Ejercicios Resueltos de Radicales Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de radicales resueltos para 1º de Bachillerato: simplificar, extraer e introducir factores, sumar y restar, multiplicar y dividir (también con distinto índice), potencias de radicales y paso a exponente fraccionario. Recuerda la equivalencia que lo resume todo: n√(am) = am/n.
Ejercicios de radicales para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Simplificar, extraer e introducir factores
Para extraer factores se descompone el radicando en factores primos y se sacan los que tengan exponente mayor o igual que el índice.
1Simplifica: a) 6√(x⁴) b) 8√16
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b) 16 = 2⁴ → 8√(2⁴) = 24/8 = 21/2 = √2.
2Extrae todos los factores posibles: a) √72 b) ∛54 c) √(50a³)
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b) 54 = 2·3³ → ∛54 = 3∛2.
c) 50a³ = 5²·2·a²·a → √(50a³) = 5a√(2a) (con a ≥ 0).
3Introduce los factores dentro de la raíz: a) 3√2 b) 2∛5
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a) 3√2 = √(3²·2) = √18.
b) 2∛5 = ∛(2³·5) = ∛40.
2. Sumar, restar y multiplicar
Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): a veces hay que extraer factores primero.
4Calcula: √50 − 3√8 + √18.
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5√2 − 3·2√2 + 3√2 = (5 − 6 + 3)√2 = 2√2.
5Calcula y simplifica: a) √6 · √15 b) √2 · ∛3
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b) Distinto índice: se reducen a índice común (6, el m.c.m. de 2 y 3): √2 = 6√(2³), ∛3 = 6√(3²).
√2·∛3 = 6√(8·9) = 6√72.
6Desarrolla: a) (√3 + √2)(√3 − √2) b) (√5 + 1)²
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b) Cuadrado de una suma: (√5)² + 2·√5·1 + 1² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5.
Error típico: escribir (√5 + 1)² = 5 + 1, olvidando el doble producto.
3. Dividir, potencias y exponentes fraccionarios
7Simplifica √(x³) : ∛x (con x > 0).
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Como radical: x7/6 = x·x1/6 = x·6√x.
8Calcula: a) (∛4)² b) √(∛5)
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b) Raíz de una raíz: se multiplican los índices → √(∛5) = 6√5.
9Calcula sin calculadora: a) 82/3 b) 27−1/3 c) 163/4
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b) 27−1/3 = 1/∛27 = 1/3.
c) 163/4 = (4√16)³ = 2³ = 8.
Truco: primero la raíz (el denominador del exponente) y después la potencia, para trabajar con números pequeños.
Propiedades de los radicales
Las reglas de las operaciones con radicales:
- Exponente fraccionario: n√(am) = am/n.
- Producto y cociente (mismo índice): n√a·n√b = n√(ab); n√a : n√b = n√(a/b).
- Potencia: (n√a)m = n√(am). Raíz de raíz: m√(n√a) = m·n√a.
- Suma: solo de radicales semejantes.
- Con distinto índice, se reduce primero a índice común (m.c.m. de los índices).
Radicales y potencias de exponente fraccionario
Equivalencias útiles.
Tabla de equivalencias
| Radical | Potencia | Valor (si es exacto) |
|---|---|---|
| √9 | 9^(1/2) | 3 |
| ∛8 | 8^(1/3) | 2 |
| ∛(5²) | 5^(2/3) | — |
| ⁴√16 | 16^(1/4) | 2 |
| 1/√4 | 4^(−1/2) | 1/2 |
| ⁶√(x³) | x^(1/2) | √x |
Dudas sobre los radicales
¿Cuándo son semejantes dos radicales?
Cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando después de simplificarlos: 3√2 y 5√2 lo son; √2 y ∛2 no (distinto índice), y √2 y √3 tampoco (distinto radicando). Por eso, antes de sumar, conviene extraer factores: √50 y √8 no parecen semejantes, pero son 5√2 y 2√2.
¿Y la racionalización?
Quitar las raíces del denominador es un tema con página propia, enlazada abajo, igual que las ecuaciones con radicales.
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