Ejercicios Resueltos de Sistemas de Ecuaciones No Lineales Matemáticas 4 ESO
Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales de 4º de ESO resueltos paso a paso. Son sistemas en los que alguna ecuación tiene x², y², xy o similares, así que al resolverlos suele aparecer una ecuación de segundo grado y puede haber varias soluciones. El método más usado es la sustitución; a veces conviene la reducción o una identidad notable. Al final hay problemas.
Ejercicios de sistemas no lineales para 4º de ESO con soluciones
1. Por sustitución
Se despeja una incógnita en la ecuación lineal y se sustituye en la otra. Después se calcula la otra incógnita para cada solución.
1Resuelve: x + y = 5 ; xy = 6.
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Soluciones: (2, 3) y (3, 2).
2Resuelve: y = x² ; y = x + 2.
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x = 2 → y = 4; x = −1 → y = 1. Soluciones: (2, 4) y (−1, 1).
3Resuelve: x² + y² = 13 ; x − y = 1.
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Soluciones: (3, 2) y (−2, −3).
2. Con identidades notables y por reducción
4Resuelve: x² − y² = 16 ; x + y = 8.
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Con x + y = 8: 2x = 10 → x = 5, y = 3. Solución: (5, 3).
5Resuelve: x² + y² = 10 ; x² − y² = 8.
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Cuatro soluciones: (3, 1), (3, −1), (−3, 1) y (−3, −1).
6Resuelve: xy = 12 ; x² + y² = 25.
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Soluciones: (4, 3), (−4, −3), (3, 4) y (−3, −4) (cada y = 12/x).
7Resuelve: x + y = 10 ; xy = 30.
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No tiene solución real: no hay dos números que sumen 10 y multipliquen 30.
3. Interpretación gráfica
8Interpreta gráficamente el ejercicio 2 (y = x² y y = x + 2).
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Si la recta no tocara la parábola no habría solución, y si fuera tangente habría una sola.
4. Problemas
9El perímetro de un rectángulo es 34 cm y su área 60 cm². ¿Cuánto miden sus lados?
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Los lados miden 12 cm y 5 cm.
10Dos números suman 20 y la suma de sus cuadrados es 208. ¿Cuáles son?
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Suman 20 y multiplican 96: 12 y 8.
11La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y su perímetro 30 cm. Halla los catetos.
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289 = 169 + 2xy → xy = 60 → los catetos miden 5 cm y 12 cm.
Sistemas no lineales: resumen
Qué método conviene según el sistema:
| Si el sistema tiene… | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| una ecuación lineal | sustitución | x + y = 5 con xy = 6 |
| x² e y² en las dos | reducción | x² + y² = 10 con x² − y² = 8 |
| x² − y² y x + y | identidad notable | (x + y)(x − y) |
| suma y producto | ecuación x² − Sx + P = 0 | S = 17, P = 60 |
Dudas frecuentes
¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineal?
Un sistema en el que al menos una ecuación no es de primer grado (lleva x², y², xy, raíces…). Gráficamente, al menos una de sus ecuaciones no es una recta, por eso puede tener más de una solución.
¿Cuántas soluciones puede tener?
Ninguna, una o varias: tantas como puntos de corte tengan sus gráficas. Una recta y una parábola se cortan como mucho en 2 puntos; una circunferencia y una hipérbola, hasta en 4.
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