Ejercicios y Problemas Resueltos de Progresiones Aritméticas y Geométricas Matemáticas 3 ESO
Ejercicios y problemas de progresiones aritméticas y geométricas de 3º de ESO resueltos paso a paso. En una aritmética cada término se obtiene sumando siempre lo mismo (la diferencia d); en una geométrica, multiplicando siempre por lo mismo (la razón r). Hay ejercicios de término general, de suma de términos y problemas.
Ejercicios de progresiones para 3º de ESO con soluciones
1. ¿Aritmética, geométrica o ninguna?
Se restan términos seguidos (si siempre sale lo mismo, es aritmética) o se dividen (si siempre sale lo mismo, es geométrica).
1Clasifica: (a) 5, 9, 13, 17… · (b) 3, 6, 12, 24… · (c) 1, 4, 9, 16…
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(b) Cocientes: 2, 2, 2 → geométrica, r = 2.
(c) Diferencias 3, 5, 7 y cocientes distintos: ninguna (son los cuadrados).
2. Progresiones aritméticas
Término general: an = a1 + (n − 1) · d. Suma de los n primeros: Sn = n · (a1 + an) / 2.
2En una progresión aritmética, a1 = 7 y d = 3. Escribe el término general y calcula a20.
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3De una progresión aritmética se sabe que a2 = 10 y a6 = 26. Halla d y a1.
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4En la progresión 4, 10, 16, 22…, ¿qué lugar ocupa el término 100?
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5Calcula la suma de los 30 primeros términos de 2, 5, 8, 11…
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6Calcula la suma de los números del 1 al 100 sin sumarlos uno a uno.
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Es el truco de Gauss: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98… son 50 parejas que suman 101.
7Marta ahorra 5 € la primera semana y cada semana 2 € más que la anterior. ¿Cuánto ahorra la semana 20? ¿Y en total en esas 20 semanas?
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3. Progresiones geométricas
Término general: an = a1 · rn − 1. Suma de los n primeros: Sn = a1 · (rn − 1) / (r − 1).
8Una progresión geométrica empieza en 5 y cada término es el doble del anterior. Escribe su término general y calcula a7.
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9En una progresión geométrica, a1 = 5 y a4 = 135. Halla la razón.
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10Calcula la suma de los 6 primeros términos de 2, 6, 18…
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11¿Cuánto suman, si se continúa sin fin, los términos 80, 40, 20, 10…?
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12Un pueblo de 10.000 habitantes pierde cada año el 10 % de su población. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 3 años?
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13Una pelota cae desde 16 m y cada bote sube 3/4 de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza tras el cuarto bote?
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Fórmulas de las progresiones
Las cuatro que se usan:
| Aritmética | Geométrica | |
|---|---|---|
| Se pasa de un término al siguiente | sumando d | multiplicando por r |
| Término general | an = a1 + (n − 1)d | an = a1 · rn − 1 |
| Suma de n términos | Sn = n(a1 + an) / 2 | Sn = a1(rn − 1) / (r − 1) |
| Suma infinita | no existe (crece sin fin) | a1 / (1 − r), si 0 < r < 1 |
Dudas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una progresión aritmética y una geométrica?
En la aritmética la distancia entre términos es siempre la misma (crecen como una escalera: 2, 5, 8, 11). En la geométrica lo que se mantiene es el cociente (crecen cada vez más deprisa: 2, 6, 18, 54).
¿Para qué sirven las progresiones?
Las aritméticas describen aumentos fijos (ahorros, filas de asientos, plazos); las geométricas, aumentos o descensos en porcentaje (intereses, población, rebotes, bacterias).
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Para seguir:
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