Ejercicios y Problemas Resueltos del Teorema de Tales Matemáticas 3 ESO

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Ejercicios y problemas del teorema de Tales de 3º de ESO resueltos paso a paso. El teorema dice que si varias rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que quedan en una son proporcionales a los de la otra. Hay ejercicios de segmentos, de triángulos en posición de Tales, de semejanza y problemas de sombras, espejos, ríos y escalas.

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1 Ejercicios del teorema de Tales para 3º de ESO con soluciones
1.1 1. Segmentos proporcionales
1.2 2. Triángulos en posición de Tales
1.3 3. Semejanza
1.4 4. Problemas del teorema de Tales
2 Teorema de Tales: resumen
3 Dudas frecuentes
3.1 ¿Qué dice el teorema de Tales?
3.2 ¿Para qué sirve en la vida real?
4 Más ejercicios de Matemáticas
5 Más ejercicios de Matemáticas de 3º de ESO en PDF

Ejercicios del teorema de Tales para 3º de ESO con soluciones

1. Segmentos proporcionales

Si a y b son los segmentos de una recta y a’ y b’ los de la otra: a/b = a’/b’.

1Tres rectas paralelas cortan a dos rectas r y s. En r quedan segmentos de 3 cm y 5 cm; en s, el que corresponde al de 3 cm mide 4,5 cm. ¿Cuánto mide el otro?

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3/5 = 4,5/x → x = 5 · 4,5 / 3 = 7,5 cm.

2Con rectas paralelas, AB = 8 cm, BC = x, A’B’ = 6 cm y B’C’ = 9 cm. Calcula x.

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8/x = 6/9 → x = 8 · 9 / 6 = 12 cm.

2. Triángulos en posición de Tales

Si en un triángulo ABC se traza un segmento DE paralelo a BC (D en AB, E en AC), el triángulo ADE es semejante a ABC: AD/AB = AE/AC = DE/BC.



3En el triángulo ABC, AB = 10 cm, AC = 15 cm y BC = 20 cm. Se traza DE paralelo a BC con AD = 4 cm. Calcula AE y DE.

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Razón: AD/AB = 4/10 = 0,4.
AE = 0,4 · 15 = 6 cm; DE = 0,4 · 20 = 8 cm.

4En un triángulo, AD = 3, DB = 6, AE = 4 y EC = 8 (D en un lado y E en otro, desde el vértice A). ¿Es DE paralelo al tercer lado? ¿Y si EC midiera 7?

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3/6 = 0,5 y 4/8 = 0,5: son proporcionales, así que sí es paralelo (recíproco del teorema de Tales).
Con EC = 7: 4/7 ≈ 0,57 ≠ 0,5 → no es paralelo.

3. Semejanza

5¿Son semejantes dos triángulos de lados 4, 5 y 7 cm y 12, 15 y 21 cm? Si lo son, da la razón.

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12/4 = 15/5 = 21/7 = 3: los lados son proporcionales, así que son semejantes, con razón k = 3.

6En el ejercicio anterior, si el triángulo pequeño tiene 10 cm² de área, ¿cuál es el área del grande? ¿Y la razón de sus perímetros?

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Las áreas van con k²: 10 · 3² = 90 cm². Los perímetros van con k: razón 3 (16 cm y 48 cm).

7¿Cómo se divide un segmento de 10 cm en 3 partes iguales con el teorema de Tales, sin medir 3,33 cm?

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Desde un extremo A se traza una semirrecta auxiliar y se marcan en ella 3 segmentos iguales de cualquier longitud. Se une la última marca con el otro extremo B y se trazan paralelas a esa unión por las otras marcas. Cortan al segmento en tres partes iguales: por Tales, si en la auxiliar son iguales, en AB también.

4. Problemas del teorema de Tales

8Un árbol proyecta una sombra de 12 m. A la misma hora, una persona de 1,6 m proyecta una sombra de 2,4 m. ¿Cuánto mide el árbol?

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Los rayos del sol son paralelos: los dos triángulos son semejantes.
h/12 = 1,6/2,4 → h = 12 · 1,6 / 2,4 = 8 m.

9Para medir una torre, Inés pone un espejo en el suelo a 30 m de la base y se aleja hasta ver la punta reflejada: está a 2 m del espejo y sus ojos, a 1,5 m del suelo. ¿Qué altura tiene la torre?

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El ángulo con el que llega la luz al espejo es igual al de salida: los triángulos son semejantes.
h/30 = 1,5/2 → h = 22,5 m.

10Para medir la anchura de un río se marcan con estacas dos triángulos semejantes. El pequeño, en la orilla, tiene lados de 8 m y 20 m. En el grande, el lado que corresponde al de 8 m mide 12 m, y el que corresponde al de 20 m es la anchura del río. ¿Cuánto mide el río?

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x/20 = 12/8 → x = 20 · 12 / 8 = 30 m.
Así se miden distancias que no se pueden recorrer, como hizo el propio Tales con la altura de las pirámides.

11En un plano a escala 1:200, un salón mide 3,5 cm de largo. ¿Cuánto mide en realidad?

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Escala 1:200 = cada cm del plano son 200 cm reales. 3,5 · 200 = 700 cm = 7 m.
Las escalas son otra aplicación de la semejanza: el plano y el salón son figuras semejantes.

Teorema de Tales: resumen

Las fórmulas que se usan:

SituaciónProporciónEjemplo
Paralelas cortando dos rectasa/b = a’/b’3/5 = 4,5/7,5
Triángulos en posición de TalesAD/AB = AE/AC = DE/BC4/10 = 6/15 = 8/20
Figuras semejantes (razón k)longitudes · k; áreas · k²; volúmenes · k³k = 3 → áreas · 9
Escala 1:nreal = plano · n3,5 cm a 1:200 = 7 m
Comprueba que emparejas bien: cada segmento de una recta va con el que está entre las mismas paralelas en la otra. Si se cruzan, sale mal.

Dudas frecuentes

¿Qué dice el teorema de Tales?

Que si un conjunto de rectas paralelas corta a dos rectas cualesquiera, los segmentos que se forman en una son proporcionales a los que se forman en la otra. De ahí sale que un triángulo cortado por una paralela a un lado da otro triángulo semejante.

¿Para qué sirve en la vida real?

Para calcular alturas y distancias que no se pueden medir: edificios por su sombra, árboles, la anchura de un río… Y es la base de las escalas de planos, mapas y maquetas.

Más ejercicios de Matemáticas

Para seguir:

2º ESOTeorema de Pitágoras4º ESOTrigonometría1º ESOEscalas de mapas

Más ejercicios de Matemáticas de 3º de ESO en PDF

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