Ejercicios Resueltos de Valor Absoluto Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de valor absoluto resueltos para 1º de Bachillerato: definición y propiedades, ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, la distancia en la recta real y la función valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia al cero: |a| = a si a ≥ 0, y |a| = −a si a < 0. Por eso nunca es negativo.
Ejercicios de valor absoluto para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Definición y propiedades
Piensa siempre en el valor absoluto como una distancia: así se entienden sus propiedades.
1Calcula: a) |−7| b) |0| c) |3 − 8| d) −|−4|
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b) 0: el cero está a distancia 0 de sí mismo.
c) Primero se opera dentro: |−5| = 5.
d) |−4| = 4, y el signo menos está fuera: −4 → −4.
2¿Cuáles de estas igualdades son siempre ciertas? a) |a·b| = |a|·|b| b) |a + b| = |a| + |b| c) |−a| = |a|
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c) Siempre cierta.
b) No siempre: con a = 3 y b = −5, |3 − 5| = 2, pero |3| + |−5| = 8. Lo que se cumple es la desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|.
3Calcula la distancia entre −3 y 5 en la recta real. ¿Qué números están a distancia 2 del 4?
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|x − 4| = 2 → x − 4 = 2 o x − 4 = −2 → x = 6 y x = 2.
2. Ecuaciones con valor absoluto
|A| = k (con k > 0) se convierte en dos ecuaciones: A = k o A = −k.
4Resuelve |x − 3| = 5.
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Soluciones: x = 8 y x = −2. Comprobación: |5| = 5 ✓ y |−5| = 5 ✓.
5Resuelve |2x + 1| = 7.
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Soluciones: x = 3 y x = −4.
6Resuelve |x − 1| = |2x + 3|.
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x − 1 = 2x + 3 → x = −4. x − 1 = −(2x + 3) → 3x = −2 → x = −2/3.
Soluciones: x = −4 y x = −2/3. Comprobación: |−5| = |−5| ✓; |−5/3| = |5/3| ✓.
7¿Tiene solución la ecuación |x + 2| = −3?
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3. Inecuaciones con valor absoluto
|A| < k ⇔ −k < A < k (los puntos «cerca»). |A| > k ⇔ A < −k o A > k (los puntos «lejos»).
8¿Qué valores de x cumplen |x − 2| < 3?
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Son los números que están a menos de 3 unidades del 2.
9Halla el conjunto de soluciones de |x + 1| ≥ 4.
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(−∞, −5] ∪ [3, +∞): los números a 4 unidades o más del −1.
10Expresa como intervalo las soluciones de |2x − 6| ≤ 4.
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4. La función valor absoluto
11Escribe f(x) = |x − 2| como función a trozos, calcula f(0), f(2) y f(5), y describe su gráfica.
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f(0) = 2; f(2) = 0; f(5) = 3.
Gráfica: una «V» con el vértice en (2, 0); es la de |x| trasladada 2 unidades a la derecha.
Reglas del valor absoluto
Lo que hay que saber:
- |a| ≥ 0 siempre, y |a| = 0 solo si a = 0.
- |a·b| = |a|·|b|; |a/b| = |a|/|b|; |a + b| ≤ |a| + |b|.
- Distancia entre a y b: |a − b|.
- |A| = k → A = ±k (si k < 0, no hay solución).
- |A| < k → un intervalo; |A| > k → dos semirrectas.
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Cómo se transforma cada caso (con k > 0).
Tabla de casos
| Expresión | Equivale a | Ejemplo resuelto |
|---|---|---|
| |A| = k | A = k o A = −k | |x| = 4 → x = ±4 |
| |A| = |B| | A = B o A = −B | |x| = |x − 2| → x = 1 |
| |A| < k | −k < A < k | |x| < 1 → (−1, 1) |
| |A| > k | A < −k o A > k | |x| > 1 → (−∞, −1) ∪ (1, +∞) |
| |A| = k con k < 0 | sin solución | |x| = −1 → ninguna |
Dudas sobre el valor absoluto
¿Cuál es el valor absoluto de cero?
Es 0: el cero está a distancia cero de sí mismo. Es el único número cuyo valor absoluto es 0.
¿Por qué |x| < 3 da un intervalo y |x| > 3 da dos?
Porque |x| es la distancia al cero. Estar a menos de 3 del cero es estar entre −3 y 3 (un solo tramo). Estar a más de 3 es estar a la izquierda de −3 o a la derecha de 3 (dos tramos separados).
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