Ejercicios Resueltos de Límites Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de límites resueltos para 2º de Bachillerato, ordenados por tipo de indeterminación: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 1∞ y 0·∞, con la regla de L’Hôpital, los límites laterales y la continuidad. En cada solución se indica primero qué indeterminación aparece y después el método para resolverla.
Ejercicios de límites para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Indeterminaciones 0/0 e ∞/∞
Ante 0/0 con polinomios, se factoriza y se simplifica; con raíces, se multiplica por el conjugado. Ante ∞/∞ con polinomios, se comparan los grados.
1Calcula limx→2 (x² − 4) / (x − 2).
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limx→2 (x − 2)(x + 2) / (x − 2) = limx→2 (x + 2) = 4.
2Calcula limx→0 (√(x + 9) − 3) / x.
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(√(x + 9) − 3)(√(x + 9) + 3) = x + 9 − 9 = x, así que el límite queda limx→0 x / (x(√(x + 9) + 3)) = lim 1/(√(x + 9) + 3) = 1/(3 + 3) = 1/6.
3Calcula cuando x → +∞: a) (3x² − x + 1)/(2x² + 5) b) x³/(x² + 1) c) (x + 1)/x².
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a) Mismo grado → cociente de coeficientes principales: 3/2.
b) Numerador de mayor grado → +∞.
c) Denominador de mayor grado → 0.
2. Indeterminaciones ∞ − ∞, 1∞ y 0·∞
4Calcula limx→+∞ (√(x² + 3x) − x).
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(√(x² + 3x) − x)(√(x² + 3x) + x) = x² + 3x − x² = 3x.
lim 3x / (√(x² + 3x) + x): ∞/∞ de «grado 1» arriba y abajo → 3/(1 + 1) = 3/2.
5Calcula limx→1 [1/(x − 1) − 2/(x² − 1)].
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1/(x − 1) − 2/(x² − 1) = (x + 1 − 2)/(x² − 1) = (x − 1)/((x − 1)(x + 1)) = 1/(x + 1).
Límite: 1/(1 + 1) = 1/2.
6Calcula limx→+∞ ((x + 3)/(x − 1))x.
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Se usa lim fg = elim g·(f − 1).
f − 1 = (x + 3)/(x − 1) − 1 = 4/(x − 1); g·(f − 1) = 4x/(x − 1) → 4.
Resultado: e4.
7Calcula limx→+∞ (1 + 2/x)x.
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Resultado: e2. Es un caso de la definición del número e: lim (1 + a/x)x = ea.
3. Regla de L’Hôpital
Si un límite da 0/0 o ∞/∞, se pueden derivar numerador y denominador por separado (no como un cociente) y calcular el límite de nuevo.
8Calcula limx→0 (ex − 1 − x) / x².
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Otra vez: lim ex/2 = 1/2.
9Calcula limx→0 (sen x − x) / x³.
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(cos x − 1)/(3x²) → 0/0; (−sen x)/(6x) → 0/0; (−cos x)/6 → −1/6.
10Calcula limx→0+ x·ln x.
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L’Hôpital: (1/x) / (−1/x²) = −x → 0.
4. Límites laterales y continuidad
11Calcula los límites laterales de f(x) = 1/(x − 1) en x = 1. ¿Existe el límite?
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Por la derecha, positivo y muy pequeño: limx→1+ = +∞.
Como no coinciden, el límite no existe.
12Halla a para que sea continua f(x) = x² + a si x < 1; 2x + 3 si x ≥ 1.
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limx→1− = 1 + a; limx→1+ = f(1) = 5.
Continua si 1 + a = 5 → a = 4.
13Clasifica la discontinuidad de f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en x = 1 y la de g(x) = 1/x en x = 0.
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g: los laterales son −∞ y +∞: discontinuidad inevitable de salto infinito (hay una asíntota vertical).
Cómo resolver límites: las 7 indeterminaciones
Las siete expresiones que no tienen un valor fijo y el método para cada una:
- 0/0: factorizar y simplificar; conjugado si hay raíces; L’Hôpital.
- ∞/∞: comparar grados (dividir entre la mayor potencia); L’Hôpital.
- ∞ − ∞: operar (denominador común) o multiplicar por el conjugado.
- 0·∞: pasar a cociente (0/0 o ∞/∞).
- 1∞: fórmula elim g(f − 1).
- 00 e ∞0: tomar logaritmos y llevarlo a 0·∞.
Resultados que conviene saber de memoria
Límites que aparecen a menudo.
Límites notables
| Límite | Valor |
|---|---|
| lim (1 + 1/x)^x, x → ∞ | e |
| lim (1 + a/x)^x, x → ∞ | e^a |
| lim sen x / x, x → 0 | 1 |
| lim (e^x − 1)/x, x → 0 | 1 |
| lim ln(1 + x)/x, x → 0 | 1 |
| lim x·ln x, x → 0⁺ | 0 |
Dudas sobre límites
¿Por qué 0/0 es una indeterminación y 5/0 no?
Porque 5/0 siempre da ±∞ (hay que mirar los laterales para el signo), mientras que 0/0 puede dar cualquier cosa: 4, 1/6, 0, ∞… según la función. Por eso hay que transformar la expresión para descubrir su valor.
¿Cuándo una función es continua en un punto?
Cuando se cumplen tres cosas: existe f(a), existe el límite en a (los laterales coinciden) y los dos valores son iguales. Si falla alguna, hay discontinuidad: evitable (el límite existe), de salto finito o de salto infinito.
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Los límites se usan después en:
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- Material: propio de Solucionario.es, 25 páginas
- Contenido: 46 ejercicios resueltos y la teoría de los 13 temas del curso
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