Ejercicios Resueltos de Racionalización de Denominadores Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de racionalización de denominadores resueltos para 1º de Bachillerato. Racionalizar es transformar una fracción para que no quede ninguna raíz en el denominador, multiplicando numerador y denominador por la misma expresión. Se practican los tres tipos: raíz cuadrada sola, raíz de índice mayor que 2 y binomios con raíces (con el conjugado).
Ejercicios de racionalización para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Tipo 1: una raíz cuadrada en el denominador
Se multiplica numerador y denominador por esa misma raíz, porque √a·√a = a.
1Racionaliza: a) 6/√3 b) 5/(2√5)
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b) 5/(2√5) = 5√5/(2·5) = √5/2. El 2 que multiplica a la raíz no se toca: basta con multiplicar por √5.
2Simplifica y racionaliza: √12/√18.
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Después se racionaliza: √2·√3/(√3·√3) = √6/3.
2. Tipo 2: raíz de índice mayor que 2
Se multiplica por una raíz del mismo índice que complete el exponente hasta el índice: n√(am) · n√(an−m) = a.
3Racionaliza 2/∛4.
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2/∛(2²) = 2∛2/∛(2³) = 2∛2/2 = ∛2.
4Racionaliza 3/5√(x²) (con x > 0).
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3·5√(x³)/5√(x⁵) = 3·5√(x³)/x.
3. Tipo 3: binomios con raíces (el conjugado)
Si el denominador es a ± √b o √a ± √b, se multiplica por su conjugado (el mismo binomio con el signo central cambiado), porque (x + y)(x − y) = x² − y².
5Racionaliza 4/(√5 − 1).
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4(√5 + 1)/((√5 − 1)(√5 + 1)) = 4(√5 + 1)/(5 − 1) = 4(√5 + 1)/4 = √5 + 1.
6Racionaliza 1/(√3 + √2).
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(√3 − √2)/((√3)² − (√2)²) = (√3 − √2)/(3 − 2) = √3 − √2.
7Racionaliza √2/(√2 + 1).
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√2(√2 − 1)/(2 − 1) = 2 − √2 → 2 − √2.
8Racionaliza (3 + √3)/(3 − √3).
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(3 + √3)²/(9 − 3) = (9 + 6√3 + 3)/6 = (12 + 6√3)/6 = 2 + √3.
4. Combinados
9Racionaliza y opera: 1/√2 + 1/(√2 − 1).
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Suma: √2/2 + √2 + 1 = (3√2)/2 + 1 (≈ 3,12).
Cómo racionalizar: los tres tipos
Por qué multiplicar en cada caso:
- Raíz cuadrada sola √a: multiplica por √a.
- Raíz de índice n n√(am): multiplica por n√(an−m).
- Binomio con raíces: multiplica por el conjugado (cambia el signo central).
- Lo que se multiplica abajo se multiplica también arriba: así la fracción no cambia de valor.
- Al final, simplifica si se puede (6√3/3 = 2√3).
Tipos de racionalización con ejemplo
Un ejemplo de cada tipo, distinto de los de los ejercicios.
Resumen por tipo
| Tipo | Se multiplica por | Ejemplo |
|---|---|---|
| Raíz cuadrada | la misma raíz | 1/√7 = √7/7 |
| Raíz de índice n | la raíz que completa el exponente | 1/∛5 = ∛25/5 |
| Binomio a + √b | a − √b | 1/(2 + √3) = 2 − √3 |
| Binomio √a − √b | √a + √b | 2/(√5 − √3) = √5 + √3 |
Dudas sobre la racionalización
¿Para qué sirve racionalizar?
Para que el resultado quede en una forma simplificada y fácil de comparar y operar. Históricamente se hacía para calcular a mano: dividir entre √2 ≈ 1,414 era más difícil que multiplicar por √2 y dividir entre 2. Hoy se sigue pidiendo como forma «canónica» de expresar un resultado.
¿Qué es el conjugado?
El conjugado de a + b es a − b, y al revés. Al multiplicarlos se obtiene a² − b²: si a o b son raíces cuadradas, sus cuadrados ya no tienen raíz.
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