Ejercicios Resueltos de Vectores Matemáticas 1 Bachillerato

Por Rocky Ejercicios 1 Bachillerato, Matemáticas, Vectores 0 comentarios

Ejercicios de vectores en el plano resueltos para 1º de Bachillerato: operaciones, módulo y vector unitario, combinación lineal y bases, producto escalar (ángulo, perpendicularidad y proyección) y aplicaciones a la geometría. Un vector se escribe con sus coordenadas, u = (u₁, u₂), y el vector que va de A a B es AB = B − A.

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1 Ejercicios de vectores para 1º de Bachillerato con soluciones

1.1 1. Operaciones, módulo y vector unitario

1.2 2. Combinación lineal y bases

1.3 3. Producto escalar

1.4 4. Aplicaciones geométricas

2 Vectores en el plano: fórmulas

3 Operaciones con vectores

3.1 Resumen de operaciones

4 Dudas sobre los vectores

4.1 ¿Qué diferencia hay entre dirección y sentido?

4.2 ¿El producto escalar da un vector?

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Ejercicios de vectores para 1º de Bachillerato con soluciones

1. Operaciones, módulo y vector unitario

Se suma coordenada a coordenada y se multiplica cada coordenada por el número. El módulo es la longitud: |u| = √(u₁² + u₂²).

1Dados u = (3, −1) y v = (−2, 4), calcula u + v y 2u − 3v.

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u + v = (3 − 2, −1 + 4) = (1, 3).
2u − 3v = (6, −2) − (−6, 12) = (6 + 6, −2 − 12) = (12, −14).

2Halla el vector AB con A(1, 2) y B(4, 6), su módulo y un vector unitario con la misma dirección y sentido.

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AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4).
|AB| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Unitario: se divide entre el módulo → (3/5, 4/5). Comprobación: √(9/25 + 16/25) = 1 ✓.

3Calcula el módulo de w = (−5, 12). ¿Qué vectores tienen la misma dirección que w y módulo 26?

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|w| = √(25 + 144) = √169 = 13.
Para módulo 26 hay que multiplicar por 2: (−10, 24) (mismo sentido) y (10, −24) (sentido contrario).

2. Combinación lineal y bases

Dos vectores del plano forman una base si no son proporcionales (no tienen la misma dirección). Entonces cualquier vector se escribe como combinación lineal de ellos.

4Expresa w = (7, 0) como combinación lineal de u = (1, 2) y v = (3, −1).

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Buscamos a, b con a(1, 2) + b(3, −1) = (7, 0):
{ a + 3b = 7 ; 2a − b = 0 } → b = 2a → a + 6a = 7 → a = 1, b = 2.
w = u + 2v. Comprobación: (1, 2) + (6, −2) = (7, 0) ✓.

5¿Forman una base u = (2, −1) y v = (−4, 2)? ¿Y u = (2, −1) y w = (1, 3)?

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v = −2·u: son proporcionales (misma dirección) → no forman base.
u y w: 2/1 ≠ −1/3 → no son proporcionales → sí forman base.

3. Producto escalar

u·v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u|·|v|·cos α. Si vale 0, los vectores son perpendiculares.

6Calcula el ángulo que forman u = (3, 4) y v = (4, 3).

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u·v = 12 + 12 = 24; |u| = |v| = 5.
cos α = 24/(5·5) = 24/25 = 0,96 → α ≈ 16,26°.

7Halla k para que u = (k, 3) y v = (2, −4) sean perpendiculares.

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u·v = 2k − 12 = 0 → k = 6.
Comprobación: (6, 3)·(2, −4) = 12 − 12 = 0 ✓.

8Calcula la proyección de u = (3, 4) sobre v = (1, 0). Interpreta el resultado.

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proy_v u = (u·v)/|v| = 3/1 = 3.
Es la longitud de la «sombra» de u sobre la dirección de v (el eje X): la primera coordenada de u.

4. Aplicaciones geométricas

9Halla el punto medio del segmento de extremos A(−1, 5) y B(3, 1).

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M = ((−1 + 3)/2, (5 + 1)/2) = (1, 3).

10Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(0, 0), B(4, 1) y C(5, 4). Halla el cuarto vértice D.

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En un paralelogramo ABCD, AD = BC: D = A + BC = (0, 0) + (1, 3) = (1, 3).
Comprobación: AB = (4, 1) = DC = (5 − 1, 4 − 3) ✓.

11Divide el segmento de extremos A(1, 1) y B(7, 4) en tres partes iguales.

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AB = (6, 3); un tercio es (2, 1).
P₁ = A + (2, 1) = (3, 2); P₂ = A + 2·(2, 1) = (5, 3).

Vectores en el plano: fórmulas

Lo que hay que saber en 1º de Bachillerato:

Vector entre dos puntos: AB = B − A.
Módulo: |u| = √(u₁² + u₂²); unitario: u/|u|.
Paralelos si son proporcionales; base si no lo son.
Producto escalar: u·v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u||v| cos α; perpendiculares si vale 0.
Punto medio: ((a₁ + b₁)/2, (a₂ + b₂)/2).

El error más habitual. Calcular AB como A − B. Es al revés: «punto final menos punto inicial». Con el orden cambiado se obtiene el vector opuesto, con el sentido contrario.

Operaciones con vectores

Cada operación, qué da y un ejemplo.

Resumen de operaciones

Operación	Resultado	Ejemplo con u = (1, 2), v = (3, −1)
Suma u + v	vector	(4, 1)
Producto por un número 3u	vector	(3, 6)
Módulo \|u\|	número ≥ 0	√5
Producto escalar u·v	número	1·3 + 2·(−1) = 1
Ángulo	número (grados)	cos α = 1/(√5·√10)

Dudas sobre los vectores

¿Qué diferencia hay entre dirección y sentido?

La dirección es la recta sobre la que está el vector (dos vectores paralelos tienen la misma dirección). El sentido indica hacia dónde apunta dentro de esa recta: (3, 4) y (−3, −4) tienen la misma dirección y sentidos contrarios.

¿El producto escalar da un vector?

No: da un número. Por eso se llama «escalar». Sirve para calcular ángulos, comprobar perpendicularidad y hallar proyecciones. El producto que da un vector es el vectorial, que se estudia en el espacio en 2º de Bachillerato.

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