Ejercicios Resueltos de Matrices y Determinantes Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de matrices y determinantes resueltos para 2º de Bachillerato: operaciones, determinantes (Sarrus y propiedades), matriz inversa, rango y ecuaciones matriciales. Las matrices se escriben por filas, separadas por punto y coma: (1 2 ; 3 4) es la matriz de primera fila 1, 2 y segunda fila 3, 4.
Ejercicios de matrices para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Operaciones con matrices
Recuerda: el producto A·B solo existe si el número de columnas de A es igual al de filas de B, y en general A·B ≠ B·A.
1Dadas A = (1 2 ; 3 −1) y B = (0 1 ; 2 4), calcula 2A − B, A·B y B·A.
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A·B: fila por columna. Primera fila: 1·0 + 2·2 = 4; 1·1 + 2·4 = 9. Segunda fila: 3·0 + (−1)·2 = −2; 3·1 + (−1)·4 = −1. A·B = (4 9 ; −2 −1).
B·A = (3 −1 ; 14 0).
Como A·B ≠ B·A, el producto de matrices no es conmutativo.
2Dada C = (1 3 0 ; 2 −1 4), calcula su traspuesta Ct y el producto C·Ct. ¿Qué tiene de especial el resultado?
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C·Ct es 2×2: (10 −1 ; −1 21).
Es una matriz simétrica (igual a su traspuesta): el producto de una matriz por su traspuesta siempre lo es.
3Calcula A2, A3 y deduce An para A = (1 1 ; 0 1).
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Se ve el patrón: An = (1 n ; 0 1).
Se demuestra por inducción: si An = (1 n ; 0 1), entonces An+1 = An·A = (1 n+1 ; 0 1).
2. Determinantes
Determinante 2×2: ad − bc. Determinante 3×3: regla de Sarrus o desarrollo por una fila o columna.
4Calcula el determinante de D = (2 1 0 ; 1 3 −1 ; 0 2 1).
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|D| = 2·(3·1 − (−1)·2) − 1·(1·1 − (−1)·0) + 0 = 2·5 − 1·1 = 9.
Con Sarrus: (2·3·1 + 1·(−1)·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·(−1)·2 + 1·1·1) = 6 − (−4 + 1) = 6 + 3 = 9. Coinciden.
5¿Para qué valores de k se anula el determinante de (k 1 1 ; 1 k 1 ; 1 1 k)?
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k = 1 es raíz (1 − 3 + 2 = 0). Por Ruffini: k3 − 3k + 2 = (k − 1)2(k + 2).
Se anula para k = 1 y k = −2. Para cualquier otro valor, |M| ≠ 0.
6Si A es una matriz 3×3 con |A| = 3, calcula |2A|, |At|, |A2| y |A−1|.
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|At| = |A| = 3.
|A2| = |A|·|A| = 9.
|A−1| = 1/|A| = 1/3.
Error típico: pensar que |2A| = 2·|A|. El factor sale elevado al orden de la matriz.
3. Matriz inversa y rango
Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es 0. Fórmula: A−1 = (1/|A|)·(Adj A)t.
7Calcula la inversa de A = (2 1 ; 5 3) y comprueba el resultado.
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En 2×2: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante:
A−1 = (3 −1 ; −5 2).
Comprobación: A·A−1 = (6−5 −2+2 ; 15−15 −5+6) = (1 0 ; 0 1) = I.
8Calcula la inversa de la matriz 3×3 E = (1 0 1 ; 0 1 1 ; 1 1 0).
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Matriz de adjuntos (cada elemento, con su signo): Adj E = (−1 1 −1 ; 1 −1 −1 ; −1 −1 1). Es simétrica, así que su traspuesta es ella misma.
E−1 = (1/(−2))·Adj E = (1/2 −1/2 1/2 ; −1/2 1/2 1/2 ; 1/2 1/2 −1/2).
Comprobación: E·E−1 = I (por ejemplo, primera fila por primera columna: 1/2 + 0 + 1/2 = 1).
9¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz (m 1 ; 4 m)?
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Tiene inversa para m ≠ 2 y m ≠ −2.
10Calcula el rango de F = (1 2 3 ; 2 4 6 ; 1 0 1).
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Buscamos un menor 2×2 no nulo: con las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2, |(1 2 ; 1 0)| = 0 − 2 = −2 ≠ 0.
Rango(F) = 2.
4. Ecuaciones matriciales
Se despeja la matriz incógnita multiplicando por la inversa por el lado correcto: el producto no es conmutativo.
11Resuelve A·X = B con A = (2 1 ; 5 3) y B = (1 0 ; 2 1).
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Con A−1 = (3 −1 ; −5 2) (ejercicio anterior): X = (1 −1 ; −1 2).
Comprobación: A·X = (2−1 −2+2 ; 5−3 −5+6) = (1 0 ; 2 1) = B.
12Resuelve X·A + B = C con A y B como antes y C = (3 1 ; 7 5).
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X = (2 1 ; 5 4)·(3 −1 ; −5 2) = (1 0 ; −5 3).
Comprobación: X·A + B = (2 1 ; 5 4) + (1 0 ; 2 1) = (3 1 ; 7 5) = C.
Matrices y determinantes: repaso de fórmulas
Lo que hay que dominar para el examen:
- Producto: (m×n)·(n×p) = m×p. No conmutativo.
- Determinante 3×3: Sarrus o desarrollo por adjuntos. |A·B| = |A|·|B|; |kA| = kn|A|.
- Inversa: existe si |A| ≠ 0; A−1 = (1/|A|)·(Adj A)t.
- Rango: orden del mayor menor no nulo.
- Ecuaciones: AX = B → X = A−1B; XA = B → X = BA−1.
Propiedades de los determinantes
Las que más se usan para simplificar cálculos.
Qué le pasa al determinante si…
| Si… | el determinante… |
|---|---|
| se intercambian dos filas | cambia de signo |
| una fila se multiplica por k | queda multiplicado por k |
| dos filas son iguales o proporcionales | vale 0 |
| a una fila se le suma otra multiplicada por un número | no cambia |
| se traspone la matriz | no cambia |
| la matriz es triangular | es el producto de la diagonal |
Dudas sobre matrices
¿Cuándo tiene inversa una matriz?
Cuando es cuadrada y su determinante es distinto de 0. Si el determinante es 0, la matriz se llama singular y no tiene inversa. Las matrices no cuadradas nunca tienen inversa.
¿Gauss o adjuntos para la inversa?
Los dos métodos dan lo mismo. Para 2×2, la fórmula directa es lo más rápido. Para 3×3, los adjuntos van bien si hay ceros; el método de Gauss-Jordan (poner (A | I) y transformar hasta (I | A−1)) suele dar menos errores con números grandes.
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