Ejercicios Resueltos de Derivadas: Matemáticas de 1º de Bachillerato
Veinte ejercicios resueltos de derivadas para 1º de Bachillerato, ordenados de menos a más dificultad: primero derivar aplicando las reglas, después la derivada en un punto y la recta tangente, y al final las aplicaciones (crecimiento, máximos y mínimos). Cada uno lleva la solución explicada paso a paso, no solo el resultado. Incluye la tabla de derivadas para tenerla a mano mientras resuelves.
Ejercicios de derivadas para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Derivar aplicando las reglas
1Calcula la derivada de f(x) = x⁵.
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Regla de la potencia: la derivada de xn es n·xn−1. Baja el exponente multiplicando y se le resta 1.
f′(x) = 5x⁴
2Calcula la derivada de f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7.
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Se deriva término a término. Las constantes que multiplican se mantienen; el 7, al ser constante sola, desaparece.
3·4x³ = 12x³ · 5·2x = 10x · derivada de 7 = 0
f′(x) = 12x³ − 10x
3Calcula la derivada de f(x) = √x.
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Primero se escribe la raíz como potencia: √x = x1/2. Ahora ya se puede aplicar la regla de la potencia.
(1/2)·x−1/2 = 1 / (2x1/2)
f′(x) = 1 / (2√x)
4Calcula la derivada de f(x) = 1/x³.
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Se pasa al numerador cambiando el signo del exponente: 1/x³ = x−3.
−3·x−4
f′(x) = −3/x⁴
5Calcula la derivada de f(x) = (2x + 1)(x² − 3).
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Regla del producto: (u·v)′ = u′v + u v′, con u = 2x + 1 y v = x² − 3.
2·(x² − 3) + (2x + 1)·2x = 2x² − 6 + 4x² + 2x
f′(x) = 6x² + 2x − 6
6Calcula la derivada de f(x) = (x² + 1)/(x − 2).
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Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − u v′) / v².
[2x(x − 2) − (x² + 1)·1] / (x − 2)² = [2x² − 4x − x² − 1] / (x − 2)²
f′(x) = (x² − 4x − 1) / (x − 2)²
7Calcula la derivada de f(x) = (3x − 5)⁴.
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Hay una función dentro de otra, así que toca la regla de la cadena: se deriva la de fuera dejando la de dentro igual, y se multiplica por la derivada de la de dentro.
4(3x − 5)³ · 3
f′(x) = 12(3x − 5)³
8Calcula la derivada de f(x) = e2x.
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La derivada de eu es eu·u′. Aquí u = 2x, cuya derivada es 2.
f′(x) = 2e2x
9Calcula la derivada de f(x) = ln(x² + 1).
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La derivada de ln(u) es u′/u. Aquí u = x² + 1 y u′ = 2x.
f′(x) = 2x / (x² + 1)
10Calcula la derivada de f(x) = sen(3x).
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La derivada de sen(u) es cos(u)·u′, con u = 3x y u′ = 3.
f′(x) = 3·cos(3x)
2. Derivada en un punto, tasa de variación y recta tangente
11Dada f(x) = x² − 4x + 3, calcula f′(2).
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Primero se deriva y después se sustituye. No al revés: si sustituyes antes, te queda un número y la derivada de un número es 0.
f′(x) = 2x − 4 → f′(2) = 2·2 − 4
f′(2) = 0
12Halla la pendiente de la recta tangente a f(x) = x³ − 3x en x = 1.
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La pendiente de la tangente en un punto es la derivada en ese punto. Ese es todo el significado geométrico de la derivada.
f′(x) = 3x² − 3 → f′(1) = 3 − 3
La pendiente es 0: la tangente es horizontal.
13Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) = x² en el punto de abscisa x = 3.
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Hacen falta dos cosas: el punto y la pendiente.
Punto: f(3) = 9 → (3, 9). Pendiente: f′(x) = 2x → f′(3) = 6.
Se usa la ecuación punto-pendiente: y − y₀ = m(x − x₀) → y − 9 = 6(x − 3)
y = 6x − 9
14Calcula la tasa de variación media de f(x) = x² en el intervalo [1, 3].
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La TVM es la pendiente de la recta secante, no de la tangente: se calcula con una resta, sin derivar.
TVM = [f(3) − f(1)] / (3 − 1) = (9 − 1) / 2
TVM = 4
Si quieres más práctica solo de este apartado, tienes el banco completo en ejercicios resueltos de recta tangente de 1º de Bachillerato.
3. Aplicaciones: crecimiento, máximos y mínimos
15Estudia el crecimiento de f(x) = x² − 6x + 5 e indica su mínimo.
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Se deriva y se mira el signo de la derivada: donde f′ > 0 la función crece, donde f′ < 0 decrece.
f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3
Para x < 3 la derivada es negativa (decrece); para x > 3 es positiva (crece).
Decrece en (−∞, 3), crece en (3, +∞) y tiene un mínimo en (3, −4), porque f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
16Halla los máximos y mínimos de f(x) = x³ − 3x².
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Se igualan a cero los puntos críticos y se decide con la segunda derivada.
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 → x = 0 y x = 2
f″(x) = 6x − 6. Como f″(0) = −6 < 0, en x = 0 hay máximo; como f″(2) = 6 > 0, en x = 2 hay mínimo.
Máximo en (0, 0) y mínimo en (2, −4).
17Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x³ − 12x.
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f′(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 0 → x = −2 y x = 2
Esos dos valores parten la recta en tres tramos. Probando un punto de cada uno:
Crece en (−∞, −2), decrece en (−2, 2) y vuelve a crecer en (2, +∞).
18Halla el punto de la curva f(x) = x² − 8x + 12 donde la recta tangente es horizontal.
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Tangente horizontal significa pendiente 0, es decir f′(x) = 0.
2x − 8 = 0 → x = 4, y f(4) = 16 − 32 + 12 = −4
El punto es (4, −4).
19El beneficio de una empresa, en miles de euros, viene dado por B(x) = −x² + 40x − 300, donde x son las unidades vendidas. ¿Cuántas debe vender para que el beneficio sea máximo?
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Maximizar es buscar dónde se anula la derivada.
B′(x) = −2x + 40 = 0 → x = 20
Como el coeficiente de x² es negativo, la parábola abre hacia abajo y ese punto es un máximo.
Vendiendo 20 unidades, con un beneficio de B(20) = 100 mil euros.
20De todos los rectángulos de perímetro 40 m, halla el de área máxima.
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Problema de optimización: se escribe la magnitud a maximizar en función de una sola variable.
Si un lado mide x, el otro mide (40 − 2x)/2 = 20 − x. El área es A(x) = x(20 − x) = 20x − x².
A′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10
El cuadrado de 10 × 10 m, con 100 m² de área.
Reglas de derivación: cómo derivar con ejemplos
La derivada mide cómo de rápido cambia una función. Geométricamente, f′(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa a.
Para resolver casi todo en 1º de Bachillerato basta con reconocer qué forma tiene la función y aplicar la regla que le toca:
Tabla de derivadas
Esta es la tabla que necesitas tener delante mientras resuelves. La columna de la derecha indica cuándo se usa cada una.
| Función | Derivada | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | Números sueltos: 5, −2, π |
| x | 1 | La variable sola |
| xn | n·xn−1 | Potencias, raíces y fracciones con x abajo |
| √x | 1 / (2√x) | Raíz cuadrada |
| ex | ex | Exponencial de base e |
| ax | ax·ln a | Exponencial de otra base |
| ln x | 1/x | Logaritmo neperiano |
| loga x | 1 / (x·ln a) | Logaritmo de otra base |
| sen x | cos x | Seno |
| cos x | −sen x | Coseno (ojo al signo) |
| tg x | 1 / cos²x | Tangente |
| u + v | u′ + v′ | Suma: se deriva por separado |
| k·u | k·u′ | Constante multiplicando: se mantiene |
| u·v | u′v + u v′ | Producto de dos funciones |
| u/v | (u′v − u v′) / v² | Cociente |
| un | n·un−1·u′ | Regla de la cadena: algo dentro de una potencia |
Ejemplos de derivadas por tipo de función
Modelos ya resueltos para reconocer el patrón de un vistazo. No son los ejercicios de arriba: aquí solo tienes que fijarte en qué regla entra en juego.
| Función | Derivada | En qué fijarse |
|---|---|---|
| f(x) = x⁷ | 7x⁶ | Potencia limpia: baja el exponente y resta 1 |
| f(x) = ∛x | (1/3)·x−2/3 | La raíz se reescribe como x1/3 antes de derivar |
| f(x) = 3x | 3x·ln 3 | Base distinta de e: aparece el logaritmo de la base |
| f(x) = ln(5x) | 1/x | Sale 5/(5x) y el 5 se simplifica |
| f(x) = cos(x²) | −2x·sen(x²) | Cadena y cambio de signo a la vez |
| f(x) = x·ex | ex(1 + x) | Producto; después se saca factor común |
| f(x) = x/(x + 1) | 1/(x + 1)² | Cociente: el numerador se simplifica entero |
Dudas al resolver derivadas
¿Cuándo uso la regla de la cadena y cuándo la del producto?
Producto cuando hay dos funciones multiplicándose, una al lado de la otra: x·sen x. Cadena cuando una está dentro de la otra: sen(x²). La pregunta que lo resuelve es: ¿puedo separarlas con un «por»? Si sí, producto. Si una está metida dentro del paréntesis de la otra, cadena.
¿Por qué la derivada de 7 es 0 pero la de 3x es 3?
Porque la derivada mide el cambio. La función f(x) = 7 vale 7 siempre: no cambia nunca, así que su derivada es 0. En cambio 3x sube 3 unidades cada vez que x sube 1: cambia a ritmo constante 3.
Si f′(a) = 0, ¿siempre hay un máximo o un mínimo en a?
No, y es el fallo más caro en un examen. Que la derivada se anule solo dice que la tangente es horizontal. En f(x) = x³ se cumple f′(0) = 0 y en x = 0 no hay ni máximo ni mínimo: es un punto de inflexión, la función sigue creciendo. Por eso hay que comprobarlo con el signo de la segunda derivada o estudiando cómo cambia f′ alrededor del punto.
Ejercicios de Matemáticas de Bachillerato por tema
Ejercicios resueltos de derivadas de 1º de Bachillerato en PDF: todavía no disponible
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