Ejercicios Resueltos de Matemáticas 5 Primaria 2026 / 2027

Los seis primeros mayores que 0 son 7, 14, 21, 28, 35 y 42: salen de multiplicar 7 por 1, por 2, por 3, por 4, por 5 y por 6.

Para el 91 no hace falta seguir la lista hasta allí: divide. 91 ÷ 7 = 13 y el resto es 0, así que sí es múltiplo de 7.

Comprobación con la multiplicación, que es la operación contraria: 7 × 13 = 91. Sale el número del enunciado.

Otra forma de verlo: 7 × 12 = 84 y 7 × 14 = 98. El 91 está entre los dos, y es justo el que sale al multiplicar por 13.

Si en vez de 91 te preguntaran por 90, la respuesta sería no: 90 ÷ 7 da 12 y sobran 6. En cuanto sobra algo, no es múltiplo.

Son nueve: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

Búscalos por parejas, probando en orden 1, 2, 3, 4, 5, 6…: 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6. (El 5 no vale: 36 ÷ 5 deja resto.) Cada pareja te da dos divisores de golpe, menos la última, donde el 6 sale dos veces y solo aporta uno.

Las parejas se acaban cuando los dos números se juntan (6 × 6): a partir de ahí saldrían las mismas al revés. Haber probado todos los candidatos en orden hasta ese punto es lo que asegura que no falta ninguno.

Comprobación: divide 36 entre cada uno de los nueve y mira que el resto sea 0. Eso confirma los que has escrito; que no falte ninguno lo asegura haber probado en orden 1, 2, 3… hasta llegar al 6, donde las parejas empiezan a repetirse; no lo asegura probar unos cuantos sueltos (36 ÷ 5, 36 ÷ 7 y 36 ÷ 8 dejan resto, pero eso solo descarta esos tres).

El 1 y el propio 36 también cuentan como divisores: el 1 divide a cualquier número, y cualquier número se divide entre sí mismo dando 1.

Entre 2 (los que acaban en cifra par): 2.430, 3.106 y 4.500. El 1.575 acaba en 5, que es impar, así que no.

Entre 3 (los que al sumar sus cifras dan un múltiplo de 3): 2 + 4 + 3 + 0 = 9, sí · 1 + 5 + 7 + 5 = 18, sí · 3 + 1 + 0 + 6 = 10, no · 4 + 5 + 0 + 0 = 9, sí. Se puede con 2.430, 1.575 y 4.500.

Entre 5 (los que acaban en 0 o en 5): 2.430, 1.575 y 4.500. El 3.106 acaba en 6, así que no.

Comprobación de dos de las que has dicho que sí: 2.430 ÷ 3 = 810 y 1.575 ÷ 3 = 525, las dos sin resto.

Y comprobación de una de las que has dicho que no, que es la que de verdad pone a prueba el criterio: 3.106 ÷ 3 = 1.035 y sobra 1. Efectivamente no se puede.

Es el 12.

Escribe las dos listas hasta que se repita un número. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24… Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24…

El primero que aparece en las dos listas es el 12. El 24 también está en las dos, pero el enunciado pide el menor.

Comprobación: 12 ÷ 4 = 3 y 12 ÷ 6 = 2, las dos exactas. Y el 8, que es múltiplo de 4, no vale: 8 ÷ 6 da 1 y sobran 2.

Este número hace falta para sumar fracciones con el de abajo distinto: es el denominador común que evita trabajar con números grandes.

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Paso a paso, para no perderse: 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8 y 8 × 2 = 16.

5³ = 5 × 5 × 5 = 125, porque 5 × 5 = 25 y 25 × 5 = 125.

10⁴ = 10.000. Con el 10, el exponente dice los ceros que lleva: cuatro.

7 × 7 × 7 se escribe 7³, y vale 343. El 7 es el número que se repite y el 3 dice cuántas veces.

▲ El exponente no se multiplica por la base: 2⁴ no es 2 × 4 = 8, es 16. Cuando dudes, escribe la potencia entera con todas sus multiplicaciones; con exponentes pequeños es lo más seguro.

Primero la potencia: 2³ = 8. Queda 40 − 3 × 8 + 6 ÷ 2.

Después la multiplicación y la división: 3 × 8 = 24 y 6 ÷ 2 = 3. Queda 40 − 24 + 3.

Y ahora sí, de izquierda a derecha: 40 − 24 = 16, y 16 + 3 = 19.

Comprobación de estos pasos: vuelve a escribir la expresión y rodea cada trozo ya calculado como si fuera un solo número. Si te queda 40 − 24 + 3, el orden está bien; la resta y la suma finales hay que repasarlas aparte.

Si multiplicas 3 × 2 antes de hacer la potencia sale 6³ = 216, y el resultado ya no tiene nada que ver. La potencia va antes que la multiplicación.

El paréntesis manda: 15 − 7 = 8.

Ahora la potencia: 8² = 8 × 8 = 64.

Luego la división y la multiplicación: 64 ÷ 4 = 16 y 5 × 3 = 15.

Y al final la suma: 16 + 15 = 31.

Comprobación del paso de la división con la operación contraria: 16 × 4 = 64, que es lo que había arriba. Y una comprobación de tamaño: los dos trozos valen 16 y 15, así que el resultado final tiene que andar cerca de 30.

60 entre 12 es 5 (12 × 5 = 60) y no sobra nada.

Bajo el 4 y tengo 4. El 4 es menor que 12, así que en el cociente va un 0 y bajo la cifra siguiente.

Con el 8 tengo 48: 48 entre 12 es 4 justo. Cociente 504 y resto 0.

Comprobación: 12 × 504 = 6.048. Sale el dividendo, así que la división está bien.

▲ Si te olvidas del cero y escribes 54, esa misma comprobación lo caza: 12 × 54 = 648, que no se parece a 6.048.

Tomo del dividendo las cifras que hagan falta para pasar de 125: con el 9 no llego, con 93 tampoco, y 935 ya es mayor, así que empiezo con esas tres. ¿Cuántas veces cabe 125 en 935? Tanteo: 125 × 7 = 875, y 125 × 8 = 1.000 ya se pasa. Es 7.

935 − 875 = 60. Bajo el 0 y tengo 600.

¿Cuántas veces cabe 125 en 600? 125 × 4 = 500. Es 4, y 600 − 500 = 100.

Cociente 74 y resto 100.

Comprobación: 125 × 74 + 100 = 9.250 + 100 = 9.350, el dividendo. Y el resto (100) es menor que el divisor (125), como tiene que ser: si hubieras puesto 75 en el cociente, 125 × 75 = 9.375 se pasaría de 9.350.

Hay que dividir 4.680 entre 150. Los dos acaban en cero, así que se le puede quitar un cero a cada uno: 468 ÷ 15 da el mismo cociente y se tantea mucho más fácil.

468 entre 15: 46 entre 15 es 3 (15 × 3 = 45) y sobra 1. Bajo el 8 a la derecha de ese 1 y tengo 18: 18 entre 15 es 1 y sobran 3. Cociente 31.

El resto hay que devolverlo a su tamaño: como habías quitado un cero, el resto verdadero es 3 × 10 = 30 tapones. El cociente, en cambio, no cambia.

Llena 31 bolsas y sobran 30 tapones.

Comprobación: 150 × 31 + 30 = 4.650 + 30 = 4.680. Y 30 es menor que 150, así que con lo que sobra no da para otra bolsa llena.

Si el enunciado preguntara «cuántas bolsas necesita para guardarlos todos», la respuesta sería 32: los 30 tapones que sobran también necesitan bolsa, aunque quede a medias. La cuenta es la misma; cambia lo que se contesta.

Multiplicando arriba y abajo por 2 sale 6/8; por 3, 9/12.

Comprobación multiplicando en cruz: 3 × 8 = 24 y 4 × 6 = 24, iguales. Y 3 × 12 = 36 y 4 × 9 = 36, iguales también.

Si quieres verlo además con dinero, coge 48 €: 3/4 de 48 → 48 ÷ 4 = 12 y 12 × 3 = 36 €, y 6/8 y 9/12 de 48 dan también 36 €. Es una comprobación extra; con la de arriba ya basta.

Hay muchísimas respuestas válidas: 12/16, 15/20, 30/40… cualquiera que salga de multiplicar los dos números por lo mismo.

Lo que no vale es sumar en vez de multiplicar: 6/7 (sumando 3 arriba y 3 abajo) no es equivalente a 3/4, y la multiplicación en cruz lo dice: 3 × 7 = 21 y 4 × 6 = 24, distintos.

Los dos son pares, así que divido entre 2: 42 ÷ 2 = 21 y 56 ÷ 2 = 28. Queda 21/28.

Ahora los dos se dividen entre 7: 21 ÷ 7 = 3 y 28 ÷ 7 = 4. Queda 3/4.

Ya no se puede seguir: los divisores de 3 son 1 y 3, y los de 4 son 1, 2 y 4, así que no comparten ninguno aparte del 1. Esa es la fracción irreducible.

Comprobación en cruz con la de partida: 42 × 4 = 168 y 56 × 3 = 168. Iguales, luego 42/56 y 3/4 valen lo mismo.

Se podía llegar en un solo paso dividiendo entre 14, que es el número más grande que divide a los dos: 42 ÷ 14 = 3 y 56 ÷ 14 = 4. Los dos caminos acaban en 3/4; el de dos pasos solo es más largo.

Los de abajo son 3, 6, 4 y 12, y el 12 es múltiplo de los cuatro, así que me sirve de denominador común.

Convierto multiplicando arriba y abajo: 2/3 = 8/12 (por 4) · 5/6 = 10/12 (por 2) · 3/4 = 9/12 (por 3) · 7/12 se queda igual.

Con el mismo de abajo manda el de arriba: 7 < 8 < 9 < 10. Así que 7/12 < 2/3 < 3/4 < 5/6.

Comprobación de cada conversión con la multiplicación en cruz, que es lo que ya sabes hacer: 2/3 y 8/12 → 2 × 12 = 24 y 3 × 8 = 24; 5/6 y 10/12 → 5 × 12 = 60 y 6 × 10 = 60; 3/4 y 9/12 → 3 × 12 = 36 y 4 × 9 = 36. Las tres parejas valen lo mismo.

Una mirada rápida más, que no lo confirma todo pero caza algún despiste: las cuatro tienen que seguir siendo menores que 1, porque en todas el número de arriba no llega al de abajo. Si alguna te saliera mayor que 1, seguro que hay un error.

Si 3 partes de 5 son 24 libros, una parte es 24 ÷ 3 = 8 libros.

La estantería entera son las 5 partes: 8 × 5 = 40 libros.

Comprobación hacia delante: 3/5 de 40 → 40 ÷ 5 = 8 y 8 × 3 = 24. Salen los 24 libros del enunciado.

Segunda comprobación, con lo que falta: los 2/5 que quedan son 2 × 8 = 16 libros, y 24 + 16 = 40.

▲ Aquí no se calcula «3/5 de 24»: eso daría 14,4 libros, que además es menos que los 24 que ya tenías, y el total no puede ser menor que una parte. Cuando el dato que te dan es la parte y te piden el total, se divide entre el de arriba y se multiplica por el de abajo.

Los de abajo son distintos, así que primero los igualo. El menor múltiplo común de 2 y 3 es 6.

1/2 = 3/6 (multiplico arriba y abajo por 3) y 1/3 = 2/6 (por 2).

Ahora ya se pueden sumar: 3/6 + 2/6 = 5/6. Y no se puede simplificar.

Comprobación con una cantidad que se parta bien entre 6, por ejemplo 12 caramelos: la mitad son 6 y la tercera parte son 4, o sea 10 caramelos entre las dos. Y 5/6 de 12 → 12 ÷ 6 = 2 y 2 × 5 = 10. Cuadra.

Si sumaras también los de abajo saldría 2/5, y la misma comprobación lo descarta: 2/5 de 12 son 4,8 caramelos, menos que la mitad que ya tenías de partida. Si a los caramelos de la mitad les añades los de la tercera parte, no puedes acabar con menos caramelos de los que ya tenías.

Denominador común: 12, que es múltiplo de 4 y de 6.

3/4 = 9/12 (por 3) y 5/6 = 10/12 (por 2). Sumo los de arriba: 9 + 10 = 19. Sale 19/12.

Pasa de 1, porque 19 es mayor que 12. Escrito de otra forma: 19/12 = 1 y 7/12, es decir 1 + 7/12, porque 12/12 es un entero y sobran 7/12.

Comprobación sin hacer ninguna cuenta: las dos fracciones pasan de la mitad (3/4 y 5/6 son más que 1/2), así que su suma tiene que pasar de 1.

Comprobación con números, usando 48 €: 3/4 de 48 = 36 y 5/6 de 48 = 40, que suman 76. Y 19/12 de 48 → 48 ÷ 12 = 4 y 4 × 19 = 76. Coincide.

También es válido usar 24 de denominador común, que sale de multiplicar 4 × 6: 18/24 + 20/24 = 38/24, y simplificando entre 2 queda 19/12. El mismo resultado con números más grandes por el camino.

Primero, lo que ha leído. Denominador común de 5 y 4: 20. Así que 2/5 = 8/20 y 1/4 = 5/20.

8/20 + 5/20 = 13/20 del libro leído.

El libro entero es 20/20, así que le queda 20/20 − 13/20 = 7/20.

Comprobación: 13/20 + 7/20 = 20/20, que es el libro completo.

Segunda comprobación poniéndole páginas, por ejemplo 200: 2/5 de 200 = 80 páginas y 1/4 de 200 = 50, o sea 130 leídas, y 200 − 130 = 70 sin leer. Y 7/20 de 200 → 200 ÷ 20 = 10 y 10 × 7 = 70. Las mismas 70 páginas.

Multiplico sin mirar las comas: 47 × 36. Por trozos, 47 × 6 = 282 y 47 × 30 = 1.410; sumados, 1.692.

Ahora la coma: 4,7 tiene una cifra decimal y 3,6 tiene otra, así que el resultado lleva 1 + 1 = 2. Queda 16,92.

Comprobación estimando: 4,7 casi es 5, y 5 × 3,6 = 18. El resultado tiene que salir un poco por debajo de 18, y 16,92 lo está.

Otra comprobación, partiendo el 3,6 en dos trozos: 4,7 × 3 = 14,1 y 4,7 × 0,6 = 2,82. Y 14,1 + 2,82 = 16,92.

Si te sale 1,692 o 169,2, la cuenta larga está bien y lo único que falla es la coma: vuelve a contar las cifras decimales de los dos factores.

0,25 × 48: multiplico 25 × 48 = 1.200 y pongo dos cifras decimales, las que tiene 0,25. Sale 12,00, es decir 12.

2,5 × 0,4: multiplico 25 × 4 = 100 y pongo 1 + 1 = 2 decimales. Sale 1,00, es decir 1.

Los ceros del final de la parte decimal no añaden nada al valor, así que se quitan: 12,00 es 12 y 1,00 es 1.

Comprobación de la primera sin multiplicar nada: 0,25 es la cuarta parte de 1, así que 0,25 × 48 es la cuarta parte de 48. Y 48 ÷ 4 = 12.

Fíjate en que los dos resultados son más pequeños que el factor mayor (12 es menos que 48, y 1 es menos que 2,5). Es lo que pasa al multiplicar una cantidad positiva por un número entre 0 y 1, y no es un error de la cuenta.

3,45 × 10 = 34,5: la coma se mueve un lugar a la derecha.

3,45 × 1.000 = 3.450: tres lugares. Detrás de la coma solo hay dos cifras, así que hace falta rellenar con un cero (3,45 → 34,5 → 345 → 3.450).

0,08 × 100 = 8: dos lugares. El 0 de delante ya no hace falta escribirlo.

Comprobación de la segunda en dos pasos: 3,45 × 1.000 es lo mismo que 3,45 × 100 = 345 y luego × 10, que da 3.450.

Comprobación de tamaño: multiplicar por 1.000 tiene que dar mucho más que multiplicar por 10, y aquí 3.450 es cien veces 34,5. Encaja, porque 1.000 es cien veces 10.

Multiplico sin comas: 385 × 146 = 56.210.

Cifras decimales: una en 38,5 y dos en 1,46, así que tres en el resultado: 56,210 €, que en euros se escribe 56,21 € (el último cero no añade nada).

Comprobación estimando: 40 litros a 1,50 € el litro serían 60 €. Aquí hay algo menos de litros y a algo menos de precio, así que el resultado tiene que quedar por debajo de 60 €. Y 56,21 € lo está.

Otra comprobación, partiendo el precio: 38,5 × 1 = 38,50 € y 38,5 × 0,46 = 17,71 €. Sumados, 56,21 €.

Empiezo por la parte entera: 37 entre 6 es 6 (6 × 6 = 36) y sobra 1.

Ahora bajo la primera cifra decimal, el 8, y a la vez pongo la coma en el cociente. Tengo 18, y 18 entre 6 = 3.

Cociente 6,3, y no sobra nada.

Comprobación con la multiplicación: 6,3 × 6 = 37,8. Sale el dividendo.

Comprobación de tamaño, la que asegura la coma: 6 × 6 = 36 y 7 × 6 = 42, así que el cociente tiene que estar entre 6 y 7. Un 63 o un 0,63 estarían mal colocados.

9 entre 4 es 2 y sobra 1. Para seguir, pongo la coma en el cociente y le añado un cero al resto: tengo 10, y 10 entre 4 es 2, sobran 2.

Añado otro cero: 20 entre 4 es 5 justo. Cociente 2,25.

15 entre 8 es 1 y sobran 7. Con la coma y un cero: 70 entre 8 es 8, porque 8 × 8 = 64, y sobran 6. Otro cero: 60 entre 8 es 7 (56) y sobran 4. Otro más: 40 entre 8 es 5 justo. Cociente 1,875.

Comprobación de las dos con la multiplicación: 2,25 × 4 = 9 y 1,875 × 8 = 15.

Comprobación del tamaño antes de fiarte de la coma: 9 ÷ 4 tiene que estar entre 2 y 3 (4 × 2 = 8 y 4 × 3 = 12), y 15 ÷ 8 entre 1 y 2. Los dos cocientes lo cumplen.

45,6 ÷ 100 = 0,456: la coma se mueve dos lugares a la izquierda, y hay que escribir el 0 de delante para que se vea dónde está.

7,2 ÷ 0,8: el divisor tiene coma, así que multiplico los dos números por 10 para quitarla. Queda 72 ÷ 8 = 9.

Comprobación de la primera: 0,456 × 100 = 45,6. Y de la segunda: 9 × 0,8 = 7,2.

El cociente (9) ha salido mayor que el dividendo (7,2), y está bien: 0,8 es menor que 1 y cabe más de siete veces en 7,2.

Mirar la dirección antes de dar el resultado detecta algunos errores de coma: al dividir entre 100 tiene que salir mucho más pequeño, y al dividir entre 0,8, algo mayor. No basta por sí sola —0,0456 también sería mucho más pequeño que 45,6—, así que la que decide cada resultado es su multiplicación de arriba.

Hay que ver cuántas veces cabe 0,25 en 12,5, y eso es una división: 12,5 ÷ 0,25.

Le quito la coma al divisor multiplicando los dos por 100: 1.250 ÷ 25.

1.250 entre 25 = 50 trozos.

Comprobación: 50 × 0,25 = 12,5 m, la cuerda entera.

Comprobación por otro camino, y este también es exacto: 0,25 m es la cuarta parte de un metro, así que de cada metro salen 4 trozos. De 12 metros, 48 trozos; y del medio metro que queda, 2 más. 48 + 2 = 50.

15 % de 340: divido entre 100 y multiplico por 15. 340 ÷ 100 = 3,4, y 3,4 × 15 = 51.

25 % de 96: el 25 % es la cuarta parte, así que 96 ÷ 4 = 24. Por el camino largo sale lo mismo: 96 ÷ 100 = 0,96 y 0,96 × 25 = 24.

Comprobación del primero por trozos fáciles: el 10 % de 340 es 34 y el 5 % es su mitad, 17. Y 34 + 17 = 51.

Comprobación del segundo con la multiplicación: 24 × 4 = 96, la cantidad de partida.

Mirada de tamaño: los dos porcentajes son menores del 50 %, así que los dos resultados tienen que ser menos de la mitad de su cantidad. 51 es menos que 170, y 24 es menos que 48.

Lo que rebajan: 30 % de 24 → 24 ÷ 100 = 0,24 y 0,24 × 30 = 7,20 €.

Precio nuevo: 24 − 7,20 = 16,80 €.

Otro camino igual de válido y más corto: si rebajan el 30 %, se paga el 70 %, y 24 × 0,70 = 16,80 €. Los dos caminos dan lo mismo.

Comprobación sumando: 16,80 + 7,20 = 24 €, el precio de antes.

Comprobación de tamaño: una rebaja del 30 % no llega a la mitad, así que el precio nuevo tiene que quedar por encima de 12 €. Y 16,80 € lo está.

Divido la parte entre el total: 60 ÷ 250 = 0,24.

Para pasarlo a porcentaje: 0,24 × 100 = 24, así que es el 24 %.

Otro camino sin decimales, buscando la fracción equivalente con 100 abajo: 60/250 simplificada entre 10 es 6/25, y multiplicando arriba y abajo por 4 queda 24/100, que es el 24 %.

Comprobación hacia atrás: 24 % de 250 → 250 ÷ 100 = 2,5 y 2,5 × 24 = 60 alumnos, los del enunciado.

Comprobación de tamaño: 60 es menos de la mitad de 250 (la mitad serían 125), así que el porcentaje tiene que ser menor del 50 %. El 24 % lo es.

3/4: busco la fracción equivalente con 100 abajo. Como 4 × 25 = 100, multiplico también arriba: 3 × 25 = 75. Es el 75 %.

0,6: como fracción es 0,6 = 6/10 = 60/100, y 60/100 es el 60 %. El número que se escribe delante del signo % sale de multiplicar por 100: 0,6 × 100 = 60.

7/20: como 20 × 5 = 100, multiplico arriba por 5: 7 × 5 = 35. Es el 35 %.

Comprobación de la primera con una cantidad: 3/4 de 20 = 15, y el 75 % de 20 → 20 ÷ 100 = 0,2 y 0,2 × 75 = 15. El mismo número.

Comprobación de las otras dos igual: 0,6 × 50 = 30 y el 60 % de 50 = 30; 7/20 de 40 = 14 y el 35 % de 40 = 14.

Primero, lo que vale 1 kg: 6,50 ÷ 5 = 1,30 €.

Después, los 8 kg: 1,30 × 8 = 10,40 €.

Comprobación con la operación contraria: 10,40 ÷ 8 = 1,30 €, el mismo precio por kilo que al principio. Si saliera otro, habría un error en algún paso.

Comprobación de la dirección: 8 kg son más que 5 kg, así que hay que pagar más de 6,50 €. Y 10,40 € es más.

Otro camino válido: 8 kg son 5 kg + 3 kg. Los 3 kg cuestan 1,30 × 3 = 3,90 €, y 6,50 + 3,90 = 10,40 €.

Con un bote se pintan 24 ÷ 3 = 8 m².

Para 56 m²: 56 ÷ 8 = 7 botes.

Comprobación: 7 × 8 = 56 m², justos.

Comprobación de la dirección: 56 m² es más del doble de 24 m², así que hacen falta más del doble de 3 botes, o sea más de 6. Y salen 7.

Aquí la división es exacta y no sobra pintura. Si la pared midiera 60 m², con 7 botes se pintarían 56 y faltaría para 4 m², así que habría que comprar 8.

En 1 hora recorre 180 ÷ 2 = 90 km.

En 5 horas: 90 × 5 = 450 km.

Para 630 km: 630 ÷ 90 = 7 horas.

Comprobación de las dos, dando la vuelta a cada cuenta: 450 ÷ 90 = 5 horas, y 90 × 7 = 630 km.

El enunciado dice «siempre al mismo ritmo», y ese dato hace falta: si el ritmo cambia, estos datos no bastan para saber lo que recorre en 5 horas.

Sumo las cinco notas: 7 + 5 + 8 + 6 + 9 = 35.

Divido entre cuántas son, que son 5: 35 ÷ 5 = 7.

Comprobación de la división: 7 × 5 = 35, la suma de antes. Ojo, comprueba la división: la suma de las cinco notas conviene repetirla aparte, y en otro orden.

Comprobación de que el resultado puede ser ese: la media tiene que quedar entre la nota más baja (5) y la más alta (9). El 7 está dentro.

Que la media coincida con una de las notas es casualidad, no una señal de que esté bien. Lo que la confirma es multiplicarla por el número de datos.

Suma, por trozos para no equivocarse: 12 + 15 + 9 + 20 = 56 y 14 + 18 + 17 = 49. En total 105.

Media: 105 ÷ 7 = 15 tarrinas al día.

Días por encima de la media: los de 20, 18 y 17, o sea 3 días. Por debajo hay otros 3 (12, 14 y 9), y el día de 15 ni sube ni baja.

No hay moda: para que la hubiera tendría que haber un dato repetido, y aquí los siete números son distintos.

Comprobación de la media: 15 × 7 = 105, la suma. Y queda entre el día que menos vendió (9) y el que más (20).

Sumo con la coma debajo de la coma: 1,45 + 1,52 = 2,97 y 1,38 + 1,49 = 2,87. En total 5,84 m.

Divido entre 4: 5,84 ÷ 4 = 1,46 m.

Comprobación: 1,46 × 4 = 5,84, la suma de las cuatro alturas.

La media (1,46 m) queda entre el más bajo (1,38 m) y el más alto (1,52 m). En este grupo no coincide con ninguna de las cuatro alturas, pero puede coincidir con un dato o no; que no coincida no significa que esté mal.

Otra forma de hacer la división, si los decimales molestan: pasa todo a centímetros. 584 cm ÷ 4 = 146 cm, que son 1,46 m.

Si la media de 4 partidos es 6, la suma de los cuatro es 6 × 4 = 24 puntos. Es la media al revés: se deshace multiplicando.

Los tres primeros suman 5 + 8 + 4 = 17.

En el cuarto hizo 24 − 17 = 7 puntos.

Comprobación: (5 + 8 + 4 + 7) ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6, la media que pedía el enunciado.

Comprobación de tamaño sin dividir: si esos tres tuvieran ya de media 6, sumarían 3 × 6 = 18, y solo suman 17. Como se quedan cortos, el cuarto tiene que pasar de 6. Y 7 pasa.

3,4 km = 3.400 m. De km a m se multiplica por 1.000: la coma se mueve tres lugares a la derecha y hay que rellenar con ceros.

250 g = 0,25 kg. De g a kg se divide entre 1.000: tres lugares a la izquierda.

0,75 l = 750 ml. De litros a mililitros se multiplica por 1.000.

Comprobación de la dirección, que caza los cambios hechos al revés y solo eso, porque no confirma el número exacto: el metro es más pequeño que el kilómetro, así que tienen que salir más (3.400 es más que 3,4); el kilo es más grande que el gramo, así que tienen que salir menos (0,25 es menos que 250).

Segunda comprobación con medidas que ya conoces: 3 km son 3.000 m y 0,4 km son 400 m, y 3.000 + 400 = 3.400 m. Y 0,25 kg es la cuarta parte de un kilo, que son 250 g.

Las dos medidas están en unidades distintas, así que primero las igualo. Paso el saco a gramos: 12,5 × 1.000 = 12.500 g.

Divido: 12.500 ÷ 500 = 25 bolsas.

Comprobación: 25 × 500 = 12.500 g, que son los 12,5 kg del saco.

Otro camino igual de válido, pasando la bolsa a kilos: 500 g = 0,5 kg, y 12,5 ÷ 0,5 = 25. Mismo resultado; solo cambia la unidad con la que trabajas.

Comprobación estimando: en 1 kg caben 2 bolsas de medio kilo, así que en 12 kg caben 24, y en el medio kilo que sobra, una más. 25.

Área: largo × ancho = 4,5 × 3 = 13,5 m².

Para pasarlo a centímetros cuadrados hay que saber que 1 m² = 10.000 cm², porque un cuadrado de 1 m de lado son 100 cm × 100 cm.

13,5 × 10.000 = 135.000 cm².

Comprobación por el otro camino, pasando primero las medidas: 4,5 m son 450 cm y 3 m son 300 cm, y 450 × 300 = 135.000 cm². Coincide.

▲ En superficie los saltos son de 100 en 100, no de 10 en 10 como en las longitudes. Multiplicando por 100 saldrían 1.350 cm², que es más o menos lo que ocupan dos folios: un salón no cabe ahí.

Complementario es lo que le falta para 90°: 90 − 35 = 55°.

Suplementario es lo que le falta para 180°: 180 − 35 = 145°.

Comprobación sumando: 35 + 55 = 90 y 35 + 145 = 180. Las dos cuadran.

Los resultados dicen algo más: 55° es agudo (menos de 90°) y 145° es obtuso (más de 90° y menos de 180°).

Si confundes las dos palabras, las restas te avisan: el suplementario sale bastante mayor, y la diferencia entre los dos resultados es de 90° (145 − 55 = 90), porque 180 es 90 más que 90.

Triángulo: base × altura ÷ 2 = 14 × 9 ÷ 2. Primero 14 × 9 = 126, y después 126 ÷ 2 = 63 cm².

Rectángulo con la misma base y la misma altura: 14 × 9 = 126 cm².

El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo, y por eso la fórmula lleva el ÷ 2.

Comprobación: 63 × 2 = 126. El doble del triángulo es el rectángulo, como tenía que ser.

Si te sale más fácil, puedes dividir antes de multiplicar: 14 ÷ 2 = 7 y 7 × 9 = 63. Da lo mismo.

Rectángulo: 60 × 40 = 2.400 cm².

Triángulo: base × altura ÷ 2 = 60 × 25 ÷ 2. Primero 60 × 25 = 1.500, y 1.500 ÷ 2 = 750 cm².

Superficie del cartel: 2.400 + 750 = 3.150 cm².

Comprobación de tamaño del triángulo: tiene la misma base que el rectángulo pero menos altura, y además es la mitad de un rectángulo, así que su área tiene que ser bastante menor que 2.400 cm². Y 750 lo es.

Si lo quieres en metros cuadrados, divide entre 10.000: 3.150 ÷ 10.000 = 0,315 m², menos de un tercio de metro cuadrado.

Hazte un croquis en el cuaderno, que aquí ayuda mucho: dibuja un rectángulo apaisado, escribe 12 m arriba y 8 m en el lado derecho, y quítale un cuadrado de 5 m de lado en una esquina. Apunta lo que miden los dos lados que quedan cortados: 12 − 5 = 7 m y 8 − 5 = 3 m.

Área: el rectángulo entero mide 12 × 8 = 96 m², y el cuadrado que falta, 5 × 5 = 25 m². La parcela tiene 96 − 25 = 71 m².

Perímetro: el borde tiene seis lados: los dos enteros del rectángulo (12 m y 8 m), los dos cortados (7 m y 3 m) y los dos del escalón que deja el cuadrado (5 m y 5 m). Sumados: 12 + 8 + 7 + 5 + 5 + 3 = 40 m.

Comprobación del perímetro, y de paso algo que sorprende: el rectángulo entero medía (12 + 8) × 2 = 40 m, lo mismo. Los 5 m + 5 m del escalón ocupan justo el sitio de los 5 m + 5 m que se le quitaron al borde de fuera: el área baja, pero el borde mide igual.

Ampliación, para comprobar el área por otro camino: parte la parcela en dos rectángulos, uno de 7 × 8 = 56 m² y otro de 5 × 3 = 15 m². Y 56 + 15 = 71 m².

−8 < −5 < −2 < 0 < 3 < 7

Separa primero los negativos (−5, −2 y −8) de los positivos (3 y 7): los negativos van antes del 0 y los positivos después.

Entre los negativos, el menor es el que está más lejos del cero: primero −8, luego −5 y luego −2.

Comprobación pensando en temperaturas: coloca los seis del más frío al más cálido y mira si te sale la misma fila. Ocho grados bajo cero es el más frío y siete sobre cero el más cálido, pero hay que colocarlos todos, no solo los extremos.

▲ Con los negativos, el número mayor detrás del signo es el más pequeño: −8 es menor que −2, aunque 8 sea mayor que 2.

Ha subido 13 °C.

Cuenta en dos tramos, porque por el camino se pasa por el cero: de −4 hasta 0 sube 4 grados, y de 0 hasta 9 sube 9 más.

4 + 9 = 13 grados.

Comprobación hacia atrás: si a −4 le sumas los 13 grados que ha subido, tienes que llegar a 9. De −4 subiendo 4 llegas a 0, y te quedan 9 por subir: 9 °C. Correcto.

Cuidado con restar 9 − 4 = 5: esa sería la subida si por la mañana hubiera habido 4 grados sobre cero. Como estaba bajo cero, los dos tramos se suman, y la subida es mayor que la temperatura de mediodía.

De −2 subiendo 5, contando de una en una y sin saltarse el 0, que es la calle: −2 → −1 → 0 → 1 → 2 → 3. Sube 2 plantas hasta el 0 y le quedan 3: se para en la planta 3.

Desde la planta 3 bajando 6: baja 3 plantas hasta el 0 y le quedan 3 por bajar, ahora por debajo. Acaba en el sótano −3.

Comprobación de los dos pasos con la operación contraria: desde la planta 3, bajando las 5 que había subido, se vuelve al −2 (3 hasta el 0 y 2 más abajo); y desde el sótano −3, subiendo 6, se vuelve a la planta 3. Los dos puntos de partida salen otra vez.