Matemáticas de 4º de ESO: ejercicios con soluciones

√36 = 6: es natural, y por tanto también entero, racional y real.

−7/4 = −1,75: racional (cociente de dos enteros) y real. No es entero.

0,2727… es racional. Se ve pasándolo a fracción: si N = 0,2727…, entonces 100N = 27,2727… y al restar queda 99N = 27, o sea N = 27/99 = 3/11. Comprobación: 3 ÷ 11 = 0,272727…

√7 es irracional: 7 no es un cuadrado perfecto —está entre 2² = 4 y 3² = 9, así que su raíz está entre 2 y 3 y no es entera—, y la raíz cuadrada de un entero que no es cuadrado perfecto no se puede escribir como fracción. Por eso su expresión decimal no termina y no repite ningún grupo de cifras.

3,1416 es racional: tiene un número finito de decimales, así que vale 31.416/10.000 = 3.927/1.250. ▲ No es el número al que se aproxima la longitud de una circunferencia entre su diámetro: ese es irracional y 3,1416 solo se le parece en las cuatro primeras cifras.

(a) El −3 entra y el 5 no, así que se cierra por la izquierda y se abre por la derecha: [−3, 5).

(b) No hay tope por arriba y el 2 no entra: (2, +∞).

La intersección son los números que cumplen las dos condiciones a la vez: tienen que ser mayores que 2 y menores que 5. Sale (2, 5).

Ni el 2 ni el 5 pertenecen: el 2 está excluido por la segunda condición y el 5 por la primera. Para corregirte, prueba un número de dentro y otro de fuera: el 3 cumple −3 ≤ 3 < 5 y 3 > 2; el 2 falla la segunda y el 5 falla la primera.

0,000000472 = 4,72 · 10⁻⁷. La coma se mueve 7 lugares a la derecha hasta dejar una sola cifra distinta de cero delante, y por eso el exponente es −7.

8.300.000.000 = 8,3 · 10⁹. Aquí la coma se mueve 9 lugares a la izquierda y el exponente es positivo.

En el producto se multiplican por un lado los números y por otro las potencias: 3,2 · 5 = 16 y 10⁸ · 10⁻³ = 10⁵. Queda 16 · 10⁵ = 1,6 · 10⁶.

Al dividir se restan los exponentes: 1,6 ÷ 8 = 0,2 y 10⁶ ÷ 10⁴ = 10². Sale 0,2 · 10² = 20.

▲ Ojo al ordenar magnitudes: 4,72 · 10⁻⁷ es menor que 8,3 · 10⁹ aunque «472» tenga más cifras que «83». Lo que manda es el exponente, y solo si los dos exponentes son iguales se mira el número de delante.

Redondear a millares es quedarse con el múltiplo de 1.000 más cercano. Las tres últimas cifras son 732, que pasa de 500, así que se sube: 149.000 habitantes.

Error absoluto = diferencia entre el valor aproximado y el exacto, en valor absoluto: 149.000 − 148.732 = 268 habitantes.

Error relativo = error absoluto ÷ valor exacto = 268 ÷ 148.732 = 0,0018018… Multiplicado por 100 queda 0,18 %.

Para saber si el resultado es razonable: redondear a millares nunca se desvía más de 500, y 500 sobre 148.732 es menos del 0,34 %. Un error relativo del 0,18 % cae dentro de ese tope; si te hubiera salido un 18 %, hay un factor 100 de más en alguna parte: puede estar en la división o en el paso a tanto por ciento.

Se descompone el radicando y se saca fuera lo que esté al cuadrado.

√75 = √(25 · 3) = 5√3. Después √12 = √(4 · 3) = 2√3. Y √48 = √(16 · 3) = 4√3.

Ya son radicales semejantes (el mismo radicando), así que se suman y restan los números de delante: 5 + 2 − 4 = 3. Resultado: 3√3.

▲ Solo se pueden juntar así los que tienen el mismo radicando. √2 + √3 se queda como está, y desde luego no es √5: elevando al cuadrado, (√2 + √3)² = 2 + 3 + 2√6, que no es 5.

Para corregirte sin calculadora: 3√3 al cuadrado es 9 · 3 = 27, o sea que el resultado está entre 5 y 6 (porque 5² = 25 y 6² = 36).

El exponente fraccionario se lee así: el denominador es el índice de la raíz y el numerador, el exponente de dentro.

(a) 27^2/3 es la raíz cúbica de 27 elevada al cuadrado. La raíz cúbica de 27 es 3, porque 3 · 3 · 3 = 27. Y 3² = 9.

(b) Las dos raíces tienen el mismo índice, así que se juntan en una: √(2⁵ · 2) = √(2⁶). Y la raíz cuadrada de 2⁶ es 2^6/2 = 2³ = 8.

(c) El exponente negativo da la vuelta a la fracción: 16^−3/4 = 1 ÷ 16^3/4. La raíz cuarta de 16 es 2, y 2³ = 8, así que queda 1/8.

▲ Un exponente negativo no hace negativo el resultado: 16^−3/4 = 1/8, que es positivo. Lo que hace es invertir.

Racionalizar es quitar la raíz de abajo sin cambiar el valor de la fracción, multiplicando arriba y abajo por lo mismo.

(a) Se multiplica por √3 arriba y abajo: 6√3 ÷ (√3 · √3) = 6√3 ÷ 3 = 2√3.

(b) Con una resta de raíces abajo se multiplica por la misma resta cambiada de signo, √7 + √2, porque (a − b)(a + b) = a² − b² y las raíces desaparecen.

Abajo queda (√7)² − (√2)² = 7 − 2 = 5. Arriba, 10(√7 + √2). Y 10 ÷ 5 = 2, así que sale 2√7 + 2√2.

Comprobación aproximada: √7 ≈ 2,646 y √2 ≈ 1,414, así que √7 − √2 ≈ 1,232 y 10 ÷ 1,232 ≈ 8,12. Por el otro lado, 2 · 2,646 + 2 · 1,414 ≈ 8,12. Coinciden.

Se colocan los coeficientes 1, −4, 1, 6 y se usa el 3 (el valor que anula x − 3).

Se baja el 1. Luego 1 · 3 = 3 y −4 + 3 = −1. Luego −1 · 3 = −3 y 1 + (−3) = −2. Y por último −2 · 3 = −6 y 6 + (−6) = 0.

El resto es 0, así que x − 3 es divisor. El cociente es x² − x − 2.

Ese cociente se factoriza resolviendo x² − x − 2 = 0: sus soluciones son 2 y −1, así que x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).

x³ − 4x² + x + 6 = (x − 3)(x − 2)(x + 1)

Para corregirte sin multiplicarlo todo: el término independiente del producto tiene que salir del producto de los tres números que cierran los paréntesis, (−3)(−2)(1) = 6, que es el que había. Ojo: son esos tres, no las raíces, que son 3, 2 y −1.

(a) Es una diferencia de cuadrados: 4x² = (2x)² y 25 = 5². Queda (2x − 5)(2x + 5).

(b) Tiene forma de cuadrado de una resta. El doble producto tendría que ser 2 · x · 5 = 10x, y es justo lo que hay: (x − 5)².

(c) Primero factor común, que es lo que más se olvida: 2x³ − 8x = 2x(x² − 4). Y x² − 4 vuelve a ser diferencia de cuadrados: 2x(x − 2)(x + 2).

▲ En (b) hay que mirar el término del medio antes de decidir: x² + 25 no se puede factorizar con números reales, y x² − 10x + 24 tampoco es un cuadrado perfecto aunque se le parezca (se factoriza como (x − 4)(x − 6)).

Ser divisible entre x + 2 significa que el resto de esa división es 0, y por el teorema del resto ese resto vale P(−2).

P(−2) = (−2)³ + k(−2)² − 5(−2) + 6 = −8 + 4k + 10 + 6 = 4k + 8.

Se iguala a cero: 4k + 8 = 0, así que k = −2.

El polinomio es P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6. Por Ruffini con −2: se baja 1; 1 · (−2) = −2 y −2 + (−2) = −4; −4 · (−2) = 8 y −5 + 8 = 3; 3 · (−2) = −6 y 6 + (−6) = 0. El cociente es x² − 4x + 3.

x² − 4x + 3 = 0 tiene por soluciones 1 y 3, así que P(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3).

Comprobación: si las raíces son −2, 1 y 3, su suma debe ser el coeficiente de x² cambiado de signo. −2 + 1 + 3 = 2, y el coeficiente es −2. Cuadra.

Se factorizan arriba y abajo: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) y x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Queda (x − 3)(x + 3) ÷ (x + 3)², y se tacha un (x + 3) arriba y otro abajo: (x − 3) ÷ (x + 3).

No se puede calcular donde el denominador se anule: x + 3 = 0, o sea x = −3. Ese valor ya estaba prohibido en la fracción de partida, porque (x + 3)² también se anula ahí.

▲ Simplificar no devuelve el valor prohibido. La expresión simplificada se parece a una fracción cualquiera, pero sigue sin poder calcularse en x = −3: es el mismo problema, escrito más corto.

Para corregirte, prueba un valor fácil en las dos formas. Con x = 0: arriba −9, abajo 9, cociente −1. Y con la simplificada, (0 − 3) ÷ (0 + 3) = −1. Coinciden.

Con a = 2, b = −7 y c = 3, el discriminante vale b² − 4ac = 49 − 24 = 25, y √25 = 5.

x = (7 ± 5) ÷ 4. Por un lado (7 + 5) ÷ 4 = 3 y por otro (7 − 5) ÷ 4 = 1/2.

La comprobación: en toda ecuación de segundo grado la suma de las soluciones vale −b ÷ a y el producto, c ÷ a.

Suma: 3 + 1/2 = 7/2, y −b ÷ a = 7 ÷ 2 = 7/2. Producto: 3 · 1/2 = 3/2, y c ÷ a = 3 ÷ 2 = 3/2. Las dos cuadran.

Esta comprobación usa las dos soluciones a la vez, y por eso ve cosas que sustituir no ve. Si se te cambian de signo las dos (−3 y −1/2 en vez de 3 y 1/2), el producto sigue dando 3/2 y parece correcto: es la suma, que pasa a valer −7/2, la que lo delata.

Lo decide el discriminante, b² − 4ac.

(a) 36 − 36 = 0: hay una única solución, que se llama doble. Sale x = 6 ÷ 2 = 3. Y se ve también factorizando: x² − 6x + 9 = (x − 3)², que solo se anula en x = 3.

(b) 1 − 4 = −3, negativo: no tiene ninguna solución real, porque haría falta la raíz cuadrada de un número negativo.

▲ Cuidado con decir «no tiene solución» a secas: lo correcto en este curso es que no tiene solución real. En 1º de Bachillerato aparecen números que sí resuelven esa ecuación, y no es que ahora esté mal resuelta.

Para corregirte en (b) sin calcular nada: x² + x + 1 se puede escribir como (x + 1/2)² + 3/4. El cuadrado de un número real nunca es negativo, así que esa suma vale al menos 3/4 y no llega a cero con ningún número real.

Para quitar la raíz se elevan al cuadrado los dos miembros: x + 5 = (x − 1)² = x² − 2x + 1.

Se pasa todo a un lado: x² − 3x − 4 = 0. Con la fórmula, discriminante 9 + 16 = 25 y x = (3 ± 5) ÷ 2, o sea x = 4 y x = −1.

Se comprueban en la ecuación de partida, la que tiene la raíz. Con x = 4: √9 = 3 y 4 − 1 = 3. Vale. Con x = −1: √4 = 2 y −1 − 1 = −2. El símbolo √ significa la raíz no negativa, así que 2 no es −2 y x = −1 no sirve.

La única solución es x = 4.

▲ Y aquí está lo que hay que entender: x = −1 sí cumple la ecuación elevada al cuadrado (por la izquierda −1 + 5 = 4, por la derecha (−1 − 1)² = 4). Por eso comprobar no sirve de nada si lo haces en la ecuación ya elevada al cuadrado: hay que volver a la original. Elevar al cuadrado no es una operación reversible, y puede añadir soluciones que la ecuación de partida no tenía.

Se llama z = x². Como x⁴ = (x²)² = z², la ecuación pasa a ser z² − 13z + 36 = 0.

Discriminante: 169 − 144 = 25, y √25 = 5. Entonces z = (13 ± 5) ÷ 2, o sea z = 9 y z = 4.

Ahora se deshace el cambio. De x² = 9 salen x = 3 y x = −3. De x² = 4 salen x = 2 y x = −2.

Hay cuatro soluciones: −3, −2, 2 y 3.

▲ Es el punto donde más se pierde media respuesta: cada valor positivo de z da dos valores de x, uno con cada signo; si saliera z = 0 daría uno solo, x = 0, y si saliera negativo no daría ninguno, porque ningún número real al cuadrado es negativo.

Para corregirte, sustituye una de las cuatro en la ecuación de partida: con x = 3, x⁴ = 81, 13x² = 117 y 81 − 117 + 36 = 0. Y las soluciones van por parejas de signo contrario, porque en la ecuación solo aparecen potencias pares de x.

Como una de las dos ecuaciones es sencilla, se despeja de ella: y = 7 − x.

Se sustituye en la otra: x² + (7 − x)² = 25, o sea x² + 49 − 14x + x² = 25.

Se ordena: 2x² − 14x + 24 = 0, y dividiendo todo entre 2 queda x² − 7x + 12 = 0.

Discriminante 49 − 48 = 1, así que x = (7 ± 1) ÷ 2: x = 4 y x = 3.

Cada valor de x da su y: si x = 4, y = 3; si x = 3, y = 4. Las soluciones son (4, 3) y (3, 4), y las dos hay que escribirlas.

Comprobación de la segunda ecuación, que es la que se ha transformado: 4² + 3² = 16 + 9 = 25. Cuadra.

Se resuelven dos de ellas y se lleva el resultado a la tercera. Sumando las dos primeras: 2x = 14, así que x = 7, y de la primera, y = 3.

Se prueba en la tercera: 2 · 7 + 3 = 17. Sí se cumple, así que el sistema tiene solución y es x = 7, y = 3.

Con 2x + y = 18 el par (7, 3) da 17, que no es 18. Las dos primeras obligan a x = 7 e y = 3, y ese par no vale para la tercera: el sistema no tiene solución.

▲ Lo que hay que sacar de aquí: tener más ecuaciones que incógnitas no significa quedarse sin solución. Significa que sobra información, y esa información de más puede ser compatible con lo demás (primer caso) o contradecirlo (segundo). Hay que comprobarlo, no darlo por hecho.

Se pasa el 3 restando: −2x ≥ 6.

Ahora se divide entre −2, y al dividir entre un número negativo la desigualdad cambia de sentido: x ≤ −3.

Solución: (−∞, −3], con el −3 incluido porque la desigualdad no es estricta.

Para corregirte, prueba un valor de dentro y otro de fuera. Con x = −4: 3 − 2(−4) = 11, y 11 ≥ 9. Vale. Con x = 0: 3 ≥ 9 es falso, y el 0 está fuera. Si hubieras olvidado darle la vuelta al signo habrías contestado x ≥ −3, y el 0 estaría dentro: la prueba lo delata.

▲ Esa prueba caza un conjunto solución equivocado, pero no caza uno incompleto. Si la solución fueran dos trozos y solo escribes uno, el valor que pruebes puede caer en el trozo bueno y no notarás que falta el otro.

Primero se resuelve la ecuación asociada x² − x − 6 = 0. Discriminante 1 + 24 = 25, x = (1 ± 5) ÷ 2, soluciones 3 y −2.

Esas dos soluciones parten la recta en tres tramos: los números menores que −2, los que están entre −2 y 3, y los mayores que 3.

Se prueba un número de cada tramo. Con x = −3: 9 + 3 − 6 = 6, positivo. Con x = 0: −6, negativo. Con x = 4: 16 − 4 − 6 = 6, positivo.

Se pide que sea menor que cero, así que la solución es el tramo del medio: (−2, 3). Los extremos quedan fuera porque ahí la expresión vale exactamente 0, no menos.

▲ El signo del coeficiente de x² decide qué tramos valen. Aquí es positivo, y entonces la expresión es negativa entre las dos soluciones. Si fuera negativo pasaría justo lo contrario, así que probar un número de cada tramo es más seguro que recordar la regla.

Del término 3 al 8 hay cinco saltos de diferencia d (no ocho: se restan las posiciones, 8 − 3 = 5).

31 − 11 = 20, y 20 ÷ 5 = d = 4.

Para volver del tercero al primero se retroceden dos saltos: a₁ = 11 − 2 · 4 = 3.

Término general: a_n = 3 + (n − 1) · 4. Entonces a₂₀ = 3 + 19 · 4 = 79.

Suma de los veinte primeros: S = (a₁ + a₂₀) · 20 ÷ 2 = (3 + 79) · 10 = 820.

Para corregirte, vuelve a calcular a₃ y a₈ con tu término general: 3 + 2 · 4 = 11 y 3 + 7 · 4 = 31. Son los dos datos del enunciado.

Cada término sale del anterior multiplicando por 1/2: 96, 48, 24, 12 y 6.

Con la fórmula del término general, a₅ = a₁ · r⁴ = 96 · (1/2)⁴ = 96 ÷ 16 = 6. Coincide con la lista.

Suma de los cinco: 96 + 48 + 24 + 12 + 6 = 186.

Con la fórmula: S = a₁ · (1 − r⁵) ÷ (1 − r) = 96 · (1 − 1/32) ÷ (1/2) = 96 · (31/32) · 2 = 186. Las dos formas dan lo mismo, y esa es la comprobación.

▲ Aquí los términos decrecen, y cuenta que el primero sea positivo: con el primer término positivo, una progresión geométrica solo crece si la razón es mayor que 1, y con razón entre 0 y 1 se va haciendo pequeña. Con el primer término negativo pasa lo contrario. Y con razón negativa va saltando de signo (3, −6, 12, −24…), sin crecer ni decrecer.

1, 3, 5, 9 no es una progresión aritmética. Las diferencias entre términos consecutivos son 3 − 1 = 2, 5 − 3 = 2 y 9 − 5 = 4. La última rompe el patrón.

▲ Por eso no basta con restar los dos primeros términos: ahí la diferencia salía 2 y todo parecía en orden. Hay que comprobar todas las restas seguidas que tengas.

2, 6, 18, 54 encaja con una progresión geométrica. Los cocientes son 6 ÷ 2 = 3, 18 ÷ 6 = 3 y 54 ÷ 18 = 3: si sigue igual, la razón es r = 3.

Con cuatro términos no se puede demostrar que lo sea: hay sucesiones que empiezan igual y luego se separan. Lo que se hace es dar por bueno que el patrón continúa, y así lo plantea el enunciado.

Término general: a_n = 2 · 3ⁿ⁻¹.

Séptimo término, con esa suposición: a₇ = 2 · 3⁶ = 2 · 729 = 1.458. Se puede comprobar siguiendo la lista: 54, 162, 486, 1.458.

El dominio son los valores de x con los que la fórmula se puede calcular.

En f hay una división, y no se puede dividir entre cero: x² − 4 = 0 cuando x = 2 y cuando x = −2. Dominio de f: todos los números reales menos el 2 y el −2.

En g hay una raíz cuadrada, y dentro no puede haber un número negativo: hace falta x − 3 ≥ 0, o sea x ≥ 3. Dominio de g: [3, +∞), con el 3 incluido, porque √0 = 0 sí se puede calcular.

▲ Lo que se excluye en f son los valores que anulan el denominador, no los que anulan el numerador. En x = −1/2 el numerador se anula y la función vale 0, que es un valor perfectamente calculable.

Para corregirte, sustituye: f(2) pediría dividir entre 0 y no se puede; g(2) pediría √(−1) y tampoco; g(3) = √0 = 0, que sí existe.

La tasa de variación media entre dos valores de x es lo que cambia la función dividido entre lo que cambia x.

Entre 0 y 3: (6 − 0) ÷ (3 − 0) = 6 ÷ 3 = 2.

Entre 1 y 2: (1 − 3) ÷ (2 − 1) = −2 ÷ 1 = −2.

No, no crece en todo el recorrido. Entre x = 1 y x = 2 la función baja de 3 a 1, y ahí la tasa es negativa.

▲ La tasa de variación media entre dos puntos solo compara el principio y el final: dice a qué ritmo medio se ha pasado de uno a otro, no lo que ha ocurrido en medio. Que salga 2 y sea positiva no autoriza a decir que la función sube todo el rato, y aquí se ve con los números delante. Para hablar de crecimiento hay que mirar tramo a tramo.

Entre enero y mayo pasan cuatro meses: (66 € − 84 €) ÷ 4 meses = −18 € ÷ 4 meses = −4,5 €/mes.

La unidad sale de la propia división, euros entre meses, y se lee: de media el recibo bajó 4,50 € cada mes.

Variación mes a mes: de enero a febrero +12 €, de febrero a marzo −24 €, de marzo a abril −12 € y de abril a mayo +6 €.

No, no bajó todos los meses: subió en febrero y volvió a subir en mayo. El mes de mayor subida fue febrero, con 12 € más que enero.

Para corregirte, suma las cuatro variaciones: 12 − 24 − 12 + 6 = −18 €, que es exactamente la diferencia entre mayo y enero. Si no te da eso, alguna resta está mal.

Pendiente: m = (−5 − 7) ÷ (4 − (−2)) = −12 ÷ 6 = −2.

Con el punto A: y − 7 = −2 · (x − (−2)) = −2(x + 2) = −2x − 4, así que y = −2x + 3.

Corte con el eje vertical: se hace x = 0 y sale y = 3, el punto (0, 3).

Corte con el eje horizontal: se hace y = 0, o sea 0 = −2x + 3, de donde x = 3/2. El punto es (3/2, 0).

Para corregirte, comprueba que los dos puntos del enunciado cumplen la ecuación: con x = −2, −2(−2) + 3 = 7 y es el valor de A; con x = 4, −2 · 4 + 3 = −5 y es el de B. Si solo compruebas uno, un error en la pendiente puede pasar desapercibido.

El coeficiente de x² es −1, negativo, así que las ramas van hacia abajo y el vértice es un máximo.

Abscisa del vértice: x = −b ÷ (2a) = −4 ÷ (2 · (−1)) = 2. Su valor: y = −4 + 8 + 5 = 9. Vértice (2, 9).

Corte con el eje vertical: x = 0 da y = 5, el punto (0, 5).

Cortes con el eje horizontal: −x² + 4x + 5 = 0, que multiplicando por −1 queda x² − 4x − 5 = 0. Discriminante 16 + 20 = 36, x = (4 ± 6) ÷ 2: x = 5 y x = −1.

Comprobación, válida siempre que la parábola corte al eje horizontal en dos puntos (aquí sí): la primera coordenada del vértice cae justo en el medio de las de esos dos cortes, y (5 + (−1)) ÷ 2 = 2, que es la que se había calculado. El punto medio de los dos cortes es (2, 0) y el vértice es (2, 9): lo que coincide es la primera coordenada, no el punto.

El perímetro del rectángulo es 2 · (largo + ancho) = 40 m, así que largo + ancho = 20 m. Si un lado mide x, el otro mide 20 − x, y el área es el producto de los dos: A(x) = x(20 − x). Para que el rectángulo exista, x tiene que estar entre 0 y 20.

Desarrollando, A(x) = −x² + 20x: es una parábola con las ramas hacia abajo, así que el vértice es el máximo.

x = −20 ÷ (2 · (−1)) = 10 m, y el otro lado mide 20 − 10 = 10 m.

El área máxima es A(10) = 10 · 10 = 100 m², y la parcela resulta ser un cuadrado.

Para corregirte, prueba otras medidas con el mismo perímetro: 9 y 11 dan 99 m², 5 y 15 dan 75 m², 2 y 18 dan 36 m². Todas por debajo de 100 m².

Cortarse significa tener el mismo valor de y para el mismo x, así que se igualan las dos expresiones: x² + 1 = x + 3.

Se pasa todo a un lado: x² − x − 2 = 0. Discriminante 1 + 8 = 9, y x = (1 ± 3) ÷ 2: x = 2 y x = −1.

Ahora hace falta la y de cada uno, y se saca de cualquiera de las dos ecuaciones. Con la recta: si x = 2, y = 5; si x = −1, y = 2.

Se cortan en (2, 5) y en (−1, 2).

Comprobación, y aquí sale gratis: se usa la otra ecuación. Con la parábola, 2² + 1 = 5 y (−1)² + 1 = 2. Los dos puntos están también en ella.

Dominio: todos los números reales menos el 0, porque no se puede dividir entre cero.

f(2) = 12 ÷ 2 = 6 — f(3) = 12 ÷ 3 = 4 — f(−4) = 12 ÷ (−4) = −3 — f(0,5) = 12 ÷ 0,5 = 24

Cuando x se acerca a 0 por el lado positivo, el resultado se dispara: f(0,1) = 120 y f(0,01) = 1.200, y se puede hacer tan grande como se quiera. Por el lado negativo ocurre lo simétrico: f(−0,1) = −120 y f(−0,01) = −1.200, cada vez más pequeños. En x = 0 la función no existe, ni por un lado ni por el otro.

Cuando x se hace muy grande, el resultado se acerca a 0 sin llegar nunca: f(100) = 0,12 y f(1.000) = 0,012.

La comprobación propia de esta función: el producto x · f(x) siempre vale 12. 2 · 6 = 12, 3 · 4 = 12, (−4) · (−3) = 12, 0,5 · 24 = 12. Si alguno de tus valores no cumple eso, está mal.

Cada año el capital queda multiplicado por 1,05 (el 100 % que había más el 5 % nuevo), así que C(t) = 2.000 · 1,05^t, con t en años completos (los intereses se abonan una vez al año) y C en euros.

A los tres años: 1,05³ = 1,157625, y 2.000 · 1,157625 = 2.315,25 €.

Año a año, para verlo: 2.000 → 2.100 → 2.205 → 2.315,25 €. El interés del segundo año son 105 €, no 100 €, porque se calcula sobre 2.100 €.

Si cada año se cobraran 100 € aparte, a los tres años habría 2.000 + 300 = 2.300 €. La diferencia es de 15,25 €, y son los intereses de los intereses.

▲ El exponente es el tiempo, no un factor que multiplique: 2.000 · 1,05 · 3 = 6.300 € no tiene nada que ver con este problema.

En 12 horas caben 12 ÷ 3 = 4 periodos de tres horas, y en cada uno la cantidad se queda en la mitad.

6.400 → 3.200 → 1.600 → 800 → 400 bacterias.

Con fórmula: N(t) = 6.400 · (1/2)^t/3. Para t = 12, el exponente es 12 ÷ 3 = 4, y 6.400 · (1/2)⁴ = 6.400 ÷ 16 = 400.

▲ Esta también es una función exponencial, y decrece: la cantidad de delante es positiva y la base es 1/2, que está entre 0 y 1. Con la cantidad de delante positiva, una exponencial crece si la base es mayor que 1 y decrece si está entre 0 y 1, así que mirar la base es lo primero.

Para corregirte, cuenta los periodos antes de calcular nada: a las 3 h una mitad, a las 6 h dos, a las 9 h tres y a las 12 h cuatro. Si tu resultado no coincide con dividir cuatro veces entre 2, algo falla: mira primero el exponente y después la división.

El teorema de Tales dice que, si las rectas que cortan son paralelas, los segmentos que determinan sobre una secante son proporcionales a los que determinan sobre la otra.

Se plantea la proporción con los segmentos que se corresponden: 6 cm ÷ 9 cm = 8 cm ÷ x.

Multiplicando en cruz: 6 · x = 9 · 8 = 72, así que x = 72 ÷ 6 = 12 cm.

Para corregirte, compara las dos razones: 6/9 se simplifica a 2/3, y 8/12 también da 2/3. Son la misma razón, que es lo que pedía el teorema.

▲ Sin el dato de que las tres rectas son paralelas no se puede asegurar ninguna proporción: es la condición del teorema, no un adorno del enunciado.

Escala 1:50 significa que cada medida real es 50 veces la de la maqueta.

Altura: 24 cm · 50 = 1.200 cm = 12 m.

Superficie: las áreas van con la razón al cuadrado, o sea 50² = 2.500. Entonces 600 cm² · 2.500 = 1.500.000 cm². Y como 1 m² son 10.000 cm², eso es 150 m².

Volumen: los volúmenes van con la razón al cubo, 50³ = 125.000. Entonces 8 cm³ · 125.000 = 1.000.000 cm³. Y como 1 m³ son 1.000.000 cm³, eso es 1 m³.

Comprobación de la superficie por otro camino, sin usar la razón al cuadrado: si la fachada real midiera 12 m de alto por 12,5 m de ancho, su superficie sería 150 m², y en la maqueta mediría 24 cm por 25 cm, o sea 600 cm². Cuadra con los datos.

Los triángulos sí son semejantes. Se comparan los lados ordenados de menor a mayor: 6/9 = 2/3, 8/12 = 2/3 y 10/15 = 2/3. Los tres cocientes coinciden, y en un triángulo eso basta para que sean semejantes.

Se puede ver además que los dos son rectángulos: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², y 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².

El cuadrado y el rombo no son semejantes. Sus cuatro lados sí son proporcionales, con razón 4/4 = 1, pero el cuadrado tiene los cuatro ángulos de 90° y el rombo los tiene de 60° y 120°. Con la misma razón de lados, uno es mucho más «chafado» que el otro.

▲ De ahí sale el límite de la regla: que los lados sean proporcionales basta en los triángulos, no en los demás polígonos. En un triángulo los tres lados ya obligan a que los ángulos sean los que son; en un cuadrilátero, no.

En el resto de polígonos hacen falta las dos cosas a la vez: lados proporcionales y ángulos iguales.

Hipotenusa por el teorema de Pitágoras: √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.

Para ese ángulo, el cateto opuesto es el de 9 cm y el contiguo el de 12 cm.

seno = opuesto ÷ hipotenusa = 9 ÷ 15 = 3/5 = 0,6

coseno = contiguo ÷ hipotenusa = 12 ÷ 15 = 4/5 = 0,8

tangente = opuesto ÷ contiguo = 9 ÷ 12 = 3/4 = 0,75

Dos comprobaciones que salen solas: el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado tiene que dar 1, y 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1; y la tangente tiene que ser el seno dividido entre el coseno, 0,6 ÷ 0,8 = 0,75.

Los valores exactos de esos ángulos conviene tenerlos a mano: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sen 60° = √3/2 y cos 60° = 1/2.

Primer producto: sen 60° · cos 30° = (√3/2) · (√3/2) = 3/4, porque √3 · √3 = 3.

Segundo producto: sen 30° · cos 60° = (1/2) · (1/2) = 1/4.

Resta: 3/4 − 1/4 = 1/2.

Para corregirte, calcula el mismo resultado con decimales aproximados: √3 ≈ 1,732, así que √3/2 ≈ 0,866. Entonces 0,866 · 0,866 ≈ 0,75 y 0,5 · 0,5 = 0,25, y 0,75 − 0,25 = 0,5. Coincide con 1/2.

▲ El 30° y el 60° se intercambian el seno y el coseno porque son los dos ángulos agudos del mismo triángulo rectángulo: lo que para uno es el cateto opuesto, para el otro es el contiguo.

La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo: la escalera es la hipotenusa (5 m), la altura es el cateto opuesto al ángulo de 60° y la distancia al pie es el cateto contiguo.

Altura = 5 m · sen 60° = 5 · (√3/2) = 5√3/2 ≈ 4,33 m.

Distancia = 5 m · cos 60° = 5 · (1/2) = 2,5 m.

Comprobación con Pitágoras sobre lo que acabas de obtener: 2,5² + (5√3/2)² = 6,25 + 18,75 = 25, que es 5².

▲ Pitágoras caza un valor mal calculado, pero no caza que hayas cambiado el seno por el coseno: intercambiando los dos valores —2,5 m de altura y 5√3/2 m de distancia— vuelve a salir exactamente 25. Lo que sí lo caza es el tamaño: el lado que está enfrente del ángulo mayor tiene que ser el más largo, y aquí el ángulo de 60° es el mayor de los dos agudos.

Y el tamaño cuadra por otro lado: en un triángulo rectángulo los dos catetos son menores que la hipotenusa, así que ninguno de los dos podía pasar de 5 m.

El suelo, la torre y la visual forman un triángulo rectángulo. Los 40 m son el cateto contiguo al ángulo de 30° y la altura es el cateto opuesto.

Con contiguo y opuesto la razón que toca es la tangente: tg 30° = altura ÷ 40 m.

tg 30° = sen 30° ÷ cos 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,5774.

Altura = 40 m · (√3/3) = 40√3/3 ≈ 23,09 m.

La distancia hasta lo alto es la hipotenusa: 40 m ÷ cos 30° = 40 ÷ (√3/2) = 80/√3 = 80√3/3 ≈ 46,19 m.

Comprobación: la hipotenusa tiene que ser mayor que los dos catetos, y 46,19 m pasa de 40 m y de 23,09 m. Y con los valores exactos, sin redondear, Pitágoras cuadra al céntimo: 40² + (40√3/3)² = 1.600 + 1.600/3 = 6.400/3, que es justamente (80√3/3)².

▲ Con los valores ya redondeados no sale igual de limpio: 23,09² = 533,1481 y 46,19² = 2.133,5161, y 1.600 + 533,1481 son 2.133,1481. La diferencia es el redondeo, no un error, pero por eso las comprobaciones conviene hacerlas con los valores exactos.

Las diferencias de coordenadas son 5 − (−1) = 6 y 10 − 2 = 8.

Vector de A a B: justamente esas dos diferencias, (6, 8).

Distancia: √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Es Pitágoras sobre el triángulo que forman las dos diferencias.

Punto medio: se hace la media de cada coordenada. En la primera, (−1 + 5) ÷ 2 = 2; en la segunda, (2 + 10) ÷ 2 = 6. Sale M(2, 6).

Para corregirte, mide las dos mitades: de A a M las diferencias son 3 y 4, y √(9 + 16) = 5; de M a B son también 3 y 4, y vuelve a salir 5. Que las dos valgan 5 y sumen los 10 que hay de A a B solo lo cumple el punto medio.

▲ Con una sola de las dos distancias no basta: cualquier punto que esté a 5 unidades de A la pasaría sin ser el del medio.

Se despeja y para ver la pendiente: 3y = 2x + 6, o sea y = (2/3)x + 2. La pendiente es 2/3.

Cortes: con x = 0 sale y = 2, punto (0, 2); con y = 0 sale 2x + 6 = 0, o sea x = −3, punto (−3, 0).

Paralela por P: misma pendiente 2/3. y − 1 = (2/3)(x − 3), y quitando denominadores, 3y − 3 = 2x − 6, es decir 2x − 3y − 3 = 0.

Perpendicular por P: la pendiente es la inversa cambiada de signo, −3/2. y − 1 = (−3/2)(x − 3) da 2y − 2 = −3x + 9, es decir 3x + 2y − 11 = 0.

Comprobación, y son dos: el punto P(3, 1) tiene que cumplir las dos ecuaciones (2 · 3 − 3 · 1 − 3 = 0 y 3 · 3 + 2 · 1 − 11 = 0), y el producto de las dos pendientes tiene que dar −1: (2/3) · (−3/2) = −1.

Longitudes de los tres lados, con la fórmula de la distancia: AB = √(4² + 0²) = 4, AC = √(0² + 3²) = 3 y BC = √((−4)² + 3²) = √25 = 5.

Se prueba Pitágoras con el lado mayor: 4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5². Se cumple, así que el triángulo es rectángulo, y el ángulo recto está en A, que es el vértice común a los dos lados menores.

Perímetro = 4 + 3 + 5 = 12 unidades.

Área = (4 · 3) ÷ 2 = 6 unidades cuadradas. Los dos catetos hacen de base y de altura porque son perpendiculares entre sí.

▲ En un triángulo cualquiera no se puede multiplicar dos lados y dividir entre dos: eso solo vale aquí porque hay un ángulo recto y entonces un cateto es la altura sobre el otro.

Grupo A. Suma = 4 + 6 + 6 + 8 + 8 + 8 + 10 + 10 + 10 + 10 = 80, y media = 80 ÷ 10 = 8 horas.

Con los datos ordenados y diez valores, la mediana es la media de los dos centrales, el quinto y el sexto, que valen 8 y 8: mediana = 8 horas. La moda es el valor que más se repite, el 10, que sale cuatro veces.

Desviación típica de A: se suman los cuadrados de las diferencias con la media. (−4)² + (−2)² + (−2)² + 0 + 0 + 0 + 2² + 2² + 2² + 2² = 16 + 4 + 4 + 16 = 40. Se divide entre 10 y sale una varianza de 4, así que la desviación típica es √4 = 2 horas.

Grupo B. Suma = 7 · 5 + 9 · 5 = 35 + 45 = 80, media = 8 horas, la misma. Las diferencias con la media son cinco de −1 y cinco de +1, así que la suma de sus cuadrados es 10, la varianza 1 y la desviación típica 1 hora.

El grupo B es más homogéneo: con la misma media, sus datos se apartan la mitad. Y eso es lo que mide el coeficiente de variación, desviación entre media: en A vale 2 ÷ 8 = 0,25, un 25 %, y en B 1 ÷ 8 = 0,125, un 12,5 %.

Media de las horas: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ÷ 5 = 3 horas. Media de las notas: (3 + 4 + 5 + 8 + 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6.

Las diferencias con su media son, en horas, −2, −1, 0, 1 y 2; y en notas, −3, −2, −1, 2 y 4.

Covarianza = media de los productos de esas diferencias = [(−2)(−3) + (−1)(−2) + 0 · (−1) + 1 · 2 + 2 · 4] ÷ 5 = (6 + 2 + 0 + 2 + 8) ÷ 5 = 18 ÷ 5 = 3,6.

La varianza de las horas es (4 + 1 + 0 + 1 + 4) ÷ 5 = 2, así que la pendiente de la recta es 3,6 ÷ 2 = 1,8, y la ordenada en el origen, 6 − 1,8 · 3 = 0,6. La recta es nota = 1,8 · horas + 0,6.

Para 6 horas daría 1,8 · 6 + 0,6 = 11,4, que no es una nota posible: el máximo es 10. La recta se ha ajustado con datos de 1 a 5 horas y fuera de ese tramo deja de ser fiable.

Para corregirte, mira lo que la recta predice en cada dato y réstalo de la nota real: 2,4 frente a 3, 4,2 frente a 4, 6 frente a 5, 7,8 frente a 8 y 9,6 frente a 10. Las cinco diferencias son 0,6, −0,2, −1, 0,2 y 0,4, y tienen que sumar cero: 0,6 − 0,2 − 1 + 0,2 + 0,4 = 0.

▲ Y la covarianza positiva dice que las dos variables tienden a subir juntas —es una tendencia del conjunto, no una regla que cumpla cada dato—, no que una sea la causa de la otra. Aquí es razonable pensar que estudiar ayuda, pero eso lo dice el sentido común del problema, no el cálculo.

Conviene ir rellenando lo que falta a partir de los totales.

Chicos: 40 − 22 = 18.

Chicos que practican deporte: de los 24 que practican, 15 son chicas, así que 24 − 15 = 9 son chicos.

Chicos que no practican: 18 − 9 = 9. Y chicas que no practican: 22 − 15 = 7.

Porcentaje: 9 ÷ 40 = 0,225, o sea el 22,5 % del grupo.

Para corregirte, suma los cuatro grupos, que tienen que dar el total: 15 chicas con deporte + 9 chicos con deporte + 7 chicas sin deporte + 9 chicos sin deporte = 40. Y los que no practican son 7 + 9 = 16, que es 40 − 24.

En total hay 10 bolas. La probabilidad de que la primera sea verde es 4 ÷ 10 = 2/5.

Si la primera fue verde y no se devuelve, quedan 9 bolas y solo 3 verdes. Por tanto la probabilidad de que la segunda sea verde sabiendo que la primera lo fue es 3 ÷ 9 = 1/3.

Para que ocurran las dos cosas se multiplican esas dos probabilidades, la segunda ya condicionada por la primera: (2/5) · (1/3) = 2/15, algo más del 13 %.

Con devolución la urna vuelve a tener 4 verdes de 10 bolas, así que la segunda extracción no se entera de la primera: (2/5) · (2/5) = 4/25, un 16 %.

▲ Ahí está la diferencia que importa: multiplicar directamente las dos probabilidades de partida, (2/5) · (2/5), solo vale en el caso con devolución. Aplicado al caso sin devolución daría 4/25 en lugar de 2/15, y el error no se nota si no se piensa en si las extracciones se influyen o no.

P(A) = 3 ÷ 6 = 1/2, porque los pares son 2, 4 y 6. P(B) = 1/6.

Incompatibles: sí. El 3 no es par, así que no hay ningún resultado que cumpla las dos cosas a la vez. La probabilidad de que ocurran las dos es 0.

Independientes: no. Serían independientes si la probabilidad de que ocurran las dos fuera el producto P(A) · P(B) = (1/2) · (1/6) = 1/12. Pero vale 0, y 0 no es 1/12.

Se entiende bien pensándolo al revés: si te dicen que ha salido par, la probabilidad de que sea un 3 pasa a ser cero. Saber lo uno cambia lo otro, y eso es justamente no ser independientes.

P(par o 3) = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3. Aquí se pueden sumar sin restar nada porque no hay resultados repetidos entre los dos sucesos.

▲ «Incompatibles» e «independientes» suenan parecido y son casi lo contrario: si dos sucesos de probabilidad no nula no pueden darse juntos, saber que ha ocurrido uno descarta el otro.

Hay dos caminos que llevan a una pieza defectuosa, y cada uno es una probabilidad multiplicada por otra.

Por A: 0,60 · 0,02 = 0,012. Por B: 0,40 · 0,05 = 0,020.

Probabilidad de que sea defectuosa = 0,012 + 0,020 = 0,032, es decir el 3,2 %.

Para la segunda pregunta ya se sabe que es defectuosa, así que el total deja de ser todas las piezas y pasa a ser solo ese 3,2 %. De esa parte, la que viene de B es 0,020.

P(la ha hecho B, sabiendo que es defectuosa) = 0,020 ÷ 0,032 = 5/8 = 0,625, el 62,5 %.

▲ Fíjate en el resultado: B fabrica menos piezas que A y, aun así, la mayor parte de las defectuosas son suyas. Lo que decide no es cuánto produce cada máquina, sino el producto de cuánto produce por lo mal que lo hace, y por eso hay que calcularlo en vez de responder de memoria que la culpable es la que más fabrica.