Ejercicios Resueltos de Trigonometría Matemáticas 4 ESO
Ejercicios de trigonometría de 4º de ESO resueltos paso a paso. En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un ángulo agudo α son: sen α = cateto opuesto / hipotenusa, cos α = cateto contiguo / hipotenusa y tg α = cateto opuesto / cateto contiguo. Hay ejercicios de calcularlas, de relacionarlas, de resolver triángulos rectángulos y problemas de alturas y distancias.
Ejercicios de trigonometría para 4º de ESO con soluciones
1. Seno, coseno y tangente
Se identifica qué cateto es el opuesto (enfrente del ángulo) y cuál el contiguo (el que lo forma con la hipotenusa).
1En un triángulo rectángulo de lados 5, 12 y 13 cm (la hipotenusa es el de 13), calcula las razones del ángulo α opuesto al cateto de 5 cm.
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2Comprueba con el ejercicio anterior que sen² α + cos² α = 1.
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2. Relaciones entre las razones
sen² α + cos² α = 1 y tg α = sen α / cos α. Con una razón se pueden calcular las otras dos.
3Sabiendo que sen α = 0,6 y que α es agudo, calcula cos α y tg α.
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tg α = 0,6 / 0,8 = 0,75.
4Si tg α = 2 y α es agudo, calcula sen α y cos α.
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sen α = tg α · cos α = 2/√5 ≈ 0,894.
3. Valores exactos de 30°, 45° y 60°
5Calcula sin calculadora: sen 45° · cos 45° + tg 60° · tg 30°.
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tg 60° = √3 y tg 30° = √3/3 → producto 3/3 = 1.
Resultado: 1/2 + 1 = 3/2.
4. Resolver triángulos rectángulos
Resolver es calcular todos los lados y ángulos. Recuerda que los dos ángulos agudos suman 90°.
6Resuelve el triángulo rectángulo con hipotenusa 10 cm y un ángulo agudo de 35°.
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Cateto opuesto a 35°: 10 · sen 35° ≈ 5,74 cm.
Cateto contiguo: 10 · cos 35° ≈ 8,19 cm.
7Resuelve el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm y 4 cm.
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Ángulo opuesto al cateto de 4: tg = 4/7 → arctg(4/7) ≈ 29,7°. El otro: 90° − 29,7° ≈ 60,3°.
5. Problemas de trigonometría
8Una cometa está sujeta con 60 m de hilo tenso, que forma 50° con el suelo. ¿A qué altura vuela? (desde la mano)
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9Una rampa para sillas de ruedas debe salvar 1,5 m de altura con una inclinación de 8°. ¿Qué longitud tiene la rampa? ¿Cuánto ocupa en el suelo?
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En el suelo (cateto contiguo): 1,5 / tg 8° ≈ 10,67 m.
10Cuando el sol está a 40° sobre el horizonte, un árbol proyecta una sombra de 15 m. ¿Cuánto mide el árbol?
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11Desde un punto se ve lo alto de un edificio con un ángulo de 30°. Al acercarse 20 m, el ángulo pasa a 45°. ¿Qué altura tiene el edificio?
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x = (x + 20) · 0,577 → x (1 − 0,577) = 11,55 → x ≈ 27,32 m.
Altura: ≈ 27,32 m (exactamente 10(√3 + 1) m). Es el método de la doble observación.
6. Ángulos mayores de 90° y radianes
12Calcula sin calculadora sen 150°, cos 120° y tg 135°.
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13Pasa a radianes 60° y a grados 5π/6 rad.
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Razones trigonométricas: resumen
Valores que conviene saber de memoria:
| Ángulo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 90° | 1 | 0 | no existe |
Dudas frecuentes
¿Qué son las razones trigonométricas?
Cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo que solo dependen del ángulo, no del tamaño del triángulo: en cualquier triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el cateto opuesto mide la mitad de la hipotenusa (sen 30° = 1/2).
¿Cómo se acuerda uno de qué es el seno y qué el coseno?
Seno = opuesto / hipotenusa; coseno = contiguo / hipotenusa. La tangente es opuesto entre contiguo, o lo que es lo mismo, seno entre coseno.
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Para seguir:
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