Ejercicios Resueltos de Inecuaciones Matemáticas 4 ESO
Ejercicios de inecuaciones de 4º de ESO resueltos paso a paso. Una inecuación es una desigualdad con incógnita (<, >, ≤, ≥) y su solución no es un número sino un intervalo (o varios). Hay inecuaciones de primer grado, con fracciones, de segundo grado, racionales, sistemas de inecuaciones y problemas.
Ejercicios de inecuaciones para 4º de ESO con soluciones
1. Inecuaciones de primer grado
Se resuelven como una ecuación, con una regla más: si se multiplica o divide por un número negativo, el signo de la desigualdad se da la vuelta.
1Resuelve: 5x − 3 > 2x + 9.
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Solución: (4, +∞). El 4 no entra (la desigualdad es estricta).
2Resuelve: 2(x − 1) − 3(x + 2) ≤ x + 4.
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Dividimos entre −2 y cambiamos el sentido: x ≥ −6.
Solución: [−6, +∞).
3Resuelve: (x + 1)/3 − (x − 2)/4 ≥ 1.
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Solución: [2, +∞).
2. Inecuaciones de segundo grado
Se calculan las raíces de la ecuación y se estudia el signo en cada intervalo (o se piensa en la parábola).
4Resuelve: x² − 5x + 6 > 0.
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Comprobación con un punto: x = 0 → 6 > 0 ✓; x = 2,5 → −0,25 ✗.
Solución: (−∞, 2) ∪ (3, +∞).
5Resuelve: (a) x² − 9 ≤ 0 · (b) x² + 2x + 5 < 0.
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(b) Δ = 4 − 20 = −16 < 0: no tiene raíces y, como abre hacia arriba, siempre es positiva. No tiene solución.
3. Inecuaciones racionales
Con la incógnita en el denominador: se buscan los ceros del numerador y del denominador y se estudia el signo. Los valores que anulan el denominador nunca entran.
6Resuelve: (x − 1)/(x + 3) ≥ 0.
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Signo: en (−∞, −3) → (−)/(−) = + ✓; en (−3, 1) → (−)/(+) = − ✗; en (1, +∞) → + ✓.
Solución: (−∞, −3) ∪ [1, +∞). El 1 entra (da 0) y el −3 no (anula el denominador).
7Resuelve: (x − 4)/(x − 1) ≤ 0.
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Solución: (1, 4].
4. Sistemas de inecuaciones
Se resuelve cada inecuación por separado y la solución es la intersección: lo que cumplen las dos a la vez.
8Resuelve el sistema: 2x − 1 > 3 ; x + 4 < 10.
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Las dos a la vez: (2, 6).
9Resuelve el sistema: 3x + 2 ≥ −7 ; 5 − x > 1.
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Solución: [−3, 4).
10Resuelve el sistema: 2x − 4 > 6 ; 3x + 1 < 7.
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11Representa la solución del sistema con dos incógnitas: x + y ≤ 4 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0.
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Con x ≥ 0 e y ≥ 0, la solución es el triángulo de vértices (0, 0), (4, 0) y (0, 4), bordes incluidos.
5. Problemas de inecuaciones
12Una compañía de móviles cobra 20 € al mes más 0,10 € por minuto (tarifa A); otra, solo 0,15 € por minuto (tarifa B). ¿A partir de cuántos minutos sale más barata la A?
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A partir de 400 minutos al mes conviene la tarifa A.
13Los lados de un rectángulo miden x y x + 3 cm. ¿Qué valores puede tomar x si el perímetro no puede pasar de 30 cm?
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Solución: 0 < x ≤ 6 cm.
14Marcos ha sacado un 6 y un 7 en dos exámenes. ¿Qué nota necesita en el tercero para que la media sea al menos un 7?
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Necesita un 8 o más.
Cómo se escriben las soluciones
Desigualdad, intervalo y dibujo en la recta:
| Desigualdad | Intervalo | En la recta |
|---|---|---|
| x > 4 | (4, +∞) | punto vacío en 4, hacia la derecha |
| x ≥ −6 | [−6, +∞) | punto lleno en −6, hacia la derecha |
| 2 < x < 6 | (2, 6) | entre dos puntos vacíos |
| −3 ≤ x < 4 | [−3, 4) | lleno en −3, vacío en 4 |
Dudas frecuentes
¿Qué es una inecuación? Ejemplos
Una desigualdad entre dos expresiones con una incógnita. Ejemplos: x + 3 > 7 (solución x > 4), 2x ≤ 10 (x ≤ 5), x² < 9 (−3 < x < 3). Tiene infinitas soluciones, que forman un intervalo.
¿Cuáles son las reglas de las desigualdades?
Se puede sumar o restar lo mismo a los dos lados; multiplicar o dividir por un positivo sin cambiar nada; y al multiplicar o dividir por un negativo, cambiar el sentido. Y nunca se multiplica por una expresión con x sin saber su signo.
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