Ejercicios Resueltos de Funciones Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de funciones resueltos para 1º de Bachillerato: tipos de funciones elementales, operaciones y composición, función inversa, simetrías (par e impar), traslaciones y funciones exponenciales y logarítmicas. El dominio y el valor absoluto tienen sus propias páginas, enlazadas al final.
Ejercicios de funciones para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Tipos de funciones
Reconoce la familia por la forma de la expresión: polinómica, racional, radical, exponencial o logarítmica.
1Clasifica las funciones: a) y = 3x − 2 b) y = x² − 4x + 3 c) y = 2/x d) y = 2x e) y = log2 x f) y = √x.
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b) Cuadrática (grado 2): una parábola.
c) De proporcionalidad inversa (racional): una hipérbola.
d) Exponencial.
e) Logarítmica.
f) Radical (raíz cuadrada).
2Halla el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola y = x² − 4x + 3.
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Corte con el eje X: x² − 4x + 3 = 0 → x = 1 y x = 3 → (1, 0) y (3, 0).
Corte con el eje Y: x = 0 → (0, 3). Como a = 1 > 0, las ramas van hacia arriba.
3Una población de bacterias empieza con 1.000 individuos y se duplica cada 3 horas. Escribe la función y calcula la población a las 9 horas.
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P(9) = 1000·23 = 8.000 bacterias.
4Calcula: a) log2 8 b) log 1000 c) log3 (1/9).
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b) Logaritmo decimal: 103 = 1000 → 3.
c) 3−2 = 1/9 → −2.
El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base: es la operación inversa de la exponencial.
2. Operaciones, composición e inversa
5Con f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², calcula (f ∘ g)(x), (g ∘ f)(x) y (f ∘ g)(3).
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(g ∘ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1.
(f ∘ g)(3) = 2·9 + 1 = 19.
La composición no es conmutativa: f ∘ g ≠ g ∘ f.
6Halla la función inversa de f(x) = (3x − 2)/5 y comprueba el resultado.
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f−1(x) = (5x + 2)/3.
Comprobación: f(f−1(x)) = (3·(5x + 2)/3 − 2)/5 = (5x + 2 − 2)/5 = x ✓.
7Halla la inversa de h(x) = (x + 1)/(x − 2).
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h−1(x) = (2x + 1)/(x − 1). Comprobación con x = 3: h−1(3) = 7/2 y h(7/2) = (9/2)/(3/2) = 3 ✓.
3. Simetrías y traslaciones
8¿Son pares, impares o ninguna de las dos? a) f(x) = x⁴ − 3x² b) g(x) = x³ − x c) h(x) = x² + x
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a) f(−x) = x⁴ − 3x² = f(x) → par (simétrica respecto del eje Y).
b) g(−x) = −x³ + x = −g(x) → impar (simétrica respecto del origen).
c) h(−x) = x² − x, que no es ni h(x) ni −h(x) → ninguna.
9¿Qué transformación lleva la gráfica de y = x² a la de y = (x − 3)² + 1? ¿Cuál es su vértice?
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El vértice pasa de (0, 0) a (3, 1).
Las funciones de 1º de Bachillerato: resumen
Lo que hay que saber:
- Composición: (f ∘ g)(x) = f(g(x)); primero se aplica g.
- Inversa: se despeja x y se intercambian x e y; cumple f(f−1(x)) = x. Su gráfica es simétrica a la de f respecto de y = x.
- Par: f(−x) = f(x); impar: f(−x) = −f(x).
- Traslaciones: f(x − a) desplaza a unidades a la derecha; f(x) + b, b unidades hacia arriba.
- Exponencial y logaritmo son inversas: loga x = y ⇔ ay = x.
Funciones elementales
Las familias de funciones del curso.
Tabla de funciones elementales
| Tipo | Expresión | Gráfica |
|---|---|---|
| Afín / lineal | y = mx + n | recta |
| Cuadrática | y = ax² + bx + c | parábola |
| Proporcionalidad inversa | y = k/x | hipérbola |
| Radical | y = √x | media parábola tumbada |
| Exponencial | y = aˣ | crece (a > 1) o decrece (0 < a < 1); asíntota y = 0 |
| Logarítmica | y = logₐ x | solo para x > 0; asíntota x = 0 |
Dudas sobre las funciones
¿Cómo se clasifican las funciones?
En 1º de Bachillerato, en algebraicas (polinómicas, racionales y radicales, que se construyen con sumas, productos, cocientes y raíces) y trascendentes (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas). Dentro de las polinómicas se distinguen por el grado: constantes, afines, cuadráticas…
¿Toda función tiene inversa?
No: solo las inyectivas (a cada y le corresponde un único x). y = x² no la tiene en todo ℝ, porque 2 y −2 dan lo mismo; sí la tiene si se restringe a x ≥ 0, y entonces su inversa es √x.
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Para completar el estudio de funciones:
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