Ejercicios Resueltos de Recta Tangente Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de recta tangente resueltos para 1º de Bachillerato: la ecuación de la tangente a una curva en un punto, la recta normal, las tangentes horizontales y las paralelas a una recta dada. Fórmula: la tangente a f en x = a es y − f(a) = f’(a)·(x − a); la derivada en el punto es la pendiente.
Ejercicios de recta tangente para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Ecuación de la recta tangente
Pasos: 1) calcula f(a) (el punto); 2) calcula f’(a) (la pendiente); 3) sustituye en la fórmula y simplifica.
1Halla la recta tangente a f(x) = x² − 3x + 2 en x = 1.
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f’(x) = 2x − 3 → f’(1) = −1.
y − 0 = −1·(x − 1) → y = −x + 1.
2Halla la recta tangente a f(x) = x³ en x = 2.
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y − 8 = 12(x − 2) → y = 12x − 16.
3Halla la recta tangente a f(x) = 1/x en x = 2.
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y − 1/2 = −(1/4)(x − 2) → y = −x/4 + 1.
4Halla la tangente a f(x) = √x en x = 4 y a g(x) = ex en x = 0.
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ex: g(0) = 1; g’(0) = e0 = 1 → y = x + 1.
2. Recta normal y tangentes con condiciones
La normal es perpendicular a la tangente en el mismo punto: su pendiente es −1/f’(a).
5Halla la recta tangente y la recta normal a f(x) = x² en x = 1.
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Tangente: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1.
Normal: pendiente −1/2 → y − 1 = −(1/2)(x − 1) → y = −x/2 + 3/2.
6¿En qué puntos tiene f(x) = x³ − 3x tangente horizontal? Escribe esas tangentes.
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f(1) = −2 y f(−1) = 2. Tangentes: y = −2 en (1, −2) y y = 2 en (−1, 2).
7Halla la recta tangente a f(x) = x² que es paralela a la recta y = 4x + 1.
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y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4.
8Halla a para que f(x) = x² + ax tenga tangente horizontal en x = 2.
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Comprobación: f(x) = x² − 4x tiene el vértice en x = 2, donde la tangente es horizontal ✓.
9Calcula, con la definición de derivada, la pendiente de la tangente a f(x) = x² en x = 3.
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La derivada es el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el segundo punto se acerca al primero.
Recta tangente y normal: resumen
Lo que hay que saber:
- Tangente en x = a: y − f(a) = f’(a)(x − a).
- Normal en x = a: y − f(a) = −(1/f’(a))(x − a) (si f’(a) ≠ 0).
- Tangente horizontal: f’(a) = 0 (en máximos, mínimos y algunos puntos de inflexión).
- Tangente paralela a una recta de pendiente m: se resuelve f’(x) = m.
- La derivada en un punto es la pendiente de la tangente en ese punto.
Derivadas que se usan en esta página
Para calcular las pendientes.
Tabla de derivadas
| Función | Derivada |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| constante | 0 |
Dudas sobre la recta tangente
¿Cómo se hace una recta tangente?
Se necesitan un punto y una pendiente. El punto es (a, f(a)); la pendiente, la derivada en a. Con los dos, se usa la ecuación punto-pendiente de la recta. Por eso para la tangente hay que saber derivar.
¿Puede la tangente cortar a la curva en otro punto?
Sí. «Tangente» significa que toca a la curva en ese punto con la misma inclinación, no que no la corte en ningún otro sitio. La tangente a y = x³ en x = 1 (y = 3x − 2) vuelve a cortar a la curva en x = −2.
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Para seguir con las derivadas:
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