Ejercicios Resueltos de Sistemas de Ecuaciones Matemáticas 3 ESO
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de 3º de ESO resueltos paso a paso: dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y) que se cumplen a la vez. Están los cuatro métodos (sustitución, igualación, reducción y gráfico), sistemas con fracciones, cuántas soluciones tiene un sistema y, sobre todo, problemas de edades, monedas, animales, cifras y compras.
Ejercicios de sistemas de ecuaciones para 3º de ESO con soluciones
1. Método de sustitución
Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Conviene cuando alguna incógnita va sin número delante.
1Resuelve por sustitución: x + 2y = 7 ; 3x − y = 7.
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Sustituimos en la segunda: 3(7 − 2y) − y = 7 → 21 − 6y − y = 7 → −7y = −14 → y = 2.
Volvemos al despeje: x = 7 − 4 = 3.
Solución: x = 3, y = 2. Comprobación: 3 + 4 = 7 ✓ y 9 − 2 = 7 ✓.
2Resuelve por sustitución: 2x + y = 1 ; 5x − 3y = 19.
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Sustituimos: 5x − 3(1 − 2x) = 19 → 5x − 3 + 6x = 19 → 11x = 22 → x = 2.
y = 1 − 4 = −3. Solución: x = 2, y = −3.
Ojo con el signo: −3 · (−2x) = +6x.
2. Método de igualación
3Resuelve por igualación: y = 2x − 1 ; y = −x + 8.
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y = 2 · 3 − 1 = 5. Solución: x = 3, y = 5.
4Resuelve por igualación: x − 3y = 2 ; x + y = 10.
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Igualamos: 2 + 3y = 10 − y → 4y = 8 → y = 2.
x = 10 − 2 = 8. Solución: x = 8, y = 2.
3. Método de reducción
Se multiplican las ecuaciones para que una incógnita tenga el mismo número con signo contrario, y se suman.
5Resuelve por reducción: 3x + 2y = 16 ; 5x − 2y = 0.
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En la primera: 6 + 2y = 16 → y = 5. Solución: x = 2, y = 5.
6Resuelve por reducción: 4x + 3y = 5 ; 3x + 2y = 4.
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8x + 6y = 10
−9x − 6y = −12
Sumando: −x = −2 → x = 2. En la primera: 8 + 3y = 5 → y = −1.
Solución: x = 2, y = −1.
4. Método gráfico
7Resuelve gráficamente: x + y = 5 ; x − y = 1.
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· x + y = 5 pasa por (0, 5) y (5, 0).
· x − y = 1 pasa por (0, −1) y (1, 0).
Al dibujarlas se cortan en el punto (3, 2): la solución es x = 3, y = 2. Comprobación: 3 + 2 = 5 ✓ y 3 − 2 = 1 ✓.
5. Sistemas con fracciones y paréntesis
Primero se deja cada ecuación en la forma ax + by = c; después, cualquier método.
8Resuelve: x/2 + y/3 = 4 ; x − y = 3.
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De la segunda, x = 3 + y. Sustituimos: 3(3 + y) + 2y = 24 → 9 + 5y = 24 → y = 3, y x = 6.
Solución: x = 6, y = 3. Comprobación: 6/2 + 3/3 = 3 + 1 = 4 ✓.
9Resuelve: 2(x + 1) − y = 7 ; 3x − (y − 2) = 12.
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Restamos la primera a la segunda: x = 5. Entonces y = 2 · 5 − 5 = 5.
Solución: x = 5, y = 5.
6. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
Un sistema puede tener una solución, infinitas o ninguna.
10Clasifica y resuelve: x + 2y = 3 ; 3x + 6y = 9.
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Es un sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones, todas las de la forma x = 3 − 2y. Por ejemplo, (1, 1), (3, 0) o (−1, 2).
11Clasifica: 2x − y = 1 ; 4x − 2y = 5.
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Las rectas son paralelas y no se cortan: sistema incompatible, sin solución.
7. Problemas de sistemas de ecuaciones
Pasos: elegir qué es x y qué es y, escribir dos ecuaciones con los datos, resolver y comprobar con el enunciado.
12Una madre tiene el triple de años que su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
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x = 3y ; x + 12 = 2(y + 12).
Sustituimos: 3y + 12 = 2y + 24 → y = 12, y x = 36.
La madre tiene 36 años y el hijo 12. Dentro de 12 años: 48 = 2 · 24 ✓.
13En una hucha hay 25 monedas, unas de 1 € y otras de 2 €, que suman 38 €. ¿Cuántas hay de cada clase?
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x + y = 25 ; x + 2y = 38.
Restando: y = 13, y x = 12.
12 monedas de 1 € y 13 de 2 €. Comprobación: 12 + 26 = 38 € ✓.
14En una granja hay gallinas y conejos: en total 30 cabezas y 86 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?
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x + y = 30 ; 2x + 4y = 86.
Multiplicamos la primera por −2 y sumamos: 2y = 26 → y = 13, x = 17.
17 gallinas y 13 conejos. 34 + 52 = 86 patas ✓.
15Las dos cifras de un número suman 9. Si se cambian de orden, el número aumenta en 27. ¿Qué número es?
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x + y = 9 ; 10y + x = 10x + y + 27 → 9y − 9x = 27 → y − x = 3.
Sumando: 2y = 12 → y = 6, x = 3. El número es 36 (63 − 36 = 27 ✓).
16El perímetro de un rectángulo es 46 cm y el largo mide 7 cm más que el ancho. Calcula sus dimensiones.
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2x + 2y = 46 → x + y = 23 ; x = y + 7.
Sustituimos: 2y + 7 = 23 → y = 8, x = 15.
15 cm de largo y 8 cm de ancho.
17Tres cuadernos y dos bolígrafos cuestan 7,60 €; dos cuadernos y cinco bolígrafos, 9,10 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
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3x + 2y = 7,60 ; 2x + 5y = 9,10.
Primera por 2 y segunda por −3: 6x + 4y = 15,20 y −6x − 15y = −27,30. Sumando: −11y = −12,10 → y = 1,10.
3x = 7,60 − 2,20 = 5,40 → x = 1,80.
El cuaderno cuesta 1,80 € y el bolígrafo 1,10 €.
Qué método elegir
Los cuatro dan la misma solución; cambia lo cómodo que resulta cada uno.
| Método | Cuándo conviene | Idea |
|---|---|---|
| Sustitución | Una incógnita sin coeficiente | Despejar y sustituir |
| Igualación | La misma incógnita fácil de despejar en las dos | Despejar dos veces e igualar |
| Reducción | Coeficientes opuestos o múltiplos | Multiplicar y sumar |
| Gráfico | Para ver qué pasa (una, infinitas o ninguna) | Cortar dos rectas |
Dudas frecuentes
¿Qué es un sistema compatible indeterminado?
Es el que tiene infinitas soluciones: las dos ecuaciones dicen lo mismo (una es múltiplo de la otra) y sus rectas coinciden. Si tiene una sola solución es compatible determinado, y si no tiene ninguna, incompatible (rectas paralelas).
¿Cómo sé si he resuelto bien un sistema?
Sustituyendo los valores de x e y en las dos ecuaciones originales (no en las ya transformadas). Si las dos se cumplen, la solución es correcta.
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