Ejercicios y Problemas Resueltos de M.C.M. y M.C.D. Matemáticas 1 ESO
Ejercicios y problemas de mínimo común múltiplo (m.c.m.) y máximo común divisor (m.c.d.) de 1º de ESO resueltos paso a paso. Antes están los criterios de divisibilidad, los números primos y la descomposición en factores primos, que es el método para calcularlos. Al final, problemas y cómo saber si piden el m.c.m. o el m.c.d.
Ejercicios de m.c.m. y m.c.d. para 1º de ESO con soluciones
1. Criterios de divisibilidad
Por 2: acaba en cifra par. Por 3: la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por 5: acaba en 0 o 5. Por 9: la suma de cifras es múltiplo de 9. Por 10: acaba en 0. Por 11: la diferencia entre la suma de las cifras de lugar impar y la de lugar par es 0 o múltiplo de 11.
1¿Es 3582 divisible entre 2, 3, 5, 9 y 11?
Ver solución
· 3 y 9: 3 + 5 + 8 + 2 = 18, múltiplo de 3 y de 9 → sí y sí.
· 5: acaba en 2 → no.
· 11: (3 + 8) − (5 + 2) = 4 → no.
2¿Qué números dividen exactamente a 36? Búscalos todos.
Ver solución
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
3¿Cuáles son primos? 91 · 97 · 51 · 89.
Ver solución
· 51 = 3 · 17 → compuesto (5 + 1 = 6, divisible entre 3).
· 97 y 89 son primos: no son divisibles entre 2, 3, 5 ni 7 (basta probar hasta 9, porque 10² = 100).
2. Descomposición en factores primos
Se divide entre el primo más pequeño posible, una y otra vez, hasta llegar a 1.
4Descompón en factores primos: 360 · 84 · 1260.
Ver solución
· 84 = 22 · 3 · 7.
· 1260 = 22 · 32 · 5 · 7.
3. Calcular el m.c.d. y el m.c.m.
m.c.d.: factores comunes con el menor exponente. m.c.m.: factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
5Halla m.c.d.(24, 36) y m.c.m.(24, 36).
Ver solución
m.c.d. = 22 · 3 = 12. m.c.m. = 23 · 32 = 72.
Comprobación: m.c.d. · m.c.m. = 12 · 72 = 864 = 24 · 36 ✓ (pasa siempre con dos números).
6Halla m.c.d.(45, 60, 75) y m.c.m.(45, 60, 75).
Ver solución
m.c.d. = 3 · 5 = 15. m.c.m. = 22 · 32 · 52 = 900.
4. Problemas de m.c.m.
Se pide el m.c.m. cuando se busca cuándo vuelven a coincidir cosas que se repiten, o el número más pequeño que se puede repartir en grupos de varios tamaños.
7Un faro se enciende cada 8 segundos y otro cada 12. Si acaban de encenderse a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir?
Ver solución
8Tres alarmas suenan cada 6, 9 y 15 minutos. Si han sonado juntas a las 10:00, ¿a qué hora vuelven a sonar juntas?
Ver solución
9Marta tiene entre 100 y 150 cromos. Si los agrupa de 4 en 4, de 6 en 6 o de 9 en 9 no le sobra ninguno. ¿Cuántos puede tener?
Ver solución
5. Problemas de m.c.d.
Se pide el m.c.d. cuando hay que dividir o repartir en partes iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada.
10Hay dos cintas de 48 cm y 72 cm. Se quieren cortar en trozos iguales, lo más largos posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto medirá cada trozo y cuántos saldrán?
Ver solución
11Con 60 lápices y 84 gomas se quieren hacer lotes iguales, el mayor número de lotes posible, sin que sobre nada. ¿Cuántos lotes y qué lleva cada uno?
Ver solución
12Una habitación mide 360 cm por 420 cm. Se quiere cubrir con baldosas cuadradas lo más grandes posible y enteras. ¿De qué lado? ¿Cuántas hacen falta?
Ver solución
¿m.c.m. o m.c.d.? Resumen
La pista está en lo que pregunta el problema:
| Si el problema… | Se calcula | El resultado es… |
|---|---|---|
| busca cuándo coinciden | m.c.m. | mayor o igual que los datos |
| agrupa de varias maneras sin que sobre | m.c.m. | un múltiplo común |
| corta o reparte en partes iguales y máximas | m.c.d. | menor o igual que los datos |
| pregunta por el mayor tamaño posible | m.c.d. | un divisor común |
Dudas frecuentes
¿Qué es el mínimo común múltiplo?
El número más pequeño (distinto de 0) que es múltiplo de todos los dados. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16…; los de 6, 6, 12, 18…; el primero común es 12 = m.c.m.(4, 6). Se usa también para sumar fracciones.
¿Qué es el máximo común divisor?
El número más grande que divide a todos los dados. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12; los de 18, 1, 2, 3, 6, 9, 18; el mayor común es 6 = m.c.d.(12, 18). Sirve para simplificar fracciones.
Más ejercicios de Matemáticas
Para seguir:
Más ejercicios de Matemáticas de 1º de ESO en PDF
Además de los ejercicios de esta página, puedes abrir o descargar el cuaderno de Matemáticas de 1º de ESO: reúne los temas del curso con su teoría y sus soluciones. Lo hemos escrito en Solucionario.es; no es el libro de ninguna editorial ni su solucionario oficial.
- Material: propio de Solucionario.es, 11 páginas
- Contenido: 42 ejercicios resueltos y la teoría de los 12 temas del curso
- Acceso: gratuito, sin registro y sin esperas