Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica Matemáticas 2 Bachillerato
Ejercicios de geometría analítica del espacio resueltos para 2º de Bachillerato: la ecuación del plano y las posiciones relativas de dos planos, de una recta y un plano y de dos rectas. Son los ejercicios típicos del examen y de la PAU (EBAU), con el método explicado paso a paso y la comprobación de cada resultado.
Ejercicios de geometría analítica para 2º de Bachillerato con soluciones
1. La ecuación del plano
Un plano queda determinado por un punto y un vector normal n = (A, B, C): su ecuación general es Ax + By + Cz + D = 0.
1Halla la ecuación general del plano que pasa por A(1, 0, 2), B(2, 1, 0) y C(0, 1, 1).
Ver solución
Vector normal: n = AB × AC = (1·(−1) − (−2)·1, (−2)·(−1) − 1·(−1), 1·1 − 1·(−1)) = (1, 3, 2).
Plano por A: 1(x − 1) + 3(y − 0) + 2(z − 2) = 0 → x + 3y + 2z − 5 = 0.
Comprobación con B: 2 + 3 + 0 − 5 = 0 ✓. Con C: 0 + 3 + 2 − 5 = 0 ✓.
2Escribe la ecuación del plano que pasa por P(2, −1, 3) y es perpendicular al vector n = (1, 2, −1).
Ver solución
Comprobación con P: 2 − 2 − 3 + 3 = 0 ✓.
3Pasa a ecuación general el plano π: (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + μ(0, 1, 1).
Ver solución
Por el punto (1, 0, 0): (x − 1) − y + z = 0 → x − y + z − 1 = 0.
Otra forma: el determinante |x−1 y z ; 1 1 0 ; 0 1 1| = 0 da el mismo resultado.
2. Posición relativa de dos planos
Se comparan los coeficientes: si A, B, C son proporcionales, los planos son paralelos o coincidentes (decide D); si no, son secantes y se cortan en una recta.
4Estudia la posición de π1: x + y − z = 1 con π2: 2x + 2y − 2z = 5 y con π3: 2x + 2y − 2z = 2.
Ver solución
π1 y π3: 1/2 = 1/2 = −1/−2 = 1/2 → coincidentes (π3 es π1 multiplicado por 2).
5Comprueba que los planos x + y + z = 3 y x − y = 1 se cortan y halla la recta de intersección.
Ver solución
Vector director de la recta: (1, 1, 1) × (1, −1, 0) = (1·0 − 1·(−1), 1·1 − 1·0, 1·(−1) − 1·1) = (1, 1, −2).
Un punto: con z = 0, x + y = 3 y x − y = 1 → x = 2, y = 1.
Recta: (x, y, z) = (2, 1, 0) + t(1, 1, −2). Comprobación: (2 + t) + (1 + t) + (−2t) = 3 ✓ y (2 + t) − (1 + t) = 1 ✓.
6Halla a para que los planos ax + 2y − z = 0 y 3x + 6y − 3z = 4 sean paralelos.
Ver solución
Con a = 1, el término independiente no guarda la proporción (0/4 ≠ 1/3), así que son paralelos y no coincidentes.
3. Posición relativa de recta y plano
Con el vector director d de la recta y el normal n del plano: si d·n ≠ 0, son secantes; si d·n = 0, la recta es paralela o está contenida (se mira si un punto de la recta está en el plano).
7Estudia la posición de r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(1, −1, 2) y π: 2x + y − z = 4. Si se cortan, halla el punto.
Ver solución
Sustituimos la recta en el plano: 2(1 + t) + (2 − t) − 2t = 4 → 4 − t = 4 → t = 0.
Punto de corte: (1, 2, 0). Comprobación: 2 + 2 − 0 = 4 ✓.
8Estudia la posición de r: x = 1 + 2t, y = t, z = 3 y π: x − 2y + z = 5.
Ver solución
Punto de r: (1, 0, 3) → 1 − 0 + 3 = 4 ≠ 5: no está en π.
La recta es paralela al plano.
9Halla m para que la recta (x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, 1, m) esté contenida en el plano x − y + z = 0.
Ver solución
Además, el director debe ser perpendicular al normal: (1, 1, m)·(1, −1, 1) = 1 − 1 + m = 0 → m = 0.
Para m = 0 la recta está contenida; para cualquier otro valor, corta al plano en (0, 1, 1).
4. Posición relativa de dos rectas
Con los directores u, v y el vector PQ que une un punto de cada recta: si u y v son proporcionales, paralelas o coincidentes; si no, se mira el determinante [u, v, PQ]: si es 0, secantes; si no, se cruzan.
10Estudia la posición de r: (1, 0, 0) + t(1, 1, 0) y s: (0, 0, 1) + u(0, 1, 1). Si se cortan, halla el punto.
Ver solución
|1 1 0 ; 0 1 1 ; −1 0 1| = 1·(1 − 0) − 1·(0 + 1) + 0 = 0 → secantes.
Igualando: 1 + t = 0, t = u, 0 = 1 + u → t = u = −1. Punto de corte: (0, −1, 0).
11Estudia la posición de r: (1, 2, 3) + t(2, −1, 1) y s: (0, 0, 0) + u(−4, 2, −2).
Ver solución
¿Está (0, 0, 0) en r? 1 + 2t = 0 → t = −1/2, pero entonces y = 2 + 1/2 ≠ 0. No está.
Las rectas son paralelas.
12Comprueba que las rectas r: t(1, 0, 0) y s: (0, 1, 1) + u(0, 1, 0) se cruzan.
Ver solución
|1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 1 1| = 1 ≠ 0 → se cruzan: no se cortan ni son paralelas (no hay ningún plano que las contenga a las dos).
Posiciones relativas: resumen para el examen
El criterio de cada caso:
- Dos planos: normales proporcionales → paralelos (o coincidentes si también lo es D); si no → secantes en una recta.
- Recta y plano: d·n ≠ 0 → secantes en un punto; d·n = 0 → paralela o contenida (prueba con un punto).
- Dos rectas: directores proporcionales → paralelas o coincidentes; si no, det[u, v, PQ] = 0 → secantes, ≠ 0 → se cruzan.
- Por rangos: todos los casos se pueden resolver también con el teorema de Rouché-Frobenius sobre el sistema formado por las ecuaciones.
Ecuaciones del plano
Las tres formas, con el mismo plano del ejercicio 3.
Formas de la ecuación de un plano
| Forma | Ecuación | Qué se ve |
|---|---|---|
| Vectorial | (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + μ(0, 1, 1) | un punto y dos vectores |
| Paramétricas | x = 1 + λ ; y = λ + μ ; z = μ | lo mismo, coordenada a coordenada |
| General | x − y + z − 1 = 0 | el vector normal (1, −1, 1) |
| Segmentaria | x/1 + y/(−1) + z/1 = 1 | los cortes con los ejes |
Dudas sobre geometría analítica
¿Qué diferencia hay entre «paralelas» y «se cruzan»?
Las dos no se cortan, pero las paralelas tienen la misma dirección y están en un mismo plano; las que se cruzan tienen direcciones distintas y no hay ningún plano que las contenga a las dos (como una carretera y un puente que pasa por encima en otra dirección).
¿Cómo saco un punto de un plano en ecuación general?
Da valores a dos coordenadas y despeja la tercera. En x + 3y + 2z − 5 = 0, con y = 0 y z = 0 sale x = 5: el punto (5, 0, 0) está en el plano.
Más ejercicios de geometría de 2º de Bachillerato
La geometría del espacio continúa en:
Más ejercicios de Matemáticas de 2º Bachillerato en PDF
Además de los ejercicios de esta página, puedes abrir o descargar el cuaderno de Matemáticas de 2º de Bachillerato: reúne los temas del curso con su teoría y sus soluciones. Lo hemos escrito en Solucionario.es; no es el libro de ninguna editorial ni su solucionario oficial.
- Material: propio de Solucionario.es, 25 páginas
- Contenido: 46 ejercicios resueltos y la teoría de los 13 temas del curso
- Acceso: gratuito, sin registro y sin esperas