Ejercicios Resueltos de Funciones a Trozos Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de funciones definidas a trozos resueltos para 2º de Bachillerato: evaluar, escribir el valor absoluto como función a trozos, estudiar la continuidad y la derivabilidad en los puntos de unión, calcular parámetros y representar. Las funciones se escriben así: f(x) = { expresión si condición ; expresión si condición }.
Ejercicios de funciones a trozos para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Evaluar y escribir funciones a trozos
Para calcular f(a) se mira primero en qué trozo está a y se usa solo esa expresión.
1Dada f(x) = { x + 1 si x < 0 ; x² si 0 ≤ x ≤ 2 ; 4 si x > 2 }, calcula f(−3), f(0), f(2) y f(5).
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f(0): 0 está en 0 ≤ x ≤ 2 → 0² = 0.
f(2): segundo trozo → 2² = 4.
f(5): 5 > 2 → 4.
2Escribe f(x) = |x − 3| como función a trozos.
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Si x ≥ 3, x − 3 ≥ 0 y queda igual; si x < 3, se cambia de signo.
f(x) = { 3 − x si x < 3 ; x − 3 si x ≥ 3 }.
3Escribe g(x) = |x² − 4| como función a trozos.
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g(x) = { x² − 4 si x ≤ −2 ; 4 − x² si −2 < x < 2 ; x² − 4 si x ≥ 2 }.
4Un taxi cobra 3 € de bajada de bandera, 1,20 € por km en los primeros 10 km y 1 € por km a partir de ahí. Escribe el precio C(x) en función de los km y calcula el de un viaje de 25 km.
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C(x) = { 3 + 1,2x si 0 ≤ x ≤ 10 ; 15 + (x − 10) si x > 10 }.
C(25) = 15 + 15 = 30 €. La función es continua en 10 (los dos trozos dan 15): el precio no da saltos.
2. Continuidad en los puntos de unión
Dentro de cada trozo la función suele ser continua; hay que estudiar los puntos de unión: existe f(a), los dos límites laterales coinciden y valen f(a).
5Estudia la continuidad de la función del ejercicio 1: f(x) = { x + 1 si x < 0 ; x² si 0 ≤ x ≤ 2 ; 4 si x > 2 }.
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En x = 2: lim2− x² = 4; lim2+ 4 = 4; f(2) = 4 → continua.
Es continua en todo ℝ salvo en x = 0.
6Halla a para que f(x) = { ax − 1 si x ≤ 2 ; x² + a si x > 2 } sea continua.
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2a − 1 = 4 + a → a = 5. Comprobación: los dos lados valen 9.
3. Derivabilidad
Para que sea derivable en un punto de unión, primero tiene que ser continua, y además las derivadas laterales deben coincidir (sin «picos»).
7¿Es derivable f(x) = |x| en x = 0?
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Derivadas laterales: f’(0−) = −1 y f’(0+) = 1. No coinciden → no es derivable en 0: la gráfica tiene un pico.
8Estudia la derivabilidad de f(x) = { x² si x ≤ 1 ; 2x − 1 si x > 1 } y escribe f’(x).
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Derivadas laterales: (x²)’ = 2x → 2; (2x − 1)’ = 2 → 2. Coinciden → derivable en 1, con f’(1) = 2.
f’(x) = { 2x si x ≤ 1 ; 2 si x > 1 }. La recta 2x − 1 es justo la tangente a la parábola en x = 1.
9Calcula los valores de a y b con los que la función f(x) = { ax² + 3 si x ≤ 1 ; bx + 1 si x > 1 } sea continua y derivable.
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Derivabilidad en 1: 2a·1 = b → b = 2a.
Sustituyendo: a + 3 = 2a + 1 → a = 2, b = 4.
Comprobación: 2·1 + 3 = 5 = 4·1 + 1 ✓; derivadas 4x → 4 y 4 ✓.
4. Representación
10Describe la gráfica de f(x) = { −x si x < 0 ; x² si x ≥ 0 } y di si es continua y derivable en 0.
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Continua en 0 (los dos lados valen 0). Derivadas laterales: −1 y 0 → no derivable en 0 (hay un pico, aunque más suave que el de |x|).
Continuidad y derivabilidad: resumen
El método para cualquier función a trozos:
- Dominio: une los intervalos de cada trozo (y quita los puntos donde la expresión de su trozo no exista).
- Continuidad en el punto de unión a: lima− = lima+ = f(a).
- Derivabilidad en a: continua y f’(a−) = f’(a+).
- Si no es continua, no puede ser derivable. Si es continua pero las derivadas laterales no coinciden, hay un punto anguloso.
- Con dos parámetros: una ecuación sale de la continuidad y otra de la derivabilidad.
Tipos de puntos de unión
Lo que puede pasar en el punto donde cambia la expresión.
Qué ocurre en un punto de unión
| Situación | Límites laterales | Derivadas laterales | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Salto finito | distintos y finitos | — | x + 1 / x² en x = 0 |
| Punto anguloso (pico) | iguales a f(a) | distintas | |x| en x = 0 |
| Unión suave | iguales a f(a) | iguales | x² / 2x − 1 en x = 1 |
| Salto infinito | alguno es ±∞ | — | 1/x / x en x = 0 |
Dudas sobre funciones a trozos
¿Dónde pongo el «≤»: en un trozo o en el otro?
En uno solo: cada valor de x debe tener una única imagen. Si escribes ≤ 2 en un trozo y ≥ 2 en el siguiente, f(2) tendría dos valores (salvo que coincidan), y eso no es una función.
¿Una función a trozos es siempre discontinua?
No. Muchas son continuas e incluso derivables, como la tarifa del taxi o x² / 2x − 1 en x = 1. Que se defina «a trozos» solo significa que la fórmula cambia según el intervalo.
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