Ejercicios Resueltos del Teorema del Seno y del Coseno Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios del teorema del seno y del teorema del coseno resueltos para 1º de Bachillerato: resolución de triángulos cualesquiera (no rectángulos), el caso ambiguo y problemas de distancias, alturas y áreas. En cada ejercicio se explica primero qué teorema hay que usar y por qué. Notación: los lados a, b, c son opuestos a los ángulos A, B, C.
Ejercicios del teorema del seno y del coseno con soluciones
1. Resolución de triángulos
Teorema del seno: a/sen A = b/sen B = c/sen C. Teorema del coseno: c² = a² + b² − 2ab·cos C.
1Resuelve el triángulo con A = 40°, B = 60° y c = 10 cm.
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C = 180° − 40° − 60° = 80°.
a = c·sen A/sen C = 10·sen 40°/sen 80° ≈ 6,53 cm.
b = 10·sen 60°/sen 80° ≈ 8,79 cm.
2Resuelve el triángulo con a = 7, b = 5 y C = 60°.
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c² = 49 + 25 − 2·7·5·cos 60° = 74 − 35 = 39 → c = √39 ≈ 6,24.
cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 39 − 49)/(2·5·√39) → A ≈ 76,1°.
B = 180° − 60° − 76,1° ≈ 43,9°.
3Resuelve el triángulo de lados a = 5, b = 6 y c = 7.
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cos A = (36 + 49 − 25)/(2·6·7) = 60/84 → A ≈ 44,42°.
cos B = (25 + 49 − 36)/(2·5·7) = 38/70 → B ≈ 57,12°.
C = 180° − 44,42° − 57,12° ≈ 78,46°. (El ángulo mayor está frente al lado mayor, como debe ser.)
4Resuelve el triángulo con a = 8, b = 10 y A = 40°. ¿Cuántas soluciones hay?
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sen B = 10·sen 40°/8 ≈ 0,8035 → B ≈ 53,46° o B ≈ 180° − 53,46° = 126,54°.
Solución 1: B ≈ 53,46°, C ≈ 86,54°, c = 8·sen C/sen 40° ≈ 12,42.
Solución 2: B ≈ 126,54°, C ≈ 13,46°, c ≈ 2,90.
Las dos son válidas porque en ambas los ángulos suman 180°. Hay dos triángulos.
5¿Existe algún triángulo con a = 3, b = 8 y A = 50°?
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Un seno nunca puede ser mayor que 1, así que no existe ningún triángulo con esos datos: el lado a es demasiado corto para cerrar el triángulo.
2. Problemas
6Dos observadores, separados 100 m, ven un globo situado entre ellos, en el mismo plano vertical, con ángulos de elevación de 50° y 65°. ¿A qué distancia está el globo del primer observador y a qué altura vuela?
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Distancia al primer observador (lado opuesto a 65°): 100·sen 65°/sen 65° = 100 m (el triángulo es isósceles).
Altura: 100·sen 50° ≈ 76,6 m.
7Calcula el área de un triángulo con dos lados de 8 y 6 cm que forman un ángulo de 30°.
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8Los lados de un paralelogramo miden 5 y 8 cm y forman un ángulo de 60°. Calcula sus diagonales.
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Diagonal menor (ángulo 60°): d² = 25 + 64 − 2·5·8·cos 60° = 89 − 40 = 49 → 7 cm.
Diagonal mayor (ángulo 120°, el suplementario): d² = 89 + 40 = 129 → ≈ 11,36 cm.
9Para medir la distancia entre dos puntos A y B separados por un lago, se toma un punto C desde el que CA = 120 m, CB = 90 m y el ángulo ACB = 70°. ¿Cuánto mide AB?
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AB² = 120² + 90² − 2·120·90·cos 70° = 14.400 + 8.100 − 21.600·0,342 ≈ 15.112 → AB ≈ 122,9 m.
10Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo con a = 10 cm y A = 30°.
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2R = 10/sen 30° = 10/0,5 = 20 → R = 10 cm.
Cuándo usar el teorema del seno o el del coseno
Depende de los datos:
- Dos ángulos y un lado → teorema del seno (el tercer ángulo sale de la suma de 180°).
- Dos lados y el ángulo comprendido → teorema del coseno.
- Tres lados → teorema del coseno, despejando los cosenos.
- Dos lados y un ángulo no comprendido → teorema del seno, con cuidado: puede haber 0, 1 o 2 soluciones (caso ambiguo).
- En triángulos rectángulos basta con las razones trigonométricas y Pitágoras: el teorema del coseno con 90° es el de Pitágoras.
Fórmulas de resolución de triángulos
Las que se usan en esta página.
Teoremas y fórmulas
| Fórmula | Expresión | Uso |
|---|---|---|
| Teorema del seno | a/sen A = b/sen B = c/sen C | dos ángulos y un lado; caso ambiguo |
| Teorema del coseno | c² = a² + b² − 2ab·cos C | dos lados y el ángulo entre ellos; tres lados |
| Coseno despejado | cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) | hallar ángulos con tres lados |
| Área | S = ½·a·b·sen C | dos lados y el ángulo entre ellos |
| Suma de ángulos | A + B + C = 180° | siempre |
Dudas sobre los teoremas del seno y del coseno
¿Qué dice el teorema del coseno?
Que en cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman. Es una generalización del teorema de Pitágoras: si el ángulo es de 90°, el coseno vale 0 y queda c² = a² + b².
¿Por qué hay casos con dos triángulos?
Porque con dos lados y un ángulo que no está entre ellos, el tercer lado puede «cerrar» el triángulo en dos posiciones distintas. Si el seno calculado es mayor que 1, no hay ningún triángulo; si es 1, hay uno rectángulo; si es menor que 1, puede haber dos.
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