Ejercicios Resueltos de Dominio de una Función Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de dominio de una función resueltos para 1º de Bachillerato. El dominio, Dom f, es el conjunto de valores de x para los que la función se puede calcular. Se trabajan las funciones polinómicas, racionales, radicales y logarítmicas, las combinadas y el recorrido, con el resultado en forma de intervalos.
Ejercicios de dominios para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Polinómicas y racionales
Las polinómicas existen para cualquier x. En las racionales hay que quitar los valores que anulan el denominador.
1Calcula el dominio de: a) f(x) = 3x³ − 2x + 7 b) g(x) = (x + 1)/(x² − 9)
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b) Racional: x² − 9 = 0 → x = 3 o x = −3. Dom g = ℝ − {−3, 3}.
2Calcula el dominio de h(x) = 1/(x² + 4).
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2. Radicales
Con raíz de índice par, el radicando debe ser ≥ 0. Con índice impar, no hay restricción.
3Calcula el dominio de: a) √(x − 5) b) ∛(x − 7)
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b) Raíz cúbica (índice impar): Dom = ℝ, porque existe la raíz cúbica de un número negativo.
4Calcula el dominio de f(x) = √(4 − x²).
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Dom f = [−2, 2]. Comprobación: con x = 3 el radicando es −5 (no vale); con x = 1, 3 (vale).
5Calcula el dominio de f(x) = √((x − 1)/(x + 2)).
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En (−∞, −2): (−)/(−) = + ✓. En (−2, 1): (−)/(+) = − ✗. En (1, +∞): + ✓. En x = 1 vale 0 ✓; en x = −2 no existe.
Dom f = (−∞, −2) ∪ [1, +∞).
3. Logarítmicas y combinadas
El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo (> 0).
6Calcula el dominio de: a) f(x) = log(x − 3) b) g(x) = log(x² − 4x)
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b) x² − 4x = x(x − 4) > 0. Es positivo fuera de las raíces 0 y 4: Dom = (−∞, 0) ∪ (4, +∞).
7Calcula el dominio de f(x) = √x/(x − 2).
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Dom f = [0, 2) ∪ (2, +∞).
8Calcula el dominio de f(x) = ln(x + 1) + √(5 − x).
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Se cumplen las dos: Dom f = (−1, 5].
4. Recorrido
9Calcula el dominio y el recorrido de f(x) = x² + 1.
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Recorrido (o imagen): x² ≥ 0, así que x² + 1 ≥ 1. El valor mínimo es 1 (en x = 0) y puede crecer sin límite: Im f = [1, +∞).
Cómo calcular el dominio de una función
Qué hay que exigir según la función:
- Polinómica: nada → ℝ.
- Racional: denominador ≠ 0 → se quitan sus raíces.
- Raíz de índice par: radicando ≥ 0 (si además está en el denominador, > 0).
- Raíz de índice impar: lo que exija el radicando.
- Logaritmo: argumento > 0.
- Combinadas: se cumplen todas las condiciones a la vez (intersección).
Dominio según el tipo de función
Ejemplos distintos de los de los ejercicios.
Tabla de condiciones
| Función | Condición | Ejemplo y dominio |
|---|---|---|
| Polinómica | ninguna | x² − 3x → ℝ |
| Racional | denominador ≠ 0 | 1/(x − 4) → ℝ − {4} |
| Raíz par | radicando ≥ 0 | √(2x + 6) → [−3, +∞) |
| Raíz par en denominador | radicando > 0 | 1/√x → (0, +∞) |
| Logaritmo | argumento > 0 | ln(1 − x) → (−∞, 1) |
| Exponencial | ninguna (si el exponente existe) | 2^x → ℝ |
Dudas sobre el dominio
¿Qué diferencia hay entre dominio y recorrido?
El dominio son los valores de x que se pueden usar (el eje horizontal). El recorrido o imagen son los valores de y que la función alcanza (el eje vertical). Para x² + 1, el dominio es todo ℝ, pero el recorrido es solo [1, +∞).
¿Corchete o paréntesis en el intervalo?
Corchete [ ] si el extremo está incluido (por ejemplo, cuando el radicando puede valer 0). Paréntesis ( ) si no lo está: en los extremos que anulan un denominador, en los de un logaritmo y siempre junto a ±∞.
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Para completar el estudio de funciones:
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