Ejercicios Resueltos de Polinomios Matemáticas 3 ESO
Ejercicios de polinomios de 3º de ESO resueltos paso a paso: valor numérico, suma, resta y multiplicación, división de polinomios (la larga y por la regla de Ruffini), teorema del resto y factorizar polinomios. Van de lo más sencillo a lo más completo.
Ejercicios de polinomios para 3º de ESO con soluciones
1. Elementos y valor numérico
Usaremos P(x) = 2x³ − 3x² + 5 y Q(x) = x² + 4x − 1.
1Di el grado, el coeficiente principal y el término independiente de P(x). Calcula P(−1) y P(2).
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P(−1) = 2 · (−1)³ − 3 · (−1)² + 5 = −2 − 3 + 5 = 0.
P(2) = 16 − 12 + 5 = 9.
Como P(−1) = 0, −1 es una raíz del polinomio.
2. Sumar, restar y multiplicar
2Calcula P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).
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· P + Q = 2x³ + (−3 + 1)x² + 4x + (5 − 1) = 2x³ − 2x² + 4x + 4.
· P − Q = 2x³ − 3x² + 5 − x² − 4x + 1 = 2x³ − 4x² − 4x + 6 (el menos cambia el signo de todo Q).
3Calcula: (3x²) · (−4x³) y (15x⁴) : (5x).
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· Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes: 3x³.
4Calcula P(x) · Q(x).
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2x³ · Q = 2x⁵ + 8x⁴ − 2x³
−3x² · Q = −3x⁴ − 12x³ + 3x²
5 · Q = 5x² + 20x − 5
Sumando por grados: 2x⁵ + 5x⁴ − 14x³ + 8x² + 20x − 5.
3. División de polinomios
En la división larga se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, se multiplica y se resta, y se repite hasta que el resto tenga menor grado que el divisor.
5Divide (2x⁴ + 3x³ − x + 5) entre (x² − 1).
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· 2x⁴ : x² = 2x² → se resta 2x⁴ − 2x² → queda 3x³ + 2x² − x + 5.
· 3x³ : x² = 3x → se resta 3x³ − 3x → queda 2x² + 2x + 5.
· 2x² : x² = 2 → se resta 2x² − 2 → queda 2x + 7.
Cociente 2x² + 3x + 2; resto 2x + 7.
6Divide por la regla de Ruffini (3x³ − 2x² + 5x − 4) entre (x − 2).
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· Bajamos el 3. · 3 · 2 = 6 → −2 + 6 = 4. · 4 · 2 = 8 → 5 + 8 = 13. · 13 · 2 = 26 → −4 + 26 = 22.
Cociente 3x² + 4x + 13; resto 22.
7Divide por Ruffini (x⁴ − 5x² + 3x − 2) entre (x + 2).
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1 → 0 − 2 = −2 → −5 + 4 = −1 → 3 + 2 = 5 → −2 − 10 = −12.
Cociente x³ − 2x² − x + 5; resto −12.
4. Teorema del resto
El resto de dividir P(x) entre (x − a) es P(a): no hace falta hacer la división.
8Sin dividir, calcula el resto de (x⁴ − 3x³ + 2x − 4) : (x − 3) y de (2x⁴ − 7x² + 3) : (x + 1).
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· Resto = P(−1) = 2 − 7 + 3 = −2 (con x + 1 se sustituye −1).
9Halla k para que x³ − 2x² + kx + 6 sea divisible entre x − 3.
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5. Factorizar polinomios
Pasos: 1) sacar factor común; 2) buscar identidades notables; 3) buscar raíces enteras entre los divisores del término independiente y dividir por Ruffini.
10Factoriza sacando factor común: 6x³ − 9x².
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11Factoriza: x³ − 2x² − 5x + 6.
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Ruffini con 1: cociente x² − x − 6, que tiene raíces 3 y −2.
Resultado: (x − 1)(x − 3)(x + 2).
12Factoriza: x³ + x² − 4x − 4.
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Resultado: (x + 1)(x − 2)(x + 2).
13Factoriza: x⁴ − 5x² + 4.
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Resultado: (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). Un polinomio de grado 4 tiene como mucho 4 raíces: ya están todas.
6. Un problema
14Los lados de un rectángulo miden (x + 3) y (2x − 1) cm. Escribe su área como polinomio y calcúlala para x = 4.
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Para x = 4: 32 + 20 − 3 = 49 cm² (los lados miden 7 y 7: es un cuadrado).
La regla de Ruffini paso a paso
Dividir 3x³ − 2x² + 5x − 4 entre x − 2:
| 3 | −2 | 5 | −4 | |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 6 | 8 | 26 | |
| 3 | 4 | 13 | 22 |
La última fila da los coeficientes del cociente (3x² + 4x + 13) y, al final, el resto (22).
Dudas frecuentes
¿Qué es un polinomio? Cinco ejemplos
Una suma de monomios (número por potencia de x con exponente natural). Ejemplos: 3x + 1 · x² − 4 · 2x³ − x + 7 · 5x⁴ · x² + x + 1. No lo son 1/x ni √x, porque el exponente no es natural.
¿Cómo se sabe si un número es raíz de un polinomio?
Sustituyéndolo: si el valor numérico da 0, es raíz. Y por el teorema del resto, si a es raíz, el polinomio es divisible entre (x − a).
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Para seguir:
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