Ejercicios Resueltos de Identidades Notables Matemáticas 3 ESO
Ejercicios de identidades notables de 3º de ESO resueltos paso a paso. Son tres fórmulas que permiten desarrollar ciertos productos sin multiplicar término a término: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² y (a + b)(a − b) = a² − b². Hay ejercicios para desarrollarlas, para factorizar con ellas (el camino inverso), de identidades al cubo y aplicaciones.
Ejercicios de identidades notables para 3º de ESO con soluciones
1. Cuadrado de una suma
El cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
1Desarrolla: (x + 3)².
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⚠ No es x² + 9: falta el doble producto.
2Desarrolla: (4x + 1)² y (x² + 4)².
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· (x²)² + 2 · x² · 4 + 4² = x⁴ + 8x² + 16.
2. Cuadrado de una diferencia
Igual que la anterior, pero el doble producto va restando.
3Desarrolla: (2x − 5)².
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4Desarrolla: (x/2 − 3)².
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3. Suma por diferencia
El resultado es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo: no hay término del medio.
5Desarrolla: (3x + 1)(3x − 1).
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6Desarrolla: (5x − 2)(5x + 2) y (x² + 7)(x² − 7).
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· (x²)² − 7² = x⁴ − 49.
El orden de los factores no importa: (5x − 2)(5x + 2) es lo mismo que (5x + 2)(5x − 2).
7Calcula de cabeza 31 · 29 con una identidad notable.
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4. Factorizar: el camino inverso
Si un polinomio tiene la forma de un desarrollo, se escribe como el producto que lo ha dado.
8Factoriza: x² − 36 · 49x² − 16.
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· x² − 6² = (x + 6)(x − 6).
· (7x)² − 4² = (7x + 4)(7x − 4).
9Factoriza: x² + 10x + 25 · 9x² − 12x + 4.
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· (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = (3x − 2)².
Se comprueba que el término del medio sea el doble producto: 2 · 3x · 2 = 12x ✓.
10¿Es x² + 8x + 9 el desarrollo de un cuadrado? ¿Y x² + 9?
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· x² + 9: una suma de cuadrados no se factoriza con identidades notables (solo la diferencia).
11Simplifica la fracción algebraica: (x² − 25) / (x² + 10x + 25).
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Se tacha un (x + 5): (x − 5) / (x + 5) (para x ≠ −5).
5. Identidades notables al cubo
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ y (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
12Desarrolla: (x + 2)³.
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13Desarrolla: (x − 1)³.
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6. Operar con varias
14Simplifica: (x + 3)² − (x − 3)².
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⚠ El menos delante del paréntesis cambia el signo de los tres términos.
15Simplifica: (2x + 1)² − (2x + 1)(2x − 1).
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Las identidades notables: resumen
Las fórmulas y un ejemplo de cada una:
| Identidad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cuadrado de una suma | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 1)² = x² + 2x + 1 |
| Cuadrado de una diferencia | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 4)² = x² − 8x + 16 |
| Suma por diferencia | (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + 2)(x − 2) = x² − 4 |
| Cubo de una suma | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1 |
Dudas frecuentes
¿Cuáles son los 3 tipos de identidades notables?
El cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia. A veces se añaden los cubos de una suma y de una diferencia, y entonces se habla de cinco productos notables.
¿Para qué sirven?
Para desarrollar productos más deprisa, para factorizar polinomios (y así simplificar fracciones algebraicas o resolver ecuaciones) y para hacer cálculos de cabeza, como 31 · 29 o 99².
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Para seguir:
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