/1.000 + 6/1.000 + 6/1.000 = 17/1.000, es decir el 1,7 %. Obsérvese que queda entre el 1 % y el 3 %, que son el mínimo y el máximo de las tres máquinas: tenía que quedar ahí, porque es una media ponderada de esos tres porcentajes.

(b) Ahora se pregunta al revés: ya se sabe que la pieza es defectuosa y se quiere saber de dónde viene. Se divide la aportación de A entre el total de defectuosas.

Queda (5/1.000) / (17/1.000) = 5/17, un valor entre 0,29 y 0,30, o sea alrededor del 29 %.

Para corregirte, calcula también las otras dos: 6/17 para B y 6/17 para C. Las tres tienen que sumar 1, y en efecto 5/17 + 6/17 + 6/17 = 17/17. Si no suman 1, hay un error en alguna de las tres.

Sin devolución, la segunda extracción se hace con una bola menos, así que las fracciones cambian de la primera a la segunda.

Las dos blancas: la primera blanca tiene probabilidad 5/8; con una blanca fuera quedan 4 blancas de 7 bolas, así que la segunda tiene 4/7. Multiplicando: 20/56 = 5/14.

Distinto color: puede ser blanca y luego negra, con (5/8) · (3/7) = 15/56, o negra y luego blanca, con (3/8) · (5/7) = 15/56. Como son dos maneras distintas de que pase lo mismo, se suman: 30/56 = 15/28.

Al menos una negra es lo contrario de que las dos sean blancas, así que se resta de 1: 1 − 5/14 = 9/14. Pasar por el suceso contrario ahorra sumar tres casos.

Para corregirte, calcula también las dos negras, (3/8) · (2/7) = 6/56 = 3/28, y suma los tres resultados que se excluyen entre sí: 10/28 + 3/28 + 15/28 = 28/28 = 1. Si el recuento no suma 1, sobra o falta un caso, y eso se nota antes de dar por bueno el resultado.

Los tres ingredientes de la fórmula son: de cuántas maneras pueden colocarse los 2 éxitos entre los 6 intentos, la probabilidad de los éxitos y la de los fracasos.

Las maneras de elegir 2 posiciones entre 6 son 15. Los dos éxitos aportan (1/3)² = 1/9 y los cuatro fracasos, (2/3)⁴ = 16/81.

Multiplicando los tres: 15 · (1/9) · (16/81) = 240/729 = 80/243, un valor entre 0,32 y 0,33.

La media es el número de intentos por la probabilidad de éxito: 6 · (1/3) = 2. La varianza añade el factor de los fracasos: 6 · (1/3) · (2/3) = 4/3.

Para corregirte, comprueba que la media cae donde debe: con probabilidad 1/3 y 6 intentos, esperar 2 éxitos es razonable, y el valor más probable resulta ser precisamente 2. Y comprueba el 15 por otro camino: elegir 2 de 6 es lo mismo que elegir los 4 que se quedan fuera, y esas dos cuentas tienen que dar el mismo número.

«Al menos uno» abarca 1, 2, 3, 4 o 5 éxitos: cinco cuentas. Su contrario es «cero éxitos», que es una sola, así que se calcula ese y se resta de 1.

Cero éxitos significa cinco fracasos seguidos, cada uno con probabilidad 4/5: (4/5)⁵ = 1.024/3.125.

Por tanto, al menos un éxito tiene probabilidad 1 − 1.024/3.125 = 2.101/3.125, un valor entre 0,67 y 0,68.

«Como mucho uno» son dos casos: cero o exactamente uno. El segundo se calcula con los tres ingredientes de la fórmula: 5 maneras de colocar el único éxito, por 1/5, por (4/5)⁴ = 256/625. Sale 5 · (1/5) · (256/625) = 256/625 = 1.280/3.125.

Sumando los dos: 1.024/3.125 + 1.280/3.125 = 2.304/3.125, entre 0,73 y 0,74. ▲ «Al menos uno» y «como mucho uno» no son contrarios y no suman 1: se solapan en el caso de exactamente un éxito, que entra en los dos.

Tipificar es contar cuántas desviaciones típicas hay desde la media: se resta la media y se divide entre la desviación. El resultado dice a qué altura estamos en la escala común.

Para 178: (178 − 170) / 8 = 1. Así que la probabilidad de medir como mucho 178 cm es la que da el enunciado: 0,8413, con su mismo redondeo.

Para 162: (162 − 170) / 8 = −1. Se pide «más de 162», es decir, pasar de −1. Como el reparto es simétrico respecto de la media, pasar de −1 tiene la misma probabilidad que no llegar a 1: también 0,8413.

Para el tramo entre 162 y 178 se restan: lo que hay por debajo de 178 menos lo que hay por debajo de 162. Lo segundo es 1 − 0,8413 = 0,1587, así que el tramo vale 0,8413 − 0,1587 = 0,6826.

Para corregirte, mira los tres resultados juntos: el tramo central, 0,6826, tiene que ser menor que cualquiera de las dos colas ampliadas, 0,8413, y lo es. Y 0,6826 más las dos puntas de 0,1587 da 1.

Aquí se va al revés: se conoce la probabilidad y se busca el valor. Primero se traduce la probabilidad a la escala tipificada, y después se deshace la tipificación.

El enunciado ya da la traducción: la probabilidad 0,9332 corresponde al valor tipificado 1,5.

Deshacer la tipificación es lo contrario de hacerla: si al tipificar se resta la media y se divide entre la desviación, ahora se multiplica por la desviación y se suma la media.

Queda k = 500 + 1,5 · 40 = 500 + 60 = 560.

Para corregirte, vuelve a tipificar el resultado: (560 − 500) / 40 = 1,5, que es el valor del que se había partido. ▲ Y comprueba el lado: como la probabilidad pedida pasa de 1/2, el valor tiene que quedar por encima de la media, y 560 lo está. Si te hubiera salido por debajo de 500, habría un signo mal puesto.