Ejercicios Resueltos de Logaritmos Matemáticas 4 ESO

Por Rocky Ejercicios 4 ESO 0 comentarios

Ejercicios de logaritmos de 4º de ESO resueltos paso a paso. El logaritmo es el exponente: log_a N = x significa que a^x = N. Por ejemplo, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. Hay ejercicios de calcular logaritmos, de sus propiedades, del cambio de base y del logaritmo neperiano, y de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

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1 Ejercicios de logaritmos para 4º de ESO con soluciones

1.1 1. Calcular logaritmos con la definición

1.2 2. Propiedades de los logaritmos

1.3 3. Cambio de base y logaritmo neperiano

1.4 4. Ecuaciones exponenciales

1.5 5. Ecuaciones logarítmicas

1.6 6. Un problema

2 Propiedades de los logaritmos: resumen

3 Dudas frecuentes

3.1 ¿Qué es un logaritmo? Ejemplos

3.2 ¿Cuáles son los tipos de logaritmos?

4 Más ejercicios de Matemáticas

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Ejercicios de logaritmos para 4º de ESO con soluciones

1. Calcular logaritmos con la definición

Pregúntate: ¿a qué número hay que elevar la base para obtener el número?

1Calcula: log₂ 32 · log 0,001 · log₅ 125.

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· 2⁵ = 32 → log₂ 32 = 5.
· log es log₁₀: 10⁻³ = 0,001 → −3.
· 5³ = 125 → 3.

2Calcula: log₃ (1/9) · log₄ 2 · log_1/2 8.

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· 3⁻² = 1/9 → −2.
· 4^1/2 = √4 = 2 → 1/2.
· (1/2)⁻³ = 2³ = 8 → −3.

3Halla x en cada caso: log_x 49 = 2 · log₂ x = −1 · log x = 4.

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· x² = 49 → x = 7 (la base tiene que ser positiva).
· x = 2⁻¹ = 1/2.
· x = 10⁴ = 10 000.

2. Propiedades de los logaritmos

log (A · B) = log A + log B · log (A/B) = log A − log B · log Aⁿ = n · log A.

4Calcula usando las propiedades: log 2 + log 5 · log₂ 48 − log₂ 3.

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· log 2 + log 5 = log (2 · 5) = log 10 = 1.
· log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48/3) = log₂ 16 = 4.

5Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y log 3 ≈ 0,477, calcula log 6, log 12, log 1,5 y log 5.

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· log 6 = log 2 + log 3 ≈ 0,778.
· log 12 = log (2² · 3) = 2 log 2 + log 3 ≈ 1,079.
· log 1,5 = log (3/2) = log 3 − log 2 ≈ 0,176.
· log 5 = log (10/2) = 1 − log 2 ≈ 0,699.

6Con log 3 ≈ 0,477, calcula log √3 y log 0,03.

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· log √3 = log 3^1/2 = (1/2) · 0,477 ≈ 0,2385.
· log 0,03 = log (3 · 10⁻²) = 0,477 − 2 = −1,523.

7Expresa como un solo logaritmo: 2 log a + 3 log b − log c.

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log a² + log b³ − log c = log (a² b³ / c).

3. Cambio de base y logaritmo neperiano

log_a N = log N / log a. El logaritmo neperiano (ln) es el de base e ≈ 2,718.

8Calcula log₂ 7 con la calculadora (que solo tiene log y ln).

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log₂ 7 = log 7 / log 2 ≈ 0,8451 / 0,3010 ≈ 2,807. Con ln sale lo mismo: ln 7 / ln 2.
Comprobación: 2^2,807 ≈ 7 ✓.

9Calcula: ln e³ · ln 1 · e^{ln 5}.

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· ln e³ = 3.
· ln 1 = 0 (cualquier base elevada a 0 da 1).
· e^{ln 5} = 5 (la exponencial y el logaritmo se anulan).

4. Ecuaciones exponenciales

Si se pueden poner las dos partes con la misma base, se igualan los exponentes; si no, se toman logaritmos.

10Resuelve: 2^{x + 1} = 32 y 3^{2x − 1} = 27.

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· 32 = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4.
· 27 = 3³ → 2x − 1 = 3 → x = 2.

11Resuelve: 5^x = 1/25 y 2^x = 10.

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· 1/25 = 5⁻² → x = −2.
· 10 no es potencia de 2: se toman logaritmos. x · log 2 = log 10 → x = 1 / 0,301 ≈ 3,32.

12Resuelve: 4^x − 3 · 2^x − 4 = 0.

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4^x = (2^x)². Cambio t = 2^x: t² − 3t − 4 = 0 → t = 4 o t = −1.
2^x = 4 → x = 2. 2^x = −1 no tiene solución (una potencia de base positiva nunca es negativa).

5. Ecuaciones logarítmicas

Se juntan los logaritmos con las propiedades hasta tener log A = log B (entonces A = B). Al final hay que comprobar: no existe el logaritmo de un número negativo ni de 0.

13Resuelve: log x + log 4 = 2 y log₂ (x + 3) = 5.

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· log (4x) = 2 → 4x = 100 → x = 25.
· x + 3 = 2⁵ = 32 → x = 29.

14Resuelve: log (x + 6) − log (x − 3) = 1.

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log ((x + 6)/(x − 3)) = log 10 → x + 6 = 10x − 30 → 9x = 36 → x = 4.
Comprobación: log 10 − log 1 = 1 − 0 = 1 ✓.

15Resuelve: 2 log x = log (5x − 6).

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log x² = log (5x − 6) → x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 o x = 3.
Comprobación: con 2, log 4 = log 4 ✓; con 3, log 9 = log 9 ✓. Valen las dos.

6. Un problema

16Se ingresan 1000 € al 5 % de interés compuesto anual. ¿Cuántos años tardan en duplicarse?

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1000 · 1,05^t = 2000 → 1,05^t = 2 → t = log 2 / log 1,05 ≈ 0,301 / 0,0212 ≈ 14,2.
Hacen falta 15 años (a los 14 todavía no se ha duplicado).

Propiedades de los logaritmos: resumen

Las cuatro leyes y los valores que conviene saber:

Propiedad	Fórmula	Ejemplo
Producto	log (A · B) = log A + log B	log 20 = log 2 + log 10
Cociente	log (A / B) = log A − log B	log 5 = log 10 − log 2
Potencia	log Aⁿ = n · log A	log 8 = 3 log 2
Cambio de base	log_a N = log N / log a	log₂ 7 = log 7 / log 2
Valores fijos	log_a 1 = 0 y log_a a = 1	ln 1 = 0, log 10 = 1

Lo que NO se puede hacer: log (A + B) no es log A + log B. Las propiedades solo valen para productos, cocientes y potencias.

Dudas frecuentes

¿Qué es un logaritmo? Ejemplos

El exponente al que hay que elevar la base para obtener un número. Ejemplos: log₂ 16 = 4 (2⁴ = 16), log 1000 = 3, log₃ 81 = 4, log₅ 1 = 0, log₇ 7 = 1.

¿Cuáles son los tipos de logaritmos?

Los decimales (base 10, se escriben log), los neperianos o naturales (base e, se escriben ln) y los de cualquier otra base (log₂, log₃…), que se calculan con el cambio de base.

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