Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica: la Recta Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de geometría analítica del plano resueltos para 1º de Bachillerato: las ecuaciones de la recta, la pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, posición relativa, distancias, ángulos y la mediatriz de un segmento. Una recta queda determinada por un punto y un vector director, por dos puntos o por un punto y su pendiente.
Ejercicios de rectas en el plano para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Ecuaciones de la recta
Elige la forma de la ecuación según los datos: con un punto y un vector, la vectorial o la continua; con la pendiente, la punto-pendiente o la explícita.
1Expresa en todas sus formas la recta que contiene el punto P(1, 2) y tiene como vector director v = (3, −1).
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Paramétricas: x = 1 + 3t; y = 2 − t.
Continua: (x − 1)/3 = (y − 2)/(−1).
General: −(x − 1) = 3(y − 2) → x + 3y − 7 = 0.
Explícita: y = −x/3 + 7/3 (pendiente −1/3).
Comprobación con P: 1 + 6 − 7 = 0 ✓.
2Halla la ecuación de la recta que pasa por A(2, 1) y B(5, 7), en forma explícita y general.
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Punto-pendiente: y − 1 = 2(x − 2) → y = 2x − 3; general: 2x − y − 3 = 0.
Comprobación con B: 10 − 7 − 3 = 0 ✓.
3Para la recta 3x − 2y + 6 = 0, calcula su pendiente y su ordenada en el origen, y di dónde corta a cada eje.
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Cortes: con el eje Y (x = 0) → (0, 3); con el eje X (y = 0) → 3x + 6 = 0 → (−2, 0).
2. Paralelas, perpendiculares y posición relativa
Paralelas: misma pendiente. Perpendiculares: pendientes cuyo producto es −1 (m’ = −1/m).
4Halla la recta paralela a 2x − y + 5 = 0 que pasa por (1, −1).
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Con el punto: 2 + 1 + C = 0 → C = −3 → 2x − y − 3 = 0.
5Halla la recta perpendicular a y = 2x − 1 que pasa por (4, 0).
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y − 0 = −(1/2)(x − 4) → y = −x/2 + 2 → x + 2y − 4 = 0.
6Estudia la posición relativa de r: x + 2y − 3 = 0 con s: 2x + 4y + 1 = 0 y con t: 3x − y − 2 = 0. Si se cortan, halla el punto.
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r y t: 1/3 ≠ 2/(−1) → secantes. Resolviendo { x + 2y = 3 ; 3x − y = 2 }: y = 3x − 2 → x + 6x − 4 = 3 → x = 1, y = 1.
Punto de corte: (1, 1).
3. Distancias, ángulos y mediatriz
7Calcula la distancia del punto P(3, −2) a la recta 4x + 3y − 1 = 0.
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8Calcula la distancia entre las rectas paralelas x + 2y − 3 = 0 y 2x + 4y + 1 = 0.
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d = |C1 − C2|/√(A² + B²) = |−3 − 1/2|/√5 = 3,5/√5 = 7√5/10 ≈ 1,57.
9Calcula el ángulo que forman las rectas y = 2x e y = −3x.
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10Halla la mediatriz del segmento AB, con A(2, 0) y B(6, 4).
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Con M: 16 + 8 + C = 0 → C = −24 → 4x + 4y − 24 = 0 → x + y − 6 = 0.
Ecuaciones de la recta en el plano: resumen
Lo que hay que saber:
- En la general Ax + By + C = 0, el vector (A, B) es perpendicular a la recta (normal) y (−B, A) es un director.
- Pendiente por dos puntos: m = (y2 − y1)/(x2 − x1); en la general, m = −A/B.
- Paralelas: misma pendiente. Perpendiculares: m·m’ = −1.
- Distancia punto-recta: |Ax0 + By0 + C|/√(A² + B²).
- Mediatriz: pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento.
Las ecuaciones de la recta
Todas las formas, con la recta 2x − y − 3 = 0 (pasa por (2, 1) con pendiente 2).
Tabla de ecuaciones de la recta
| Forma | Ecuación | Qué se ve |
|---|---|---|
| Vectorial | (x, y) = (2, 1) + t(1, 2) | un punto y un vector director |
| Paramétricas | x = 2 + t ; y = 1 + 2t | lo mismo por coordenadas |
| Continua | (x − 2)/1 = (y − 1)/2 | punto y director |
| Punto-pendiente | y − 1 = 2(x − 2) | punto y pendiente |
| Explícita | y = 2x − 3 | pendiente y ordenada en el origen |
| General | 2x − y − 3 = 0 | vector normal (2, −1) |
| Segmentaria | x/(3/2) + y/(−3) = 1 | cortes con los ejes |
Dudas sobre la ecuación de la recta
¿Cuáles son las ecuaciones de la recta?
En el plano se usan siete formas: vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente, explícita, general (o implícita) y segmentaria (o canónica). Todas describen la misma recta; se elige una u otra según los datos que se tengan y lo que se quiera calcular.
¿Qué pasa con las rectas verticales?
No tienen pendiente (sería una división entre cero) ni forma explícita. Su ecuación es x = k, por ejemplo x = 3. Sí tienen forma general (x − 3 = 0) y vector director (0, 1).
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