Ejercicios Resueltos de Ecuaciones con Radicales Matemáticas 1 Bachillerato
Ejercicios de ecuaciones con radicales (o ecuaciones irracionales) resueltos para 1º de Bachillerato: la incógnita está dentro de una raíz. El método es aislar la raíz y elevar al cuadrado; pero al elevar pueden aparecer soluciones falsas, así que en todos los ejercicios se comprueban las soluciones en la ecuación original.
Ejercicios de ecuaciones irracionales para 1º de Bachillerato con soluciones
1. Ecuaciones con una raíz
Pasos: 1) aislar la raíz en un miembro; 2) elevar los dos miembros al cuadrado; 3) resolver; 4) comprobar.
1Resuelve √(x + 3) = 5.
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Comprobación: √25 = 5 ✓.
2Resuelve √(2x − 1) = x − 2.
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Comprobación: con x = 1, √1 = 1 pero 1 − 2 = −1 ✗ (solución falsa). Con x = 5, √9 = 3 = 5 − 2 ✓.
Solución: x = 5.
3Resuelve x − √(x + 1) = 5.
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Comprobación: x = 3 → 3 − 2 = 1 ≠ 5 ✗. x = 8 → 8 − 3 = 5 ✓.
Solución: x = 8.
4Resuelve √(x² + 9) = x + 1.
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Comprobación: √25 = 5 = 4 + 1 ✓. Solución: x = 4.
Ojo: (x + 1)² es x² + 2x + 1, no x² + 1.
2. Ecuaciones con dos raíces
Se aísla una raíz, se eleva al cuadrado, se aísla la que queda y se eleva otra vez.
5Resuelve √(x + 5) + √x = 5.
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Comprobación: √9 + √4 = 3 + 2 = 5 ✓. Solución: x = 4.
6Resuelve √(x + 7) − √(x − 1) = 2.
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Comprobación: √9 − √1 = 3 − 1 = 2 ✓. Solución: x = 2.
7Resuelve √(3x + 1) = √(x + 5).
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Comprobación: √7 = √7 ✓ (y los radicandos son positivos). Solución: x = 2.
3. Otros casos y problemas
8Resuelve ∛(x − 2) = 3.
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Comprobación: ∛27 = 3 ✓. Las raíces de índice impar no generan soluciones falsas por el signo, porque admiten radicandos negativos.
9Resuelve √(x − 3) = −2.
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Si se eleva al cuadrado sin pensar, sale x − 3 = 4 → x = 7, pero al comprobar: √4 = 2 ≠ −2 ✗. Por eso la comprobación es obligatoria.
10La raíz cuadrada de un número, aumentada en 2, es igual al número menos 4. ¿Qué número es?
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Al cuadrado: x = x² − 12x + 36 → x² − 13x + 36 = 0 → x = 4 o x = 9.
Comprobación: x = 4 → 2 + 2 = 4 ≠ 0 ✗. x = 9 → 3 + 2 = 5 = 9 − 4 ✓.
El número es 9.
Cómo resolver ecuaciones irracionales: resumen
El método paso a paso:
- 1. Aísla una raíz en un miembro (si hay dos, deja una a cada lado).
- 2. Eleva los dos miembros al cuadrado (al cubo si es raíz cúbica). Recuerda: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- 3. Si queda otra raíz, repite los pasos 1 y 2.
- 4. Resuelve la ecuación de primer o segundo grado que queda.
- 5. Comprueba cada solución en la ecuación original y descarta las falsas.
Soluciones falsas: por qué aparecen
Al elevar al cuadrado, una igualdad falsa puede volverse verdadera.
Ejemplos de soluciones falsas en esta página
| Ecuación | Candidatas | Válida | Por qué falla la otra |
|---|---|---|---|
| √(2x − 1) = x − 2 | 1 y 5 | 5 | con x = 1 queda 1 = −1 |
| x − √(x + 1) = 5 | 3 y 8 | 8 | con x = 3 queda 1 = 5 |
| √x + 2 = x − 4 | 4 y 9 | 9 | con x = 4 queda 4 = 0 |
| √(x − 3) = −2 | 7 | ninguna | una raíz cuadrada no es negativa |
Dudas sobre las ecuaciones irracionales
¿Por qué hay que comprobar las soluciones?
Porque elevar al cuadrado no es una operación «reversible»: 2 ≠ −2, pero 2² = (−2)². Al elevar, la ecuación nueva puede tener soluciones que la original no tiene. La única forma de detectarlas es sustituir en la ecuación de partida.
¿Qué diferencia hay entre ecuación irracional y ecuación con radicales?
Son lo mismo: la incógnita aparece dentro de una raíz. Se llaman irracionales porque las raíces suelen dar números irracionales. No hay que confundirlas con las ecuaciones racionales, que tienen la incógnita en un denominador.
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