Ejercicios Resueltos de Integrales Inmediatas, por Partes y Definidas Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de integrales resueltos para 2º de Bachillerato: integrales inmediatas (simples y compuestas), por partes, integral definida con la regla de Barrow y cálculo de áreas. En cada primitiva se indica qué fórmula de la tabla se usa. Truco para comprobar cualquier resultado: derivarlo tiene que devolver la función de partida.
Ejercicios de integrales para 2º de Bachillerato con soluciones
1. Integrales inmediatas
Se aplican directamente las fórmulas de la tabla. La constante C se añade siempre en las integrales indefinidas.
1Calcula ∫ (3x² − 4x + 5) dx.
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3·x³/3 − 4·x²/2 + 5x = x³ − 2x² + 5x + C.
Comprobación: (x³ − 2x² + 5x)’ = 3x² − 4x + 5 ✓.
2Calcula ∫ (√x + 1/x²) dx.
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∫ x1/2 dx = x3/2/(3/2) = (2/3)x3/2; ∫ x−2 dx = x−1/(−1) = −1/x.
Resultado: (2/3)√x³ − 1/x + C.
3Calcula ∫ e3x dx y ∫ cos(2x) dx.
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∫ e3x dx = (1/3)∫ 3e3x dx = e3x/3 + C.
∫ cos(2x) dx = (1/2)∫ 2cos(2x) dx = sen(2x)/2 + C.
2. Inmediatas compuestas
Las más frecuentes: ∫ f’/f = ln|f|, ∫ f’·fn = fn+1/(n + 1) y ∫ f’/(1 + f²) = arctg f.
4Calcula ∫ 2x / (x² + 1) dx.
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Resultado: ln(x² + 1) + C (no hace falta el valor absoluto porque x² + 1 > 0).
5Calcula ∫ x(x² + 3)4 dx.
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(1/2)∫ 2x(x² + 3)4 dx = (1/2)·(x² + 3)5/5 = (x² + 3)5/10 + C.
6Calcula ∫ 1 / (1 + 4x²) dx.
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(1/2)∫ 2/(1 + (2x)²) dx = (1/2)·arctg(2x) + C.
3. Integración por partes
Fórmula: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. Para elegir u se usa la regla ALPES: Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos y cosenos (se toma como u la que va antes).
7Calcula ∫ x·ex dx.
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∫ xex dx = xex − ∫ ex dx = (x − 1)ex + C.
Comprobación: ((x − 1)ex)’ = ex + (x − 1)ex = xex ✓.
8Calcula ∫ x·ln x dx.
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∫ x ln x dx = (x²/2) ln x − ∫ (x²/2)(1/x) dx = (x²/2) ln x − x²/4 + C.
9Calcula ∫ ln x dx.
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∫ ln x dx = x ln x − ∫ x·(1/x) dx = x ln x − x + C.
4. Integral definida y áreas
Regla de Barrow: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), con F una primitiva de f.
10Calcula ∫02 (3x² + 1) dx.
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F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10.
11Calcula el área del recinto limitado por f(x) = x² − 4 y el eje X.
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∫−22 (x² − 4) dx = [x³/3 − 4x]−22 = (8/3 − 8) − (−8/3 + 8) = −32/3.
Área = |−32/3| = 32/3 u² ≈ 10,67 u².
12Calcula el área encerrada entre y = x e y = x².
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Área = ∫01 (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]01 = 1/2 − 1/3 = 1/6 u².
13Halla la función F tal que F’(x) = 2x + 1 y F(1) = 5.
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F(x) = x² + x + 3.
Métodos de integración: resumen
Qué método probar según la integral:
- Inmediata: la función está en la tabla, o se ajusta multiplicando y dividiendo por una constante.
- Compuesta: aparece una función y su derivada (f’/f, f’·fn, f’·ef).
- Por partes: producto de dos funciones de distinto tipo (polinomio por exponencial, por logaritmo, por seno…).
- Racionales: cociente de polinomios que no es f’/f: se descompone en fracciones simples.
- Áreas: hallar los cortes, ver el signo en cada tramo e integrar por tramos con valor absoluto.
Tabla de integrales inmediatas
Forma simple y forma compuesta (con f = f(x)).
Integrales inmediatas más usadas
| Simple | Compuesta |
|---|---|
| ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) | ∫ f’·fⁿ dx = fⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| ∫ 1/x dx = ln|x| + C | ∫ f’/f dx = ln|f| + C |
| ∫ eˣ dx = eˣ + C | ∫ f’·eᶠ dx = eᶠ + C |
| ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C | ∫ f’·aᶠ dx = aᶠ/ln a + C |
| ∫ cos x dx = sen x + C | ∫ f’·cos f dx = sen f + C |
| ∫ sen x dx = −cos x + C | ∫ f’·sen f dx = −cos f + C |
| ∫ 1/(1+x²) dx = arctg x + C | ∫ f’/(1+f²) dx = arctg f + C |
Dudas sobre las integrales
¿Por qué se pone «+ C»?
Porque una función tiene infinitas primitivas que se diferencian en una constante: x² + 3 y x² − 7 tienen la misma derivada, 2x. En la integral definida la C no hace falta, porque se anula al restar F(b) − F(a).
¿Cuáles son los métodos de integración?
En 2º de Bachillerato se trabajan cuatro: las inmediatas (con la tabla), el cambio de variable, la integración por partes y las racionales (fracciones simples). Muchas integrales «compuestas» son en realidad un cambio de variable hecho de cabeza.
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