Ejercicios Resueltos Tecnología 2 de ESO 2026 / 2027

a) El orden es este: escribir qué necesita quien va a usar el objeto; consultar cómo han resuelto otros un problema parecido; decidir la forma, las medidas y los materiales; repartir las tareas y el tiempo; construir el prototipo; comprobar si cumple lo que se pedía.

b) La primera es detectar la necesidad. La segunda, buscar información. La tercera es el diseño, porque ahí se toman las decisiones sobre el objeto. La cuarta es la planificación, que reparte trabajo y tiempo. La quinta es la construcción y la sexta, la evaluación.

c) Porque hasta que no está decidido qué se va a construir no se sabe qué tareas hay. Tampoco se sabe cuánto tiempo pide cada una. Y porque el reparto sirve para que dos personas no hagan lo mismo y para que nadie espere sin material. Repartir después de construir no ordenaría nada: ya estaría todo hecho o todo atascado.

El apartado (b) enseña algo que conviene no olvidar: diseñar y planificar suenan parecido y son fases distintas. Diseñar decide cómo es el objeto; planificar decide cómo se hace.

Comprueba este paso: recorre tu orden tarea por tarea y pregúntate qué dato hace falta para arrancar cada una. Si ese dato lo produce una tarea que has puesto más abajo, las dos están cambiadas de sitio.

a) Los listones suman 3 × 2,40 = 7,20 €. Con la plancha y los tornillos: 7,20 + 8,80 + 4,00 = 20,00 € de materiales.

b) La mano de obra son 5 × 6,00 = 30,00 €. Un presupuesto suma las dos partidas por separado y después las junta: 20,00 + 30,00 = 50,00 € antes de impuestos.

c) El impuesto es el 21 % de esa cantidad: 50,00 × 0,21 = 10,50 €. El precio final es 50,00 + 10,50 = 60,50 €.

Fíjate en que el impuesto se aplica al total, no solo a los materiales. Si se aplicara únicamente a los 20,00 € de material saldrían 4,20 € y el presupuesto quedaría corto.

Comprobación: haz el apartado (c) por el otro camino. Pagar el precio más un 21 % es pagar el 121 % del precio. O sea 50,00 × 1,21 = 60,50 €. Las dos vías desembocan en la misma cifra. Y si una te falla es que has multiplicado por 0,21 donde tocaba 1,21 o al contrario.

a) En el problema 1 hay que volver al diseño: la forma o el material elegidos no aguantan el peso del móvil en esa posición. En el problema 2 hay que volver más atrás todavía, a detectar la necesidad. En el problema 3 lo que falló fue la planificación.

b) Porque el soporte hace aquello para lo que se pensó. Lo que ha fallado es el reparto del tiempo y de las tareas. Y eso no está dentro del soporte. Se arregla estimando mejor cuánto dura cada tarea y dejando margen para las que se atascan.

c) Preguntar a quien iba a usarlo. Y anotar sus medidas antes de decidir nada del objeto. Esa pregunta es justo el contenido de la primera fase. Y saltársela deja un objeto bien hecho que no sirve.

Los tres problemas enseñan lo mismo por tres caminos: la evaluación no dice solo «sí» o «no», dice dónde está el fallo. Y el proceso vuelve a esa fase, no siempre a la de antes.

Una pista que avisa: localiza la fase preguntándote en cuál se tomó la decisión que ha salido mal. Si la decisión equivocada fue sobre el objeto, es diseño. Si fue sobre el trabajo, es planificación. Y si nadie llegó a tomarla, casi seguro que falta información de la primera fase.

a) Se divide la masa entre el volumen: (675 g) ÷ (250 cm³) = 2,7 g/cm³. Las unidades salen solas, y esa es la primera señal de que la división va en el sentido bueno.

b) Ese valor coincide con el del aluminio. Así que la pieza es de aluminio.

c) Con la misma forma, el volumen no cambia: solo cambia el material. En cobre: (250 cm³) × (8,9 g/cm³) = 2.225 g. En PVC: (250 cm³) × (1,4 g/cm³) = 350 g.

Los tres resultados ordenan los materiales por peso para una misma pieza. El cobre da la pieza más pesada de las tres y el PVC, la más ligera.

Comprobación: deshaz el apartado (a) multiplicando: (250 cm³) × (2,7 g/cm³) = 675 g, la masa del enunciado. Si hubieras dividido al revés, 250 ÷ 675, te habría salido 0,37. Y las unidades habrían quedado en cm³/g, que no es lo que se pedía.

a) En A destaca la dureza, porque cuesta rayarlo; y a la vez la fragilidad, porque se parte de un golpe. En B, la ductilidad: es la que deja llegar al hilo. En C, la elasticidad. Y en D, la maleabilidad, que es la que permite extenderlo en láminas.

b) El adecuado es B. Un cable es un hilo largo y fino. Y conseguir un hilo sin que el material se rompa por el camino es exactamente lo que describe la ductilidad.

c) Porque una cabeza de martillo recibe golpes. Y el material A se parte al recibirlos. Lo que hace falta ahí es tenacidad, la propiedad opuesta a la fragilidad.

El material A es el caso interesante de los cuatro: es el más duro de todos y a la vez el que peor aguanta un golpe. Ser duro y ser tenaz no van juntos por obligación.

Una pista que avisa: escribe en una línea, antes de elegir el material, qué le va a pasar a la pieza mientras se usa: si la van a rayar, si la van a golpear, si la van a doblar. La propiedad que decide es la que se opone a eso. Si no puedes escribir esa línea, todavía no sabes qué propiedad estás buscando.

a) En aluminio: (48 cm³) × (2,7 g/cm³) = 129,6 g.

b) En cobre: (48 cm³) × (8,9 g/cm³) = 427,2 g.

c) Se dividen las dos masas: (427,2 g) ÷ (129,6 g) = 3,296…, o sea unas 3,3 veces. El cociente sale sin unidad, porque se han dividido dos masas.

Ese resultado no depende del volumen que tenga la pieza. Dividiendo los dos datos del enunciado, 8,9 ÷ 2,7, sale ese mismo número. Cualquier pieza de cobre pesa eso más que la de aluminio con su misma forma.

Comprobación: comprueba el apartado (c) multiplicando hacia atrás: 129,6 × 3,296… = 427,2 g. Y si el cociente te hubiera salido menor que 1, sabrías sin más que lo has hecho al revés. Porque el cobre es el más pesado de los dos.

a) P es un termoplástico. Porque el calor lo ablanda y admite una forma nueva. Q es un termoestable. R es un elastómero.

b) El que admite volver al molde es P. Eso deja abierto el camino de reciclado más directo que hay: triturar las piezas viejas, fundirlas y fabricar piezas nuevas con el mismo material.

Con Q ese camino está cerrado. Porque el calor lo destruye en vez de ablandarlo. Sus piezas usadas hay que aprovecharlas de otra forma, por ejemplo triturándolas para usarlas como relleno de otro material.

c) La junta pide R. Una junta tiene que aplastarse al cerrar la tapa y volver a su forma al abrirla, tantas veces como haga falta; eso es lo que hace un elastómero.

Comprueba este paso: vuelve al apartado (a) y pregúntate por el calor en cada caso. La palabra clave está dentro de los nombres: uno se vuelve plástico con el calor y el otro se mantiene estable. Si dudas entre esos dos, el que cambia de forma al calentarse es el primero.

a) El cobre es el 70 %: 400 × 0,70 = 280 g de cobre. El cinc es el resto, el 30 %: 400 × 0,30 = 120 g de cinc.

b) Primero paso la masa a gramos: 1,5 kg = 1.500 g. Con las mismas proporciones: 1.500 × 0,70 = 1.050 g de cobre y 1.500 × 0,30 = 450 g de cinc.

c) Porque ninguno de los dos metales que lo forman es hierro. Un material es férrico cuando tiene hierro como base. Y aquí la base es el cobre.

La proporción es lo que define la aleación, no las cantidades. Con 400 g o con 1.500 g el latón es el mismo material. Y por eso las dos respuestas guardan la misma relación entre cobre y cinc.

Comprobación: suma las dos masas de cada apartado y tienen que dar la masa de partida. En el (a), 280 + 120 = 400. En el (b), 1.050 + 450 = 1.500. Si la suma no cuadra, te has dejado un porcentaje por el camino o has usado el 30 % donde iba el 70 %.

a) Férricas: la barra de acero y la pieza de fundición. Porque las dos tienen hierro como base. No férricas: el tubo de cobre y la chapa de aluminio.

b) El hierro del acero reacciona con el oxígeno del aire en presencia de humedad y se oxida. Esa capa de óxido se va desprendiendo y deja debajo metal sin proteger, de modo que la pieza pierde material y resistencia mecánica. Dos formas de evitarlo: recubrirla, por ejemplo con pintura o con una capa de otro metal, o usar un acero aleado que resista la intemperie.

c) Lo que los separa es el comportamiento de la capa que se forma. En el acero, el óxido se desprende y el ataque continúa hacia dentro. En el aluminio, la capa queda pegada a la superficie, la tapa y frena la reacción. Así que el metal de debajo se queda intacto.

Por eso una pieza de aluminio de una ventana aguanta años a la intemperie sin pintar. Una de acero en el mismo sitio, no.

Una pista que avisa: al clasificar un metal, busca la palabra hierro en su composición, no en su aspecto. El aluminio y el acero pulidos se parecen bastante y no tienen nada que ver; un imán, en cambio, se pega al acero corriente y no se pega al aluminio.

a) La pieza 1 trabaja a tracción. Porque el peso de la lámpara tira de ella hacia abajo y el techo la sujeta hacia arriba. La 2, a compresión. La 3, a flexión. La 4, a torsión. La 5, a cortadura.

b) En la pieza 1 la fuerza va en la misma dirección que el cable y lo estira entero por igual. En la pieza 3 la fuerza es perpendicular al estante, así que lo dobla: la cara de arriba se acorta y la de abajo se alarga a la vez. Por eso la pieza 3 sufre las dos cosas al mismo tiempo y en sitios distintos.

c) Porque una pieza esbelta sometida a compresión no falla aplastándose: se arquea de lado y se vence. Cuanto más larga y delgada es, con menos carga empieza a arquearse. Ese es el motivo de que las patas largas se refuercen con travesaños, que acortan el tramo libre.

El apartado (a) enseña lo que de verdad decide el esfuerzo. No es el nombre de la pieza ni su forma: es hacia dónde tira la fuerza respecto a ella.

Una pista que avisa: imagina dos flechas dibujadas sobre la pieza y pregúntate qué le harían si el material fuese de plastilina. Si se alargaría, tracción. Si se acortaría, compresión. Si se doblaría, flexión. Si se retorcería, torsión. Y si quedaría partida en dos por una línea, cortadura.

a) Se reparte la carga total entre las cuatro: (1.200 N) ÷ 4 = 300 N por pata.

b) Ahora el mismo peso lo aguantan tres: (1.200 N) ÷ 3 = 400 N por pata.

c) El aumento es la diferencia: 400 – 300 = 100 N más en cada una.

Eso explica por qué una estructura a la que le falta un apoyo suele venirse abajo aunque el peso no haya cambiado. No ha entrado ni un newton nuevo: lo que ha cambiado es entre cuántos elementos se reparte.

Comprobación: multiplica el resultado de cada apartado por el número de patas que lo soportan. En el (a), 4 × 300 = 1.200. En el (b), 3 × 400 = 1.200. Las dos tienen que devolver la carga total del enunciado. Porque el peso del tablero no ha variado.

a) Hacen falta cinco, una en cada cuadrado, cualquiera de las dos diagonales de cada uno. Al añadirla, cada cuadrado queda partido en dos triángulos. Y un triángulo no puede cambiar de forma sin que alguna barra cambie de longitud.

b) Con ocho cuadrados hace falta una diagonal por cuadrado, o sea ocho diagonales. La cuenta es directa: tantas diagonales como cuadrados.

c) No lo resuelve. Ese cuadrado quedaría rigidizado varias veces, lo cual no aporta nada nuevo. Y los otros cuatro seguirían sin ninguna diagonal. Cada uno de ellos podría seguir venciéndose por su cuenta. Y con eso la estructura entera se deforma.

La triangulación funciona por sitios, no por cantidad. Lo que importa no es cuántas barras se añaden, sino que no quede ningún cuadrilátero suelto.

Comprueba este paso: recorre la estructura cuadrado a cuadrado y pregúntate si cada uno tiene ya su diagonal. En cuanto encuentres uno sin ella, ahí está el punto por donde se va a deformar. Da igual cuántas diagonales haya en los demás.

a) Para pasar del plano a la realidad se multiplica por 50: (8 cm) × 50 = 400 cm, que son 4 m.

b) Ahora el camino es el contrario, así que se divide entre 50. La puerta mide 2 m, o sea 200 cm: (200 cm) ÷ 50 = 4 cm en el plano.

c) Significa que cada unidad de longitud medida sobre el plano corresponde a 50 unidades iguales en la realidad. Un centímetro de papel son 50 cm reales; un milímetro de papel, 50 mm reales.

El número de la izquierda es el del dibujo y el de la derecha, el de la realidad. Al ser el primero menor que el segundo, la escala reduce.

Comprobación: comprueba el apartado (a) haciendo el camino de vuelta: (400 cm) ÷ 50 = 8 cm, la medida del plano. Y hay una señal de tamaño que avisa antes de calcular nada: en una escala de reducción el objeto sale por fuerza más grande que su dibujo. Si te sale menor, has multiplicado donde tocaba dividir.

a) La escala 5:1 amplía cinco veces. Porque el número del dibujo es el mayor: (3 mm) × 5 = 15 mm en el dibujo.

b) Al revés, se divide entre 5: (42,5 mm) ÷ 5 = 8,5 mm de medida real.

c) Paso la fachada a centímetros: 12 m = 1.200 cm. Con 1:20 ocuparía 1.200 ÷ 20 = 60 cm, y no cabe en 30. Con 1:50 ocuparía 1.200 ÷ 50 = 24 cm, y cabe. Con 1:100 ocuparía 1.200 ÷ 100 = 12 cm, y también cabe. Pero deja el dibujo mucho más pequeño de lo necesario. La adecuada es 1:50.

El criterio del apartado (c) es aprovechar el papel: entre las escalas que caben se elige la que da el dibujo más grande. Porque así se ven mejor los detalles y las cotas.

Comprueba este paso: los resultados de los apartados (a) y (b) tienen que ir en el sentido que anuncia la escala. En 5:1 el dibujo tiene que salir mayor que la pieza. Si en algún apartado te sale más pequeño, has aplicado la escala al revés.

a) Por convenio, las cotas de un plano de taller se escriben en milímetros. La unidad no se repite en cada una. Así que la pieza mide 84 mm de verdad.

b) Sobre el papel la medida es la mitad. Porque la escala 1:2 reduce a la mitad: (84 mm) ÷ 2 = 42 mm.

c) La cota sigue poniendo 84. Una cota da la medida de la pieza, no la del dibujo. Y la pieza no ha cambiado de tamaño porque la dibujemos más pequeña. Lo que cambia con la escala es lo que mide el papel: a 1:5 serían 84 ÷ 5 = 16,8 mm.

De ahí sale la ventaja de acotar: quien fabrica la pieza lee el número. No necesita saber a qué escala está el plano ni acercar una regla al papel.

Comprobación: deshaz el apartado (b) multiplicando por la escala: 42 × 2 = 84 mm, la cota del enunciado. Si esa vuelta no te da la cota, hay dos posibilidades. O has dividido donde tocaba multiplicar, o has usado el número equivocado de la escala.

a) De la ley de Ohm, V = I × R, se despeja I = V ÷ R: (12 V) ÷ (4 Ω) = 3 A. Las unidades lo confirman, porque un voltio dividido entre un ohmio da un amperio.

b) Con el generador nuevo: (24 V) ÷ (4 Ω) = 6 A.

c) Se duplica también. Se trata de una división. Si el numerador se hace el doble y el denominador no cambia, el resultado se hace el doble: 3 A pasan a 6 A.

Ese comportamiento vale mientras la resistencia eléctrica del receptor se mantenga, tal como indica el enunciado. En un receptor real la resistencia puede variar al calentarse. Y entonces la cuenta ya no sale tan redonda.

Comprobación: deshaz la ley de Ohm multiplicando. En el apartado (a), (3 A) × (4 Ω) = 12 V, la tensión del enunciado. Si hubieras dividido al revés, 4 ÷ 12, habrías obtenido 0,33. Al multiplicarlo por 4 saldrían 1,33 V, que no es la tensión de la que partías.

a) Se despeja R = V ÷ I: (9 V) ÷ (0,5 A) = 18 Ω. Dividir entre un número menor que uno hace crecer el resultado. Y por eso 18 es mayor que 9.

b) Aquí la ley se aplica sin despejar nada: V = I × R = (1,5 A) × (18 Ω) = 27 V.

c) Porque la resistencia eléctrica no depende de lo que se le aplique: depende del propio receptor, de su material, de su longitud y de su grosor. La tensión y la intensidad cambian juntas. Y lo hacen de manera que el cociente entre las dos se mantiene.

En el apartado (b) la intensidad se ha multiplicado por tres respecto al enunciado, y la tensión también: 9 × 3 = 27. Es la misma proporción vista por el otro lado.

Comprobación: comprueba el apartado (b) volviendo a dividir: (27 V) ÷ (18 Ω) = 1,5 A, la intensidad con la que empezaba el apartado (b). Y fíjate en las unidades del apartado (a): V ÷ A tiene que dar Ω. Así que si tu resultado sale en amperios, la división está hecha del revés.

a) I = V ÷ R = (9 V) ÷ (180 Ω) = 0,05 A.

b) Como un amperio equivale a mil miliamperios, hay que multiplicar por mil: 0,05 × 1.000 = 50 mA.

c) Aquí hay que pasar primero la intensidad a amperios. Porque la ley de Ohm trabaja con las tres unidades principales: 250 ÷ 1.000 = 0,25 A. Y entonces R = V ÷ I = (5 V) ÷ (0,25 A) = 20 Ω.

Si en el apartado (c) se hubieran metido los 250 directamente en la fórmula, el resultado habría sido 0,02 Ω: mil veces más pequeño que el bueno. Y nada en la cuenta habría avisado.

Comprueba este paso: mira si el cambio de unidad lleva el número en el sentido que toca. Un amperio es mucho más grande que un miliamperio. Así que al pasar de amperios a miliamperios el número tiene que crecer, y al revés, menguar. Es lo que separa 0,05 de 50.

a) Estando en serie, los dos valores se acumulan: 6 + 12 = 18 Ω.

b) Con la resistencia total y la tensión del generador: I = V ÷ R = (36 V) ÷ (18 Ω) = 2 A. Esa intensidad es la misma en todo el circuito, porque hay un único camino.

c) En cada resistencia se aplica la ley de Ohm con esa intensidad común. En la de 6 Ω: (2 A) × (6 Ω) = 12 V. En la de 12 Ω: (2 A) × (12 Ω) = 24 V.

A la resistencia de más valor le toca la tensión más alta, y en idéntica proporción: 12 Ω es el doble de 6 Ω. Y 24 V es el doble de 12 V.

Comprobación: suma las dos tensiones del apartado (c): 12 + 24 = 36 V, exactamente la del generador. Ese reparto tiene que cerrar; si tus dos tensiones suman más o menos que la del generador, hay un error. Estará en la intensidad o en alguna de las dos multiplicaciones.

a) En paralelo se combinan los inversos: 1 ÷ R = 1 ÷ 6 + 1 ÷ 12. Paso las dos fracciones a doceavos: 1 ÷ 6 son 2 ÷ 12. Y 2 ÷ 12 + 1 ÷ 12 = 3 ÷ 12, que se simplifica a 1 ÷ 4. Si 1 ÷ R vale 1 ÷ 4, entonces R = 4 Ω.

b) En paralelo las dos ramas están sometidas a la misma tensión, la del generador. En la de 6 Ω: (36 V) ÷ (6 Ω) = 6 A. En la de 12 Ω: (36 V) ÷ (12 Ω) = 3 A.

c) La intensidad total sale de acumular las dos ramas: 6 + 3 = 9 A. Y usando la resistencia total: (36 V) ÷ (4 Ω) = 9 A. Los dos caminos coinciden.

Fíjate en el reparto: por la rama de menos resistencia pasa más intensidad. Es lo contrario de lo que pasaba con las tensiones en serie.

Comprobación: mira el tamaño del resultado del apartado (a) antes de seguir. En paralelo la resistencia total tiene que salir menor que la menor de las dos, o sea menor que 6 Ω. Los 4 Ω lo cumplen. Si hubieras sumado, como en serie, habrías obtenido 18 Ω, que es mayor que las dos. Y eso delata el error sin necesidad de más cuentas.

a) En el montaje en serie la otra lámpara también se apaga. Como hay un único camino, la lámpara fundida lo corta y ya no circula corriente por ninguna parte. En el montaje en paralelo la otra sigue encendida. Cada una dispone de su propia vía entre los dos mismos bornes, y la de la que queda no se ha tocado.

b) Conviene el paralelo. Además de que una lámpara fundida no apaga las demás, todas reciben la misma tensión. Así que todas alumbran igual y se pueden encender y apagar por separado.

c) En serie: R = 12 + 12 = 24 Ω, y entonces I = (12 V) ÷ (24 Ω) = 0,5 A. Con una sola lámpara: I = (12 V) ÷ (12 Ω) = 1 A.

El apartado (c) explica de paso otra pega del montaje en serie: al añadir lámparas sube la resistencia total, baja la intensidad y cada lámpara alumbra menos que si estuviera sola.

Comprueba este paso: sigue con el dedo lo que has contestado en el apartado (a). Recorre el camino de la corriente desde un polo de la pila hasta el otro. Si al llegar a la lámpara fundida no hay ningún desvío posible, el circuito está cortado. Si hay un desvío, el montaje es paralelo.

a) Las dos ramas son iguales: 1 ÷ R = 1 ÷ 10 + 1 ÷ 10 = 2 ÷ 10 = 1 ÷ 5, o sea R = 5 Ω. Cuando las dos resistencias en paralelo son iguales, la equivalente es la mitad de una de ellas.

b) Ese grupo se comporta ahora como una resistencia de 5 Ω colocada en serie con la otra de 5 Ω. Así que la resistencia total es 5 + 5 = 10 Ω. La intensidad del generador es I = (20 V) ÷ (10 Ω) = 2 A.

c) Esa intensidad de 2 A atraviesa las dos partes, porque están en serie. En el grupo en paralelo: (2 A) × (5 Ω) = 10 V. En la resistencia de 5 Ω: (2 A) × (5 Ω) = 10 V.

Dentro del grupo en paralelo, esos 10 V se aplican a cada una de las dos resistencias de 10 Ω. Así que por cada rama circula (10 V) ÷ (10 Ω) = 1 A. Las dos ramas suman los 2 A del generador.

Comprobación: mira el tamaño del resultado del apartado (a): en paralelo tiene que salir menor que 10 Ω, y sale 5 Ω. ▲ Esta es la comprobación que hay que hacer aquí, y no la de sumar las tensiones del apartado (c): si alguien sumara las dos de 10 Ω como si fueran serie, obtendría 25 Ω de total y 0,8 A de intensidad. Sus dos tensiones serían 16 V y 4 V, que también suman 20 V. Esa suma cuadra con el error puesto, así que no delata nada.

a) P = V × I = (230 V) × (2 A) = 460 W. La unidad viene de la definición misma: un voltio multiplicado por un amperio da un vatio.

b) Un kilovatio son mil vatios, así que se divide entre 1.000: 460 ÷ 1.000 = 0,46 kW.

c) Despejando en P = V × I queda I = P ÷ V, o sea (1.150 W) ÷ (230 V) = 5 A.

Los dos aparatos están en la misma red, o sea a la misma tensión. Así que el que tiene más potencia es el que deja pasar más intensidad. El segundo tiene dos veces y media la potencia del primero y también dos veces y media su intensidad.

Comprobación: deshaz el apartado (c) multiplicando: (5 A) × (230 V) = 1.150 W, la potencia del enunciado. Y revisa el apartado (b) mirando el sentido del cambio de unidad: el kilovatio es mayor que el vatio. Así que al pasar a kilovatios el número tiene que menguar.

a) Primero paso la potencia a kilovatios. Porque la energía se pide en kilovatios hora: 1.500 ÷ 1.000 = 1,5 kW. Y entonces E = P × t = (1,5 kW) × (2 h) = 3 kWh al día.

b) En 30 días: (3 kWh) × 30 = 90 kWh.

c) El coste es la energía multiplicada por el precio: (90 kWh) × (0,25 €/kWh) = 22,50 €. Mira cómo se van las unidades: kWh multiplicado por €/kWh deja euros.

Si la potencia se hubiera dejado en vatios, la cuenta del apartado (a) habría dado 3.000. Y ese número no son kilovatios hora, sino vatios hora. Mil veces más, y con un precio por kilovatio hora encima daría un disparate.

Comprobación: recupera la energía dividiendo el coste entre el precio: 22,50 ÷ 0,25 = 90, los kilovatios hora del apartado (b). Y mira la unidad del resultado final: si no te sale en euros, la multiplicación no era la que tocaba.

a) El aparato M: su potencia son 2.000 ÷ 1.000 = 2 kW. Y su tiempo, 15 minutos, son 15 ÷ 60 = 0,25 h. Así que E = (2 kW) × (0,25 h) = 0,5 kWh. El aparato N: 500 ÷ 1.000 = 0,5 kW durante 2 h. O sea E = (0,5 kW) × (2 h) = 1 kWh.

b) Consume más el aparato N, con 1 kWh frente a 0,5 kWh. Gasta el doble que M.

c) Porque la energía depende de dos cosas y la potencia es solo una de ellas. M tiene cuatro veces la potencia de N. Pero está en marcha ocho veces menos tiempo. Y eso deja el producto por debajo. La potencia dice lo deprisa que se gasta; el tiempo dice cuánto rato se está gastando.

De ahí que en un recibo lo que se paga sea energía y no potencia. Un aparato de mucha potencia encendido un momento puede salir más barato que uno pequeño encendido todo el día.

Comprobación: repite el apartado (a) con el tiempo en minutos y la potencia en vatios, y luego convierte. Para M: (2.000 W) × (15 min) son 30.000 vatios minuto. Divididos entre 60 dan 500 vatios hora, o sea 0,5 kWh. La misma cifra por una vía distinta.

a) La ley de la palanca dice que F × b_F = R × b_R. El lado de la resistencia vale (300 N) × (20 cm) = 6.000. Así que F × 80 = 6.000, de donde F = 6.000 ÷ 80 = 75 N.

b) El punto de apoyo queda entre la fuerza y la resistencia. Así que es una palanca de primer género.

c) Con el brazo de la fuerza a 40 cm, el otro lado no cambia: F × 40 = 6.000, de donde F = 6.000 ÷ 40 = 150 N.

Al reducir el brazo a la mitad, la fuerza necesaria se ha hecho el doble. Es lo que hace útil una palanca: cuanto más largo es el brazo de la fuerza respecto al de la resistencia, menos fuerza hay que hacer.

Comprobación: multiplica fuerza por brazo a los dos lados y compara los dos números. En el apartado (a), 75 × 80 = 6.000 y 300 × 20 = 6.000. Si hubieras colocado los brazos al revés y calculado 300 × 80 ÷ 20, te habrían salido 1.200 N. Y entonces 1.200 × 80 = 96.000 no coincidiría con los 6.000 del otro lado.

a) La igualdad de dos poleas unidas por una correa es n₁ × d₁ = n₂ × d₂. Sustituyo: 300 × 20 = n₂ × 60, o sea 6.000 = n₂ × 60, de donde n₂ = 6.000 ÷ 60 = 100 vueltas por minuto.

b) La salida gira más despacio que la entrada, 100 frente a 300. Así que el mecanismo reduce la velocidad. Su relación de transmisión es 100 ÷ 300. O sea un tercio, que es menor que 1.

c) Ahora el dato desconocido es el diámetro: 300 × 20 = 600 × d₂, o sea 6.000 = 600 × d₂, de donde d₂ = 6.000 ÷ 600 = 10 cm.

El apartado (c) confirma la regla por el otro lado: para que la segunda gire más deprisa que la primera tiene que ser más pequeña que ella.

Comprobación: comprueba que el producto de vueltas por diámetro vale lo mismo en las dos poleas. En el apartado (a), 100 × 60 = 6.000, igual que 300 × 20. Y hay una señal de tamaño que avisa antes: la polea grande tiene que girar más despacio. Si te sale girando más deprisa, has colocado los diámetros al revés.

a) Para dos ruedas dentadas engranadas, n₁ × z₁ = n₂ × z₂. Sustituyo: 900 × 20 = n₂ × 60, o sea 18.000 = n₂ × 60, de donde n₂ = 18.000 ÷ 60 = 300 vueltas por minuto.

b) En sentido contrario. Dos ruedas dentadas que engranan de forma directa giran cada una en sentido opuesto a la otra. Porque sus dientes empujan por el punto de contacto.

c) Con la rueda intermedia hay que hacer la cuenta en dos pasos. De la primera a la de 30 dientes: 900 × 20 = n₃ × 30, o sea n₃ = 18.000 ÷ 30 = 600 vueltas por minuto. De esa a la de 60: 600 × 30 = n₂ × 60, o sea n₂ = 18.000 ÷ 60 = 300 vueltas por minuto.

La velocidad de salida no ha cambiado: sigue siendo 300. Lo que se invierte es el sentido. Con la rueda de en medio hay dos inversiones seguidas. Así que la última gira igual que la primera. Una rueda intercalada así sirve para cambiar el sentido sin tocar la velocidad.

Comprobación: comprueba que el producto de vueltas por dientes se mantiene en cada engrane. Con la rueda intermedia: 600 × 30 = 18.000, el mismo valor que 900 × 20 y que 300 × 60. Si en algún engrane ese producto cambia, la cuenta de ese paso está mal.

a) La relación de transmisión de una etapa es un cociente. Arriba van los dientes de la rueda de entrada y abajo, los de la de salida. Primera etapa: 15 ÷ 45 = un tercio. Segunda etapa: 20 ÷ 40 = un medio.

b) La relación total de un tren es el producto de las de cada etapa, no su suma. Multiplicando un tercio por un medio sale un sexto.

c) La salida gira a la velocidad de la entrada multiplicada por la relación total. Multiplicar por un sexto es lo mismo que dividir entre seis: 1.200 ÷ 6 = 200 vueltas por minuto.

Como las dos etapas reducen, el tren entero reduce todavía más que cualquiera de las dos por separado. A cambio de esa pérdida de velocidad se gana fuerza en la salida, que es para lo que se montan.

Comprobación: recorre el tren etapa por etapa. La rueda de 45 gira 1.200 ÷ 3 = 400 vueltas por minuto; la de 40 gira 400 ÷ 2 = 200. Coincide con el apartado (c). Y hay una señal que avisa del error de sumar en vez de multiplicar: sumando un tercio y un medio salen cinco sextos, o sea una salida de 1.000 vueltas por minuto. Esa salida es más rápida que la de cualquiera de las dos etapas por separado. Y eso es imposible si las dos reducen.

a) En cada vuelta completa la tuerca avanza justo el paso de rosca, o sea 2 mm. En 15 vueltas: 15 × 2 = 30 mm, que son 3 cm.

b) Primero paso el avance a milímetros, para trabajar en la misma unidad que el paso: 7,2 cm = 72 mm. Y ahora se divide: 72 ÷ 2 = 36 vueltas.

c) El avance por vuelta sería de 3 mm en lugar de 2 mm. Porque el avance por vuelta es el paso de rosca. Con ese tornillo las mismas 15 vueltas darían 45 mm en vez de 30.

De ahí sale una idea práctica: un paso pequeño avanza poco en cada vuelta. Y por eso permite colocar la pieza con más precisión y apretar con más fuerza.

Comprobación: deshaz el apartado (b) multiplicando: 36 × 2 = 72 mm, el avance que se pedía. Y comprueba antes la unidad: si mezclas los 7,2 cm con el paso en milímetros sin convertir, te salen 3,6 vueltas. Son diez veces menos de las que hacen falta.

a) En una vuelta completa del piñón pasan todos sus dientes por la cremallera. Y cada diente la desplaza un paso. Así que el avance por vuelta es 20 × 5 = 100 mm, o sea 10 cm.

b) Paso el recorrido a milímetros: 1,5 m = 1.500 mm. Y divido entre lo que avanza cada vuelta: 1.500 ÷ 100 = 15 vueltas.

c) Con 25 dientes y el mismo paso: 25 × 5 = 125 mm por vuelta. El piñón más grande avanza más en cada vuelta.

El paso de la cremallera lo fijan los dientes y no se puede elegir libremente: el piñón y la cremallera tienen que tener el mismo paso para poder engranar.

Comprobación: deshaz el apartado (b) multiplicando: 15 × 100 = 1.500 mm, el recorrido pedido. Y comprueba el sentido del apartado (c): más dientes en el mismo piñón significa más avance por vuelta. Así que si tu resultado sale menor que 100 mm, la multiplicación está cambiada.

a) El 1 es un par de ruedas dentadas engranadas. El 2 es una biela-manivela. El 3 es una leva. El 4 es un sistema de poleas con correa.

b) Transmiten el movimiento el 1 y el 4. Lo transforman el 2 y el 3.

c) En comparar la clase de movimiento que entra con la que sale. En el 1 y en el 4 entra un giro y sale un giro: lo único que cambia es la velocidad o el sentido, así que solo hay transmisión. En el 2 y en el 3 entra un giro y sale un vaivén o un empuje en línea recta. O sea que la clase de movimiento ha cambiado; eso es transformar.

Fíjate en que el nombre de la pieza no decide nada por sí solo. Una rueda dentada transmite si engrana con otra rueda y transforma si engrana con una cremallera, siendo idéntica la pieza en ambas situaciones.

Una pista que avisa: escribe en una línea qué entra y qué sale, y solo después ponle nombre al mecanismo. Si la clase de movimiento es la misma en los dos extremos, buscas una relación entre velocidades. Si ha cambiado, buscas un avance por vuelta o un recorrido.

a) Al terminar la primera vuelta, el total vale 3 y el contador vale 1. Al terminar la segunda, 6 y 2. Al terminar la tercera, 9 y 3. Al terminar la cuarta, 12 y 4. Y al terminar la quinta, 15 y 5.

b) Muestra un total de 15 y un contador de 5. El total ha crecido de tres en tres durante cinco vueltas y el contador, de uno en uno.

c) Entonces el total no cambiaría en ninguna vuelta y se quedaría en 0. El contador recibiría 3 en el paso 4 y 1 más en el paso 5, o sea 4 en cada vuelta. Y al cabo de cinco vueltas valdría 20. El paso 6 mostraría 0 y 20.

El apartado (c) enseña lo que hace una asignación: cambiar el valor guardado en la variable que se nombra, y solo en esa. Cambiar el nombre cambia el resultado entero aunque la operación sea la misma.

Comprobación: comprueba el total del apartado (b) sin recorrer las vueltas: si en cada una se suman 3 y hay cinco vueltas, el total es 5 × 3 = 15. Los dos caminos tienen que coincidir. Y si no coinciden es que has contado mal las vueltas o has arrastrado un valor de una vuelta a la siguiente.

a) Muestra el número 1 una y otra vez, sin parar. El contador se pone a 1 y nada vuelve a tocarlo. Así que la condición «el contador es menor que 10» se cumple en todas las vueltas. El paso 4 se queda sin ejecutar.

b) Falta un paso que diga «suma 1 al contador». Y tiene que ir dentro de lo que se repite, después de mostrar el valor. Si se pusiera fuera, detrás del paso 4, no se ejecutaría hasta el final y no arreglaría nada.

c) Con el arreglo, el contador toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y al llegar a 10 la condición deja de cumplirse y la repetición termina. Así que se muestra un valor 9 veces.

Fíjate en que el 10 no llega a mostrarse. La condición se comprueba antes de cada vuelta. Así que en cuanto el contador vale 10 se sale sin ejecutar el paso de mostrar.

Comprueba este paso: para saber si una repetición va a terminar, busca dentro de ella algo que cambie el valor que mira la condición. Si no lo encuentras, no termina. Es una comprobación que vale para cualquier bucle. Y se hace leyendo, sin ejecutar nada.

a) Los múltiplos de 3 que hay entre 1 y 20 son 3, 6, 9, 12, 15 y 18. El siguiente, 21, se sale del recorrido.

b) El total es la suma de esos seis números: 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63.

c) La condición se comprueba una vez por cada número recorrido, o sea 20 veces. La suma solo se ejecuta cuando la condición se cumple, o sea 6 veces.

El apartado (c) separa dos cosas que se confunden con facilidad: lo que hace la parte repetitiva se ejecuta en todas las vueltas. Lo que hay dentro de la parte condicional se ejecuta unas veces sí y otras no.

Comprobación: rehaz la suma del apartado (b) sacando el factor común: los seis números son 3 multiplicado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Así que el total es 3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3 × 21 = 63. El mismo número por un camino distinto.

a) El rango B2:B5 son cuatro celdas, las dos de los extremos incluidas. La función suma sus valores: 12 + 9 + 15 + 4 = 40.

b) El promedio divide esa suma entre el número de celdas del rango: 40 ÷ 4 = 10.

c) Aparece el texto SUMA(B2:B5) tal cual, escrito en la celda. Sin el signo de igual delante, la hoja no lo entiende como una orden de calcular. Así que lo guarda como si fuese una palabra cualquiera.

Esa es la señal que hay que buscar cuando una celda enseña la fórmula en vez del resultado. No es que la fórmula esté mal escrita: es que no llega a ser una fórmula.

Comprueba este paso: antes de fiarte de un resultado, cuenta cuántas celdas abarca el rango. De B2 a B5 hay cuatro filas, no tres: se cuentan los dos extremos. Ese recuento es el que hay que repetir en el apartado (b). Porque el promedio se apoya en él.

a) En C3 queda =B3*$D$1 y en C4 queda =B4*$D$1. La referencia B2 es relativa y se mueve una fila por cada fila que baja; la referencia $D$1 es absoluta y se queda clavada en D1.

b) En C2: 50 × 0,21 = 10,5. En C3: 80 × 0,21 = 16,8. En C4: 120 × 0,21 = 25,2.

c) Al copiar hacia abajo, esa referencia también se movería: en C3 diría D2 y en C4 diría D3. Esas dos celdas están vacías, y multiplicar por una celda vacía da 0. Así que C3 y C4 mostrarían 0 en lugar de los resultados correctos.

El apartado (c) explica para qué sirven los dos signos de dólar: cuando todas las filas consultan el mismo dato escrito en un único sitio, ese dato se fija. Así ya no se escapa al copiar.

Comprobación: comprueba los tres resultados del apartado (b) por proporción. B3 es 80 y B4 es 120. O sea que B4 es una vez y media B3; pues 25,2 ÷ 16,8 también tiene que valer 1,5. Si algún resultado no guarda la misma proporción que su dato, en esa fila la fórmula no es la que crees.

a) El total de los cuatro meses es 340 + 410 + 275 + 375 = 1.400.

b) El rango B2:B4 abarca solo tres celdas. Así que la fórmula suma 340 + 410 + 275 = 1.025.

c) El error está en el rango, que deja fuera la celda B5 y con ella el cuarto mes. La fórmula correcta es =SUMA(B2:B5).

Este fallo es de los que no llaman la atención. Porque el resultado que sale es un número creíble y la hoja no avisa de nada. La fórmula hace bien lo que se le ha pedido; lo que está mal es lo que se le pidió.

Comprobación: resta los dos resultados y mira qué sale: 1.400 – 1.025 = 375, que es justo el valor de la celda olvidada. Cuando esa diferencia coincide con un dato de la lista, el fallo suele estar en el rango, que deja ese dato fuera.

a) Cada posición puede tomar 10 valores y las posiciones se eligen de forma independiente. Así que se multiplica 10 por sí mismo tantas veces como dígitos haya. Con 4 dígitos: 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000. Con 6 dígitos: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1.000.000.

b) Se dividen las dos cantidades: 1.000.000 ÷ 10.000 = 100 veces más. Añadir dos dígitos ha multiplicado por cien las posibilidades.

c) Con mil pruebas por segundo, el caso de 4 dígitos tarda 10.000 ÷ 1.000 = 10 segundos. El de 6 dígitos tarda 1.000.000 ÷ 1.000 = 1.000 segundos. Eso es algo menos de 17 minutos.

Los números del apartado (c) explican por qué la longitud pesa tanto. Y explican también por qué una clave de cuatro cifras no protege por sí sola: lo que la sostiene es que el sistema bloquee el acceso tras unos pocos intentos fallidos.

Comprobación: comprueba el apartado (b) contando ceros. Diez mil tiene cuatro ceros y un millón tiene seis. Así que la diferencia son dos ceros, o sea multiplicar por cien. Si tu cociente no es una potencia de diez, el fallo está en el apartado (a). Habrás multiplicado de más o de menos.

a) La primera señal es la urgencia, que está puesta para que no dé tiempo a pensar. La segunda, el saludo genérico: quien tiene tus datos te llama por tu nombre. La tercera, la dirección del enlace, que no es la del banco. Y la cuarta, la petición de la clave, que ninguna entidad pide por correo.

b) Porque aquí no se aprovecha ningún fallo del equipo. El mensaje no instala nada: convence a la persona para que escriba sus datos en una página falsa. Es ingeniería social, y contra eso una actualización no hace nada. Porque quien abre la puerta es el usuario.

c) No hay que pulsar el enlace ni contestar. El mensaje se marca como correo no deseado y se borra. Y si queda la duda de si el aviso es cierto, se comprueba por otro camino: entrando a la web del banco escribiendo la dirección a mano, o llamando al teléfono que figura en la tarjeta. Nunca por los datos de contacto que trae el propio mensaje.

El apartado (c) contiene la regla que resuelve estos casos: verificar por un camino distinto del que trajo el aviso.

Una pista que avisa: si un mensaje te mete prisa y encima te pide datos, trátalo como falso hasta comprobarlo. Las dos cosas juntas casi no tienen un motivo legítimo. Y separar la prisa de la decisión ya desactiva la mitad del engaño.

a) Protege de un borrado por descuido y de guardar encima una versión estropeada, porque queda otro archivo intacto. No protege de que el disco se estropee. Tampoco de que roben el ordenador, ni de un programa de secuestro que cifre lo que haya dentro. En esos tres casos las dos copias se pierden a la vez.

b) Cumple lo de tener más de una copia, pero se queda en dos y hacen falta tres. Incumple lo de los dos soportes distintos, porque las dos viven en el mismo disco. E incumple lo de guardar una fuera del sitio: ninguna sale de ese ordenador.

c) Tres copias del mismo trabajo ocupan 3 × 12 = 36 GB en total, repartidos entre los soportes que se usen.

La condición de los dos soportes es la que más se olvida. Y es la que decide en el caso del disco estropeado. Dos archivos en el mismo disco son, para ese riesgo, una sola copia.

Comprueba este paso: recorre lo que has contestado en el apartado (a) riesgo por riesgo. Di, en cada uno, qué tendría que pasar para perder las dos copias a la vez. Si la respuesta es «que le pase algo al disco», esa copia no protege de ese riesgo.

a) El orden es este: se extrae el petróleo, que es la extracción de las materias primas; se cose y se monta, que es la fabricación; se lleva hasta la tienda, que es el transporte y la distribución; se usa durante varios cursos, que es el uso; y se recogen y tratan los restos, que es el fin de vida.

b) Se suman las cinco: 5 + 9 + 2 + 1 + 3 = 20 unidades de energía.

c) La fabricación se lleva 9 de esas 20: 9 ÷ 20 = 0,45, o sea el 45 % del total.

Los datos del apartado (b) enseñan por qué mirar solo el uso engaña. En esta mochila el uso consume una sola unidad de veinte. Así que cualquier mejora pensada para el uso apenas movería el total; lo que pesa está antes de que la mochila llegue a la tienda.

Comprobación: saca el porcentaje de las cuatro etapas restantes y mira si los cinco suman 100. La extracción se lleva 5 de 20, que es el 25 %, y el transporte, 2 de 20, que es el 10 %. El uso es 1 de 20, el 5 %, y el fin de vida, 3 de 20, el 15 %. Y 45 + 25 + 10 + 5 + 15 = 100.

a) El 5 % de 60 es 60 × 0,05 = 3 unidades de energía.

b) El ahorro por tonelada es la diferencia entre los dos caminos: 60 – 3 = 57 unidades de energía.

c) Con 8 toneladas: 8 × 57 = 456 unidades de energía ahorradas.

Ese ahorro es la razón de que el aluminio se recoja por separado. Y explica también por qué, aun así, las tres erres ponen reducir y reutilizar por delante de reciclar: las 3 unidades del apartado (a) siguen siendo un gasto. Y el envase que no se fabrica no gasta ninguna.

Comprobación: haz el apartado (c) por el otro camino, calculando los dos totales por separado. Con mineral: 8 × 60 = 480. Con aluminio recuperado: 8 × 3 = 24. Y la diferencia, 480 – 24 = 456, coincide con el resultado. Si los dos caminos no coinciden, el fallo está en el ahorro por tonelada.

a) El caso 1 es obsolescencia programada: el aparato deja de funcionar porque una decisión de diseño le puso fecha. El caso 2 es obsolescencia percibida: el aparato sirve, y lo que ha caducado es su aspecto.

b) El caso 1. La duración de esa pieza y el precio del repuesto se decidieron al diseñar el aparato. También se decidió entonces si las piezas se pueden separar para cambiarlas. En el caso 2 el aparato no tiene ningún problema: lo que ha cambiado es lo que su dueño piensa de él.

c) Para el caso 1, exigir que el fabricante garantice repuestos durante unos años y que la pieza se pueda sustituir sin romper nada; eso le corresponde al fabricante, y también a quien escribe las normas. Para el caso 2, preguntarse antes de comprar si el aparato que se tiene ha dejado de servir de verdad; eso le corresponde a quien compra.

Los dos casos terminan en un residuo, pero no se combaten con lo mismo. Uno se combate con diseño y con normas; el otro, con información y con criterio propio.

Una pista que avisa: las dos se separan mirando si el aparato sigue funcionando. Si ha dejado de funcionar antes de lo razonable, mira el diseño. Si funciona y aun así se cambia, el motivo está fuera del aparato.